Analisi Matematica 2
per Ing. Meccanica e Energetica - a.a. 2024-25

ORARIO (23 Settembre 2024 - 17 Gennaio 2025)

Mercoledì	Giovedì	Venerdì
11:30-13:15	11:30-13:15	9:30-11:15
Aula A4	Aula A4	Aula B4

DOCENTE: Roberto Tauraso - e-mail: CODOCENTE: Prof. Tommaso Isola. Materiale didattico. PROGRAMMA DEL CORSO I dettagli degli argomenti svolti si possono consultare nel diario delle lezioni. Serie Serie numeriche e serie di potenze. Funzioni di più variabili Limiti e continuità, calcolo differenziale ed estremi liberi, funzioni implicite ed estremi vincolati, integrali multipli, curve e integrali curvilinei, superfici e integrali di superficie. Analisi vettoriale Campi vettoriali, integrali curvilinei e integrali di flusso, formula di Gauss-Green, teoremi della divergenza e del rotore. Testi consigliati: - M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli - M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill - P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica 2 (prima e seconda parte), Zanichelli - B. P. Demidovich, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti ORARIO DI RICEVIMENTO: in aula dopo ogni lezione. LINK UTILI Wolframalpha: somma di una serie, derivate parziali, punti critici di una funzione in due variabili. Desmos 2D: disequazione in due variabili, sistema di due disequazioni. Desmos 3D: grafici di funzioni in due variabili, toro, elica. TEAMS: TAURASO-80300053-ANALISI_MATEMATICA_II_1 Il canale Teams del corso viene usato solo per comunicazioni e come deposito di materiale didattico. In particolare sono disponibili le video lezioni del 2021/22 (vedi File nel canale Lezioni). ESAMI Per sostenere l'esame di Analisi Matematica 2 bisogna aver già sostenuto l'esame di Analisi Matematica 1. L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Per essere ammessi alla prova orale è necessario che la prova scritta sia sufficiente. La prova scritta dura due ore e consiste nello svolgimento di quattro esercizi. Durante la prova non si possono usare libri e appunti. La prova orale consiste in una discussione sugli argomenti del programma d'esame. Per la prova orale è richiesta la conoscenza di tutte le definizioni, di tutti gli enunciati dei teoremi con le relative dimostrazioni elencate e di tutti gli esempi/esercizi svolti durante il corso. Se anche la prova orale è sufficiente e lo studente accetta il voto finale, si verbalizza e l'esame è concluso, altrimenti è necessario rifare la prova scritta in uno degli appelli successivi. In questo anno accademico sono previsti 6 appelli d'esame: 2 appelli nella sessione invernale: 24/1/2025, 14/2/2025 2 appelli nella sessione estiva: 20/6/2025 e 11/7/2025 2 appelli nella sessione autunnale: 4/9/2025 e 18/9/2025 Le soluzioni delle prove scritte verranno pubblicate alla fine della corrispondente sessione d'esame. Data Testo Svolgimento 24/1/2025 14/2/2025 Queste sono le prove scritte dell'anno accademico 2023-24: Data Testo Svolgimento 26/1/2024 16/2/2024 21/6/2024 12/7/2024 4/9/2024 19/9/2024 Queste sono le prove scritte dell'anno accademico 2022-23: Data Testo Svolgimento 27/1/2023 17/2/2023 23/6/2023 14/7/2023 4/9/2023 15/9/2023 Queste sono le prove scritte dell'anno accademico 2021-22: Data Testo Svolgimento 21/1/2022 11/2/2022 16/6/2022 8/7/2022 2/9/2022 14/9/2022 DIARIO DELLE LEZIONI Nr. Giorno Argomento Pdf L01 Me 25/9/24 Introduzione al corso. Serie numeriche: definizione e primi esempi. Serie geometriche e serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Criterio del confronto e criterio del confronto asintotico. L02 Gi 26/9/24 Criterio del confronto integrale. Criterio della radice e del rapporto. Criterio della convergenza assoluta e criterio di Leibniz. L03 Ve 27/9/24 Serie di potenze: definizione e primi esempi. Dominio di convergenza. Raggio di convergenza e sua determinazione. Cenni alla derivazione e all'integrazione termine a termine per le serie di potenze. Serie di potenze di exp(x), sin(x), cos(x), log(1+x) e arctan(x).    Foglio di esercizi n. 1:    Soluzioni: L04 Me 2/10/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 1. L05 Gi 3/10/24 Introduzione alle funzioni in più variabili. Primi esempi, rappresentazione grafica e curve di livello. Rn è un spazio vettoriale con prodotto scalare. Topologia in Rn, definizione di intorno sferico, punto interno, esterno e di frontiera. Definizioni di limite di una successione e di limite di una funzione. Teorema di Bolzano-Weierstrass e teorema ponte. L06 Ve 4/10/24 Vari esempi svolti di calcolo di limiti. Definizione di continuità. L07 Me 9/10/24 Teorema di Weierstrass. Definizioni di derivata direzionale, derivata parziale e grandiente con esempi. Derivabilità e differenziabilità. Approssimazione locale al primo ordine. Significato geometrico del gradiente e equazione del piano tangente.    Foglio di esercizi n. 2:    Soluzioni: L08 Gi 10/10/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 2. L09 Ve 11/10/24 Derivazione di funzione composta. Teorema del valor medio in dimensione n. Condizione sufficiente per la differenziabilità. L10 Me 16/10/24 Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Teorema di Fermat per n>1. Polinomio di Taylor di ordine 2 e sue proprietà. Definizione di punto di massimo/minimo assoluto/relativo e di punto di sella con esempi. L11 Gi 17/10/24 Forme quadratiche e il loro segno. Condizioni sufficienti per la matrice hessiana per la determinazione della natura di un punto stazionario. L12 Ve 18/10/24 Teorema delle funzioni implicite e qualche esempio di applicazione.    Foglio di esercizi n. 3:    Soluzioni: L13 Me 23/10/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 3. L14 Gi 24/10/24 Teorema delle funzioni implicite per sistemi. Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange con esempi. L15 Ve 25/10/24 Vari esempi di determinazioni di massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.    Foglio di esercizi n. 4:    Soluzioni: L16 Me 30/10/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 4. L17 Gi 31/10/24 Integrali doppi. Definizione e proprietà. Insiemi misurabili. Condizione di integrabilità. Insiemi semplici rispetto agli assi e relative formule di riduzione a integrali iterati. Primi esempi di calcolo. -- Ve 1/11/24 Ognissanti L18 Me 6/11/24 Altri esempi svolti di integrali doppi. Cambio di variabili e matrice jacobiana. Formula del cambio di variabili per gli integrali doppi. Integrazione in coordinate polari con esempio. L19 Gi 7/11/24 Vari esempi di integrali doppi con cambio di variabili. Calcolo di volumi come integrali doppi. L20 Ve 8/11/24 Integrali tripli. Integrazione per fili e integrazione per sezioni con esempi. Cambio di variabili per gli integrali tripli. Integrazione in coordinate cilindriche e sferiche con esempi.    Foglio di esercizi n. 5:    Soluzioni: L21 Me 13/11/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 5. L22 Gi 14/11/24 Altri esempi di calcolo di integrali tripli in coordinate sferiche e cilindriche. Definizione di baricentro con esempi. Formula di Pappo-Guldino per volumi di rotazione. Momento di inerzia di un solido con esempi. L23 Ve 15/11/24 Curve (parametriche) in Rn con esempi. Curve regolari e vettore tangente. Integrali curvilinei di prima specie: definizione e esempi. Lunghezza e baricentro di una curva. L24 Me 20/11/24 Curve piane in coordinate polari. Campi vettoriali. Integrali curvilinei di seconda specie: definizione e esempi. Campi vettoriali conservativi e funzione potenziale. L25 Gi 21/11/24 Caratterizzazione dei campi conservativi. Campo irrotazionale. Omotopia e curve omotope in un insieme aperto e connesso. Invarianza omotopica degli integrali curvilinei di campi irrotazionali. L26 Ve 22/11/24 Vari esempi di campi vettoriali con discussione delle loro proprietà. I campi vettoriali centrali sono conservativi.    Foglio di esercizi n. 6:    Soluzioni: L27 Me 27/11/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 6. L28 Gi 28/11/24 Domini s-decomponibili. Formula di Gauss-Green. Vari esempi di applicazioni della formula. L29 Ve 29/11/24 Vari esempi di applicazione della formula di Gauss-Green. L'area di una figura piana come integrale curvilineo. L30 Me 4/12/24 Prodotto vettoriale. Definizione di divergenza e rotore. Superfici (parametriche) regolari. Vettore normale e piano tangente a una superficie. Parametrizzazione di superfici cartesiane, del cilindro e della sfera. Integrale di superficie: definizione e esempi. Area e baricentro di una superficie. L31 Gi 5/12/24 Momento di inerzia di una superficie. Formula di Pappo-Guldino per superfici di rotazione. Orientazione di una superficie. Il bordo di una superficie e la sua orientazione. Superfici regolari a pezzi.    Foglio di esercizi n. 7:    Soluzioni: L32 Ve 6/12/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 7. L33 Me 11/12/24 Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientata: definizione e esempi. L34 Gi 12/12/24 Insiemi semplici e s-decomponibili in R3. Teorema della divergenza con esempi. L35 Ve 13/12/24 Teorema del rotore con esempi. L36 Me 18/12/24 Vari esempi di applicazione dei teorema della divergenza e del rotore.    Foglio di esercizi n. 8:    Soluzioni: L37 Gi 19/12/24 Svolgimento di alcuni esercizi del foglio di esercizi n. 8. Vacanze di Natale    Esercizi di riepilogo: Da svolgere nel corso delle rimanenti 5 lezioni di gennaio L38 Me 8/1/25 Esercizi di riepilogo - Prima parte. L39 Gi 9/1/25 Esercizi di riepilogo - Seconda parte. -- Ve 10/1/25 Lezione annullata L40 Me 15/1/25 Esercizi di riepilogo - Terza parte. L41 Gi 16/1/25 Esercizi di riepilogo - Quarta parte. L42 Ve 17/1/25 Esercizi di riepilogo - Quinta parte.