Analisi Matematica 1

Nr.	Giorno	Argomento
L01	Lu 29/9/14	Introduzione al corso. Descrizione degli insiemi numerici N,Z,Q,R,C. Discussione informale della disuguaglianza 3< Pi < 4 (vedi anche link)
L02	Me 1/10/14	Cos'e' una dimostrazione matematica? Numeri naturali e assiomi di Peano. Principio di induzione con esempi.
L03	Gi 2/10/14	Disuguaglianza di Bernoulli. Coefficienti binomiali e binomio di Newton. Cenno al teorema fondamentale dell'aritmetica. sqrt(2) non e' razionale.
T01	Ve 3/10/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 1 - Testi: - Soluzioni:
L04	Lu 6/10/14	Se n e' un intero positivo che non e' un quadrato perfetto allora sqrt(n) non e' razionale. Principio di induzione "forte" e un esempio con i numeri di Fibonacci. Disuguaglianza della media aritmetica e della media geometrica e alcune sue applicazioni di carattere geometrico.
L05	Me 8/10/14	Numeri reali. Assiomi di campo totalmente ordinato, assioma di Archimede e assioma di continuita' ( principio degli intervalli inscatolati). Densita' di Q e R\Q in R.
L06	Gi 9/10/14	Introduzione al concetto di funzione e definizioni di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca e inversa. Numerabilita' di N, Z e Q. R non e' numerabile.
T02	Ve 10/10/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 2 - Testi: - Soluzioni:
L07	Lu 13/10/14	Insieme delle parti. Non esiste una funzione biunivoca da un insieme X all'insieme delle sue parti P(X). Cenno al fatto che R, P(N) e RxR sono equipotenti (vedi numeri cardinali). Numeri complessi : notazioni cartesiana, definizioni di somma, prodotto, coniugio, reciproco e prime proprieta'.
L08	Me 15/10/14	Discussione di un problema del tutorato. Notazione trigonometrica (o polare), notazione esponenziale (o formula di Eulero) di un numero complesso. Potenze di un numero complesso (o formula di De Moivre). Radici n-esime di un numero complesso (prima parte).
L09	Gi 16/10/14	Radici n-esime di un numero complesso (seconda parte). Risoluzione di un' equazione polinomiale di secondo grado in C. Cenno al Teorema Fondamentale dell'Algebra. Disuguaglianza triangolare.
T03	Ve 17/10/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 3 - Testi: - Soluzioni:
L10	Lu 20/10/14	Definizioni di insieme limitato, di elemento minimo/massimo, di minorante/maggiorante, estremo superiore/inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore/inferiore. Proprieta' caratterizzanti dell'estremo superiore/inferiore e loro uso. Definizione di funzione crescente, decrescente, rapporto incrementale.
L11	Me 22/10/14	Proprieta' principali delle funzioni elementari (prima parte): polinomi, funzioni razionali, radice n-sima reale, funzioni trigonometriche e loro inverse.
L12	Gi 23/10/14	Proprieta' principali delle funzioni elementari (seconda parte): funzione esponenziale, funzione logaritmo, valore assoluto, parte intera, parte frazionaria, segno, funzione di Dirichlet, funzione di Thomae. Determinazione dell' insieme di definizione di una funzione reale di variabile reale.
T04	Ve 24/10/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 4 - Testi: - Soluzioni:
L13	Lu 27/10/14	Topologia della retta reale. Definizioni di intorno, punto di accumulazione, punto isolato, insieme aperto, insieme chiuso e chiusura di un insieme. Definizione di limite (destro e sinistro) di una funzione in un punto e prime proprieta' (unicita', permanenza del segno e limitatezza in un intorno). Esempi di verifica di un limite con la definizione e esempi di non esistenza di un limite.
L14	Me 29/10/14	Teoremi sul limite di una combinazione lineare, di un prodotto e di un quoziente. Definizione di funzione continua. L'insieme delle funzioni continue in un intervallo I, C(I), e' uno spazio vettoriale. Polinomi, funzioni razionali, funzione radice n-sima, esponenziale, logaritmo, seno, coseno e tangente e loro funzioni inverse sono continue nell'insieme di definizione.
L15	Gi 30/10/14	Teorema del (doppio) confronto. Il prodotto di una funzione limitata per una funzione infinitesima e' infinitesimo. Disuguaglianza sen(x)< x < tan (x) per x in (0,pi/2). Alcuni limiti notevoli trigonometrici per x->0: sen(x)/x, (1-cos(x))/x^2, tan(x)/x. Limite notevole: (1+x)^(1/x) per x->0 tende al numero e (da dimostrare successivamente). Altri limiti notevoli per x->0: (a^x-1)/x, log_a(1+x)/x, ((1+x)^a-1)/x.
T05	Ve 31/10/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 5 - Testi: - Soluzioni:
L16	Lu 3/11/14	Teorema del limite delle funzioni composte. Definizione e calcolo del limite di una successione. Legame tra limite di f(x) per x-> x_0 e il limite di f(x) lungo le successioni x_n->x_0. Definizione e proprieta' dei limiti con i simboli +/-infinito. Algebra dei simboli +/-infinito, 0^+,0^-. Forme indeterminate. Limite a +/-infinito di una funzione razionale.
L17	Me 5/11/14	Confronto tra gli infiniti n^n, n!, n^a, exp(n), log(n). Studio delle successione della somma parziale geometrica e cenno al fatto che numeri decimali periodici sono numeri razionali. Asintoti per x->+\-infinito: definizioni ed esempi.
L18	Gi 6/11/14	Teorema del limite delle funzioni monotone. Il limite della successione (1+1/n)^n esiste, e' numero reale compreso tra 2 e 3 e si definisce come numero e. Il limite di (1+x)^(1/x) per x->0 e il limite di (1+1/x)^(x) per x->+/-infinito tendono al numero e. Appunti della lezione (vedi allerta meteo).
T06	Ve 7/11/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 6 - Testi: - Soluzioni:
L19	Lu 10/11/14	Lunghezza (area) della circonferenza (cerchio) come limite dei perimetri (aree) dei poligoni regolari inscritti. Successioni definite per ricorsione. Esempio dell' algoritmo di calcolo di sqrt(a). Funzioni continue: teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi.
L20	Me 12/11/14	Sottosuccessione: definizione ed esempi. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni. Caratterizzazione degli insiemi compatti (per successioni) in R come insiemi chiusi e limitati. Teorema di Weierstrass o esistenza del punto di max e del punto di min.
L21	Gi 13/11/14	Teorema della continuita' della funzione inversa. Cenno ai punti di discontinuita' (in particolare quelli "eliminabili"). Discussione dei grafici delle funzioni: sin(x)/x, sin(1/x), 1/parteintera(1/x). Definizione di insieme di Cantor e cenni alle sue proprieta': e' un insieme chiuso, non numerabile, senza punti interni, con dimensione intermedia tra 0 e 1. Cenno ad altri insiemi frattali: Sierpinski e Koch.
T07	Ve 14/11/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 7 - Testi: - Soluzioni:
L22	Lu 17/11/14	Introduzione al calcolo differenziale: definizioni di rapporto incrementale, derivata (destra e sinistra), retta tangente. Ogni funzione derivabile e' continua. La notazione "o-piccolo" e il suo uso. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari.
L23	Me 19/11/14	Calcolo della derivata di una combinazione lineare di funzioni, del prodotto di funzioni e del rapporto di due funzioni. Calcolo della derivata della funzione composta. Calcolo della derivata della funzione inversa.
L24	Gi 20/11/14	Definizioni di punto di massimo/minimo assoluto e relativo di una funzione. Definizione di punto interno di un insieme. Teorema di Fermat sui punti stazionari (derivata nulla), teorema di Rolle.
T08	Ve 21/11/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 8 - Testi: - Soluzioni:
L25	Lu 24/11/14	Il teorema di Lagrange (o teorema del valor medio) e il teorema di Cauchy Il criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo. Applicazioni del criterio di monotonia: verifica di una disuguaglianza e determinazione del numero di soluzioni di un'equazione.
L26	Me 26/11/14	Teorema di de l'Hopital (Bernoulli) con esempi (in particolare nell'analisi degli infinitesimi).
L27	Gi 27/11/14	Studio di una disuguaglianza con il criterio di monotonia. Ancora esempi di uso del teorema di de l'Hopital e dell'o-piccolo nel calcolo di limiti. Teorema degli zeri per la derivata prima (Darboux). Considerazioni sulla regolarita' della funzione x->x^2*sin(1/x).
T09	Ve 28/11/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 9 - Testi: - Soluzioni:
L28	Lu 1/12/14	Definizioni di insieme convesso e di funzione convessa in un intervallo con esempi. La convessita' come la crescenza del rapporto incrementale x->R_f(x_0,x). Ogni funzioni convessa in un intervallo e' continua nei punti interni di tale intervallo. Criteri di convessita': f' crescente, il grafico di f sta sopra le sue rette tangenti, f'' non negativa. Definizione di punto di flesso.
L29	Me 3/12/14	Se f e' strettamente convessa allora ogni retta interseca il grafico di f in al piu' due punti e ogni retta tangente interseca il grafico di f in un solo punto. Utilizzo del teorema di Rolle nel conteggio del numero di zeri di una funzione. Punti di non derivabilita': punto angoloso, cuspide e flesso con tangente verticale. Studio del grafico di una funzione con esempi (prima parte).
L30	Gi 4/12/14	Studio del grafico di una funzione con esempi (seconda parte). Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Teorema di Stolz-Cesaro con esempi. La successione dei numeri armonici e' divergente.
T10	Ve 5/12/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 10 - Testi: - Soluzioni:
L31	Me 10/12/14	Definizione di successione di Cauchy. Una successione e' convergente a un numero reale se e solo se e' di Cauchy. Funzioni Lipschitziane. Esistenza e unicita' del punto fisso per le contrazioni. Esempi di contrazioni.
L32	Gi 11/12/14	Il numero e non e' razionale. La successione (1+1/2+...+1/n)-ln(n) tende ad un limite finito (la costante di Eulero-Mascheroni).
T11	Ve 12/12/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 11 - Testi: - Soluzioni:
L33	Lu 15/12/14	Definizioni di limite superiore e limite inferiore, prime proprieta' e alcuni esempi. Esempi di calcolo di limsup, liminf. Le successioni {sin(n)} e {cos(n)} per n intero non hanno limite. Discussione di un problema geometrico con i numeri complessi.
L34	Me 17/12/14	Calcolo dell'area di un segmento parabolico. Ogni funzione continua su R tale che il limite per x->+/- infinito di f(x) e' +infinito, ammette un punto di minimo assoluto.
T12	Gi 18/12/14	Tutorato - Foglio di problemi n. 12 - Testi: - Soluzioni:
		Vacanze di Natale
	Me 7/1/15	Ricevimento collettivo in aula.
	Gi 8/1/15	Ricevimento collettivo in aula.
	Lu 12/1/15	Ricevimento collettivo in aula.
	Me 14/1/15	Ricevimento collettivo in aula.
	Gi 15/1/15	Ricevimento collettivo in aula.

Lunedi'	Mercoledi'	Giovedi'	Venerdi'
09:00-11:00	11:00-13:00	09:00-11:00	11:00-13:00
Aula 5 (ed. PP2)	Aula 5 (ed. PP2)	Aula 5 (ed. PP2)	Aula 5 (ed. PP2)
Lezione (Tauraso)	Lezione (Tauraso)	Lezione (Tauraso)	Tutorato (Trusiani-Volpi)