Di seguito gli studenti troveranno il diario delle lezioni e materiale didattico per il corso di Analisi Matematica I (C.d.S Ingegneria dell'Edilizia e Ingegneria Edile-Architettura). L'utilizzo personale di tale materiale per lo studio è libero. È invece VIETATO ogni altro utilizzo, ad esempio la distribuzione attraverso fotocopie o la pubblicazione su altri siti web o comunque la diffusione a fini commerciali. L'autrice non risponde del contenuto di materiale didattico relativo a questo o altri corsi da lei tenuti, eventualmente diffuso a fini commerciali. Tale tipo di utilizzo non è mai stato autorizzato.


Diario delle lezioni:

• Lezione introduttiva del 24-09-2018: Slides

• Lezione del 01-10-2018 :Richiami di insiemistica.Insiemi prodotto. Insiemi numerici. L'insieme dei razionali è un campo ordinato. Rappresentazione dei razionali come allineamenti decimali limitati o periodici propri. Rappresentazione geometrica dei razionali sulla retta, Proprietà di densità. Slides lezione

• Lezione del 03-10-2018:Proprietà di Archimede nei razionali e conseguenze, dimostrazioni per assurdo:√2 non è razionale. Definizione dei numeri reali, maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme di numeri reali. Caratterizzazione di supA e di infA. Intervalli. Proprietà di completezza dei reali Slides Lezioni 01 e 03 ottobre 2018 (versione del 03-10 aggiunte slides da pag. 19)

• Lezione del 04-10-2018:Definizione di parte intera di un numero reale. Esercizi su estremo superiore ed inferiore di insiemi (testi) (soluzione esercizio insieme G) . Valore assoluto.

• Lezione del 08-10-2018:Generalità sulle funzioni: dominio, codominio,immagine, grafico, controimmagine, funzioni numeriche, funzioni iniettive, suriettive,esempi. Composizione di funzioni, funzione inversa, esempi.

• Lezione del 10-10-2018:Generalità sulle funzioni: funzioni monotone e legame tra monotonia e iniettività (esempi e controesempi), potenze, radici n-me, funzioni esponenziali, logaritmiche. Esercizi.

• Lezione del 11-10-2018:Generalità sulle funzioni: funzioni periodiche, richiamo sulle funzioni trigonometriche e definizione delle funzioni arcsin(x), arccos(x), arctan(x). Esercizi su domini di funzioni composte. Slides delle lezioni 08 10 e 11 ottobre 2018 .

• Lezione del 15-10-2018:Definizione di intorno di un punto, punto interno, punto esterno, punto di frontiera, punto di accumulazione, punto isolato per un insieme. Esempi. Definizione di insieme aperto, chiuso, discreto, denso. Esempi: intervalli, l'insieme dei razionali (punti interni, frontiera, derivato). La retta reale estesa ed intorni di più o meno infinito. Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione).Principio di induzione e disuguaglianza di Bernoulli. Definizione di successione e di limite finito per successioni. Slides lezione 15 ottobre 2018

• Lezione del 17-10-2018:Limiti di successioni: limite infinito per successioni, successioni che non ammettono limite, unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, successioni convergenti sono limitate ma il viceversa non è vero in generale. Algebra dei limiti, prime forme indeterminate. Teoremi di confronto e applicazione al calcolo di lim n!/n^n.

• Lezione del 18-10-2018:Limiti di successioni: Forme indeterminate, conseguenza della disuguaglianza di Bernoulli: limite di a^{1/n}, soluzione di alcune forme indeterminate: lim(n^\alpha/a^n), lim (|log{n}|^alpha/n^beta). Successioni monotone.Esempi Slides lezioni 17 e 18 ottobre 2018

• Lezione del 22-10-2018:Limiti di successioni: Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (con dim.). Definizione del numero di Nepero e=lim(1+1/n)^n. ulteriori limiti notevoli, definizione di "o piccolo" ed "O grande" (infiniti di ordine inferiore, infinitesimi di ordine superiore), catena degli infiniti, esempi Slides lezione 22 ottobre 2018

• Lezione del 24-10-2018:Limiti di successioni:uleriori limiti notevoli, limiti notevoli di successioni trigonometriche definizione di ordine di infinito e di infinitesimo, esempi ed esercizi. Slides lezione 24 ottobre 2018

• Lezione del 25-10-2018:Limiti di successioni:esercizi su limiti, ordine di infinito/infinitesimo, esercizi sul corretto uso di "o piccolo" ed "O grande" Slides lezione 25 ottobre 2018

• Lezione del 29-10-2018:Sospesa per decisione rettorale causa allerta meteo

• Lezione del 31-10-2018:Sottosuccessioni, ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente (con dim.).Successioni fondamentali, Criterio di Cauchy (con dim.). Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizione nei vari casi, esempi. Teorema ponte (la dim. verrà svolta nella prossima lezione) e applicazione per la determinazione di alcuni limiti notevoli per funzioni.

• Lezione del 05-11-2018:Limiti di funzioni reali di variabile reale: Teorema ponte (dim.) e applicazione per la determinazione dei limiti notevoli per funzioni, scala degli infiniti unicità del limite per funzioni.Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto. Proprietà dei limiti, teoremi di confronto. Esempi di funzioni che non ammettono limite (anche utilizzando teorema ponte). Limiti di funzioni composte (con dim.). esempi e controesempi. Definizione di continuità in un punto. Slides lezioni 31 ottobre e 05 novembre 2018

• Lezione del 07-11-2018:Estremo superiore e inferiore di funzioni, massimo e minimo globale. Limiti di funzioni reali di variabile reale: esistenza di limite destro e sinistro per funzioni monotone, esempi, asintoti verticale,orizzontale, obliquo. esempi. Infinitesimi e infiniti di ordine superiore o inferiore, ordine di infinito e infinitesimo di funzioni rispetto ad un infinito o infinitesimo campione.

• Lezione del 08-11-2018:Esercizi su asintoti, limiti notevoli, Esercizi su limiti di funzioni, infinitesimi e infiniti di ordine superiore o inferiore, ordine di infinito e infinitesimo. Slides lezioni 07 e 08 novembre 2018

• Lezione del 12-11-2018:Continuità di funzioni reali di variabile reale: definizione ed esempi, Classificazione delle discontinuità, discontinuità di funzioni monotone su intervalli, Proprietà di funzioni continue (permanenza del segno, composizione di funzioni continue). Teorema degli zeri (con dim.) e conseguenze:Teorema dei valori intermedi (con dim.), monotonia e invertibilità (funzioni continue su intervalli sono iniettive se e solo se sono strettamente monotone (con dim.)).

• Lezione del 14-11-2018:Continuità della funzione inversa di una funzione continua su un intervallo (con dim.), insiemi compatti, continuità della funzione inversa di una funzione continua su un compatto (senza dim.); Teorema di Weierstrass (con dim.) con esempi e controesempi. Esercizi su limiti di funzioni (corretti es. foglio 3, verrà inserito il file soluzioni accanto al testo foglio 3). Slides lezioni 12 e 14 novembre 2018

• Lezione del 15-11-2018:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: definizione di derivata, retta tangente ed equivalenza tra esistenza di retta tangente non verticale al grafico di f in un punto e derivabilità di f. Una funzione derivabile in un punto è continua nello stesso punto ma il viceversa non è vero (dim.); punti del grafico a tangente verticale; derivata destra e sinistra, punti angolosi, cuspidi; derivata di funzioni elementari, algebra delle derivate (derivata della somma, del prodotto di funzioni (dim.), del quoziente di funzioni(dim.)) derivata della funzione composta (dim.), esempi. Slides lezione 15 novembre 2018

• Lezione del 19-11-2018:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:derivata della funzione inversa (dim) e applicazione al calcolo della derivata di arcsin(x), arcos(x),arctan(x); definizione di estremo relativo, di punto critico e dim. teorema di Fermat (sui punti critici). teorema di Rolle(dim.) e del valor medio di Lagrange (dim), esempi e controesempi. Conseguenze del teorema di Lagrange: monotonia e segno della derivata; le funzioni con derivata prima nulla in un intervallo sono costanti ma se il dominio non è un intervallo può non essere vero. Studio della natura dei punti critici.Teorema di Cauchy (con dim.)

• Lezione del 21-11-2018:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Conseguenze del teorema del valor medio: La derivata di una funzione derivabile non può avere discontinuità di salto. esempi di funzioni derivabili ma con derivata non continua,Definizione di funzione Lipschitziana, esempi. Le funzioni derivabili su un intervallo con derivata limitata sono Lipschitziane. |x| è Lipschitziana. Esercizi su massimi e minimi relativi e assoluti, Determinazione del cilindro inscritto nella sfera di raggio 1 con volume massimo, superficie laterale o superficie totale massima. Grafici di funzioni. Slides lezioni del 19 e 21 novembre 2018

• Lezione del 22-11-2018:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Derivate successive, polinomio di Taylor: definizione, esempi (polinomi di McLaurin di e^x, sin(x), cos(x),(1+x)^alpha con alpha reale;) Enunciato del teorema di Peano e applicazioni:polinomio di McLaurin di e^(x^2), di e^(2x+3). Pol. di Taylor di 1/(1+x) centrato in 1. Applicazione al calcolo di limiti. Natura dei punti critici mediante lo studio del segno delle derivate successive alla prima nel punto stesso.Applicazione dello sviluppo di Taylor per la determinazione dell'ordine di infinitesimo di funzione.

• Lezione del 28-11-2018:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Polinomio di Taylor:Polinomi di McLaurin di 1/(1-x), 1/(1+x^2);relazione tra pol. di Taylor di una funzione e della sua derivata e applicazione al calcolo del pol. di McLaurin di arctan(x), log(1+x). Funzioni convesse e concave, proprietà, esempi. Funzioni convesse derivabili e proprietà, punti di flesso. Slides lezioni del 22 e 28 novembre 2018

• Lezione del 29-11-2018:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Teorema di De L'Hopital e applicazioni, esempi e controesempi di applicazione, dim del teorema di Peano. Polinomio di Taylor con resto di Lagrange, applicazione al calcolo di e^(1/2) con un errore inferiore a 10^(-6). Esercizi su applicazione di sviluppi di Taylor (corretto es. 1 foglio 4) Slides lezione del 29 novembre 2018

• Lezione del 03-12-2018:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Definizione di partizione (o decomposizione) di un intervallo, somme superiori e somme inferiori per una funzione limitata, andamento delle somme superiori e inferiori rispetto al raffinamento di partizioni (dim). Definizione di funzione integrabile secondo Riemann, esempio di funzione non integrabile (la funzione di Dirichlet).Proprietà dell'integrale di Riemann: significato geometrico, additività, linearità. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza dell'integrale di Riemann (con dim.)

• Lezione del 05-12-2018:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Integrabilità di funzioni monotone (dim.), integrabilità di funzioni continue, e di funzioni limitate con un numero finito di punti di discontinuità, teorema della media integrale (dim.). Definizione di funzione integrale, proprietà delle funzioni integrali di funzioni integrabili (Lipschitzianità (dim.)). Derivabilità delle funzioni integrali nei punti di continuità della funzione integranda (teorema fondamentale del calcolo integrale con dim.). Definizione di primitiva, proprietà,insieme delle primitive (integrale indefinito). Calcolo dell'integrale definito.Metodo di integrazione per parti, esempi Slides lezioni del 03 e 05 dicembre 2018

• Lezione del 06-12-2018:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Formula di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (discussione completa se il denominatore è un polinomio di secondo grado). Esempi di calcolo di integrali con i tre metodi di sostituzione, parti e fratti semplici, formule ricorsive per il calcolo di integrale di (sin x)^m.

• Lezione del 10-12-2018:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (con denominatore polinomio di grado n).Formule ricorsive per calcolo dell'integrale di 1/(x^2+1)^m, decomposizione di Hermite per il calcolo di integrali di funzioni razionali con radici doppie del denominatore. Esempi Slides lezioni del 06 e 10 dicembre 2018

• Lezione del 13-12-2018:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Alcune sostituzioni speciali per il calcolo di integrali con radici, funzioni razionali negli argomenti sin(x), cos(x) (sostituzione t=tg(x/2)).Metodi di calcolo dei coefficienti dei fratti nel caso di radici reali singole o doppie Esercizi su integrali.

• Lezione del 14-12-2018(recupero lezione del 12/12+ recupero parziale lezione del 29/10):Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Definizione di integrale improprio per funzioni non limitate su intervalli limitati o su intervalli non limitati. Integrabilità in senso improprio delle funzioni di tipo potenza ad esponente reale, (sia su (0,1) che in intervalli illimitati), teorema del confronto per funzioni definitivamente non negative, esempi. Criterio del confronto asintotico. Integrabilità di 1/x(|logx|)^beta vicino a zero e all'infinito.Esempi Slides lezioni del 13 e 14 dicembre 2018

• Lezione del 17-12-2018:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: assoluta integrabilità in senso improprio, esempio di funzione integrabile in senso improprio ma non assolutamente integrabile. Integrabilità di 1/x^a(|logx|)^beta vicino a zero e all'infinito. Esercizi Slides lezione del 17 dicembre 2018

• Lezione del 19-12-2018:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:derivate di funzioni composte con funzioni integrali, limiti (usando de L'Hopital), ordini di infinito/infinitesimo di funzioni integrali, polinomi di Mac Laurin, esercizi di riepilogo su integrali impropri. Slides lezione del 19 dicembre 2018

• Lezione del 20-12-2018:Esercizi di riepilogo su integrali e integrali impropri. last but not least...

• Lezione del 07-01-2019:Generalità sulle serie numeriche: definizione di serie, successione delle ridotte n-me, resto n-mo,convergenza esempi: serie telescopiche e serie di Mengoli, serie geometrica, condizione necessaria per la convergenza, criterio di Cauchy per le serie, serie armonica, serie a termini non negativi e convergenza assoluta, criterio integrale e criterio del confronto e confronto asintotico, serie armonica generalizzata, serie di 1/k(log k)^b.

• Lezione del 09-01-2019:Serie numeriche: criterio del rapporto e della radice, esempi di applicazione dei due criteri.Esercizi.

• Lezione del 10-01-2019:Serie numeriche: Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Serie convergenti semplicemente ma non assolutamente, esempi ed esercizi.Esempio di funzione non limitata all'infinito con integrale improprio convergente (all'infinito) Slides lezioni del 07, 09 e 10 gennaio 2019

• Lezione del 14-01-2019:Esercizi di riepilogo su integrali. Corretti esercizi foglio n. 5. Soluzione esercizi foglio 5

• Lezione del 16-01-2019:Esercizi di riepilogo: Corretti esercizi foglio n. 6. Soluzione esercizi foglio 6

• Lezione del 17-01-2019:Esercizi di riepilogo: Slides lezione 17-01-2019

• Lezione del 21-01-2019 (dalle ore 11,10): Test di autovalutazione (I parte)

• Lezione del 23-01-2019: Test di autovalutazione (II parte), correzione di alcuni esercizi del test. Test di autovalutazione, Soluzioni

• Lezione del 24-01-2019: Correzione degli altri esercizi del test, altri esercizi di riepilogo sul programma svolto.