Analisi Matematica - Informatica

Nr.	Giorno	Argomento	Pdf
L01	Ma 8/10/24	Introduzione al corso. L'insieme dei numeri reali R. Retta orientata e descrizione dei sottoinsiemi N, Z, Q. Rappresentazione decimale dei numeri reali. I numeri decimali periodici sono razionali. sqrt(2) è irrazionale R è un campo totalmente ordinato e completo. Un esercizio sulle disequazioni.
L02	Me 9/10/24	Introduzione alle funzioni. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzione inversa. Funzioni crescenti e decrescenti (monotone). Funzioni pari e dispari. Funzioni reali elementari (prima parte): funzione retta, valore assoluto, funzioni potenza con esponente intero n, radici n-sime. seno, coseno e tangente, arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Grafici di f(x+a), f(x)+a, f(-x), -f(x), f(\|x\|), f(-\|x\|), \|f(x)\|.
L03	Gi 10/10/24	Principio di induzione con esempi. Disuguaglianza di Bernoulli. Coefficienti binomiali e loro proprietà. Sviluppo della potenza n-esima di un binomio.
Foglio di esercizi n. 1: Soluzioni:
L04	Ma 15/10/24	Maggiorante, minorante, massimo, minimo di un insieme. Assioma di completezza. Estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali. Alcuni esempi di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
L05	Me 16/10/24	Limite di una successioni di numeri reali: definizione e primi esempi. Proprietà dei limiti: unicità del limite, ogni successione con limite finito è limitata, limite di sottosuccessione, permanenza del segno, confronto e doppio confronto, limiti della somma, del prodotto e del quoziente. Il prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima tende a zero. Convergenza delle successioni monotone. Forme indeterminate (prima parte). Qualche esempio di calcolo di limite.
L06	Gi 17/10/24	Qualche esempio di calcolo di limite. Forme indeterminate (seconda parte). Criterio del rapporto per successioni. Ordine di infinito e confronto tra infiniti con esempi.
Foglio di esercizi n. 2: Soluzioni:
L07	Ma 22/10/24	Definizione del numero di Nepero e come limite della successione (1+1/n)ⁿ (e sue forme equivalenti). La funzione parte intera di x. Qualche limite notevole.
L08	Me 23/10/24	Intorni di un punto nella retta reale estesa. Punti di accumulazione di un insieme di numeri reali. Limite per funzioni reali: definizione, prime proprietà e qualche esempio. Relazione tra i limiti di funzioni e limiti di successioni: teorema ponte. Funzioni continue: definizione, esempi e prime proprietà. Limiti notevoli per x → 0 (prima parte): (1+x)^1/x, (e^x-1)/x, log(1+x)/x, ((1+x)^a-1)/x, sen(x)/x.
L09	Gi 24/10/24	Limiti notevoli per x → 0 (seconda parte): (1-cos(x))/x², tan(x)/x, arcsen(x)/x, arctan(x)/x. Ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi con esempi. Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi. Esempi di utilizzo del teorema degli zeri.
Foglio di esercizi n. 3: Soluzioni:
L10	Ma 29/10/24	Introduzione al calcolo differenziale: definizioni di rapporto incrementale, derivata, retta tangente. Ogni funzione derivabile è continua. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari. Calcolo della derivata di una combinazione lineare di funzioni. Calcolo della derivata del prodotto di funzioni e della derivata del quoziente di due funzioni. Calcolo della derivata di una funzione composta. Esempi di calcolo di derivate.
L11	Me 30/10/24	Definizioni di punto di massimo/minimo assoluto e relativo di una funzione. Teorema di Fermat sui punti stazionari. Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Teorema di Weierstrass: una funzione continua in un un intervallo chiuso e limitato (insieme compatto) ammette un punto di massimo e un punto di minimo.
L12	Gi 31/10/24	Teorema di Lagrange (o teorema del valor medio). Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi. Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi.
Foglio di esercizi n. 4: Soluzioni:
L13	Ma 5/11/24	Asintoti: definizione e primi esempi. Definizione di funzione convessa (e concava) in un intervallo con esempi. Criteri di convessità: f' è crescente, f'' è non negativa. Definizione di punto di flesso. Il grafico di una funzione convessa (concava) e derivabile sta sopra (sotto) le sue rette tangenti. Un esempio di studio di funzione con discussione della convessità/concavità.
L14	Me 6/11/24	Punti di discontinuità: di salto e eliminabile. Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide e flesso con tangente verticale. Un primo esempio di studio del grafico di funzione.
L15	Gi 7/11/24	Teorema di Cauchy e teorema di de L'Hopital-Bernoulli. Esempi di applicazione del teorema de L'Hopital al calcolo dei limiti. Definizione di polinomio di Taylor di una funzione di ordine n centrato in x₀. Polinomi di Taylor in 0 di exp(x) e log(1+x). Confronto tra il grafico di exp(x) e alcuni suoi polinomi di Taylor centrati in 0.
Foglio di esercizi n. 5: Soluzioni:
L16	Ma 12/11/24	Polinomi di Taylor in 0 di sin(x), cos(x), (1+x)^b, arctan(x). Definizione di o-piccolo. Formula di Taylor con il resto di Peano. Qualche esempio di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
L17	Me 13/11/24	Algebra degli o-piccoli. Alcuni esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
L18	Gi 14/11/24	Il calcolo di polinomio di Taylor senza l'uso diretto della definizione. Altri esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo. Vari esercizi svolti di calcolo differenziale.
Foglio di esercizi n. 6: Soluzioni:
L19	Ma 19/11/24	Metodo di esaustione-compressione per il calcolo dell'area del cerchio. Definizione di funzione integrabile e di integrale definito secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori. Le funzioni continue sono integrabili. Proprietà delle funzioni integrabili: additività rispetto all'intervallo di integrazione, linearità e monotonia. Il valore assoluto di un integrale è minore o uguale dell'integrale del valore assoluto. Esempio di calcolo dell'integrale di x² in [0,1] con la definizione.
L20	Me 20/11/24	Definizioni di funzione primitiva. Primitive di alcune funzioni elementari. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizioni di funzione integrale, integrale definito e integrale indefinito. Alcuni primi esempi di calcolo.
L21	Gi 21/11/24	Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione e integrazione per parti. Alcuni esempi svolti di integrali indefiniti.
Foglio di esercizi n. 7: Soluzioni:
L22	Ma 26/11/24	Algoritmo di integrazione delle funzioni razionali con riduzione a combinazione lineare di integrali di fratti semplici. Qualche esempio di applicazione dell'algoritmo.
L23	Me 27/11/24	Vari esempi di integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali mediante sostituzioni.
L24	Gi 28/11/24	Definizione di integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate. Primi esempi e discussione della convergenza dell'integrale di 1/x^α in (0,1] e in [1,+∞).
Foglio di esercizi n. 8: Soluzioni:
L25	Ma 3/12/24	Teorema del confronto per gli integrali impropri di funzioni non negative. Discussione della convergenza dell'integrale di 1/(x^α\|log(x)\|^β) in (0,1/2] e in [2,+∞). Definizione di equivalenza asintotica e teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri di funzioni non negative. Alcuni esempi di discussione della convergenza di un integrale improprio.
L26	Me 4/12/24	Esercizi vari sugli integrali impropri: esempi di discussione della convergenza e calcolo.
L27	Gi 5/12/24	Serie numeriche: definizione e primi esempi. Serie geometriche e serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Divergenza della serie armonica Criterio del confronto e criterio del confronto asintotico. Criterio del confronto integrale.
Foglio di esercizi n. 9: Soluzioni:
L28	Ma 10/12/24	Vari esempi svolti di discussione della convergenza di una serie. Criterio della radice e criterio del rapporto con esempi. Cenni alle serie con termini di segno non costante. Criterio di Leibniz.
L29	Me 11/12/24	Vari esercizi svolti sulle serie: calcolo della somma e discussione della convergenza. Il frattale di Koch e l'area sottesa (figura). Stima di asintotica di log(n!) (con cenno all'approssimazione di Stirling).
L30	Gi 12/12/24	Numeri complessi. Forma cartesiana, definizioni di somma, prodotto, coniugio, modulo. Divisione di due numeri complessi. Risoluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso.
Foglio di esercizi n. 10: Soluzioni:
L31	Ma 17/12/24	Forma esponenziale di un numero complesso e formula di Eulero. Potenze di un numero complesso Radici n-esime di un numero complesso.
L32	Me 18/12/24	Vari esempi di risoluzione di un' equazione in C. Qualche esempio di uso dei numeri complessi nel calcolo integrale reale.
L33	Gi 19/12/24	Equazioni differenziali lineari del primo ordine: fattore integrante, soluzione generale e problema di Cauchy. Alcuni esempi svolti.
Foglio di esercizi n. 11: Soluzioni:
Vacanze di Natale
L34	Ma 7/1/25	Introduzione al calcolo differenziale in due o più variabili. Derivate parziali. Definizione di gradiente e equazione del piano tangente. Matrice Hessiana e formula di Taylor fino al secondo ordine. Punto di sella. Studio della natura dei punti critici.
Foglio di esercizi n. 12: Soluzioni:
L35	Me 8/1/25	Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 12.
L36	Gi 9/1/25	Esercizi di riepilogo - Testi:
L37	Ma 14/1/25	Esercizi di riepilogo - Testi:
L38	Me 15/1/25	Esercizi di riepilogo - Testi:
L39	Gi 16/1/25	Esercizi di riepilogo - Testi:

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