PROGRAMMA DEL CORSO
I dettagli degli argomenti svolti si possono consultare nel diario delle lezioni.
INSIEMI NUMERICI. Numeri interi e razionali. Numeri reali e loro proprietà. Estremo superiore e inferiore e loro proprietà.
Radici, potenze e logaritmi. Il principio di induzione.
Numeri complessi e loro proprietà. Rappresentazione cartesiana e esponenziale. Radici n-sime complesse.
L'equazione di secondo grado nel campo complesso.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE.
Nozioni di base: dominio, immagine, grafico. Funzioni monotone e funzioni invertibili.
Richiami sulle funzioni: potenze, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e loro inverse.
SUCCESSIONI.
Limiti di successioni: definizione e proprietà.
Successioni monotone.
Successioni infinitesime, infinite e confronti.
Forme indeterminate, limiti notevoli, il numero e.
Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI REALI.
Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale.
Limite di una funzione: definizione e proprietà.
Infinitesimi, infiniti e confronti.
Forme indeterminate, limiti notevoli.
Funzioni continue. Punti di discontinuità.
Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass.
Teorema degli zeri.
CALCOLO DIFFERENZIALE.
Derivabilità e retta tangente.
Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione.
Estremi locali e derivate.
Teorema di Rolle, teorema del valor medio e teorema di Cauchy.
Monotonia e derivate.
Teorema di de L'Hopital e applicazioni.
Derivate successive; concavità e convessità.
Studio del grafico di funzioni.
Il polinomio di Taylor e sue applicazioni al calcolo dei limiti.
CALCOLO INTEGRALE
Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà.
Classi di funzioni integrabili.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione.
Integrazione delle funzioni razionali.
Integrabilità in senso improprio.
Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze.
SERIE NUMERICHE.
Definizioni. Serie positive: teorema del confronto, del confronto asintotico, della radice e del rapporto.
Teorema del confronto integrale per una serie.
Serie geometrica, serie armonica generalizzata. Serie a segni alterni: criterio di Leibniz.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIU' VARIABILI.
Derivate parziali. Definizione di gradiente e equazione del piano tangente. Matrice Hessiana e formula di Taylor fino al secondo ordine. Studio della natura dei punti critici nei casi più semplici.
TESTI CONSIGLIATI
- M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
- M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli. Epsilon 1, Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill
- A. Languasco, Analisi Matematica 1, Hoepli
- B. P. Demidovich, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Ed. Riuniti
- S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica Vol 1, Zanichelli
ESAMI
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.
La prova scritta consiste nello svolgimento di un certo numero di esercizi. Durante la prova i cellulari devono essere spenti e non si possono usare libri e appunti.
Per essere ammessi alla prova orale è necessario che la prova scritta sia sufficiente.
La prova orale consiste in una discussione sugli argomenti del programma d'esame.
Se anche la prova orale è sufficiente e lo studente accetta il voto finale, si verbalizza e l'esame è concluso, altrimenti è necessario rifare la prova scritta in uno degli appelli successivi.
Maggiorante, minorante, massimo, minimo di un insieme.
Estremo superiore e
estremo inferiore di un insieme di numeri reali.
Alcuni esempi di determinazione del sup e dell'inf di un insieme di numeri reali.
L05
Me 15/10/25
Limite di una successioni di numeri reali: definizione e primi esempi. Proprietà dei limiti:
unicità del limite, ogni successione con limite finito è limitata, limite di sottosuccessione, permanenza del segno, confronto e
doppio confronto, limiti della somma, del prodotto e del quoziente.
Il prodotto di una successione limitata e di una successione infinitesima tende a zero.
Convergenza delle successioni monotone.
Forme indeterminate (prima parte). Qualche esempio di calcolo di limite.
L06
Gi 16/10/25
Qualche esempio di calcolo di limite.
Forme indeterminate (seconda parte).
Criterio del rapporto per successioni. Ordine di infinito e confronto tra infiniti con esempi.
Foglio di esercizi n. 2:
Soluzioni:
L07
Ma 21/10/25
Definizione del
numero di Nepero e come limite della successione (1+1/n)n (e sue forme equivalenti).
La funzione
parte intera di x. Qualche limite notevole.
L08
Me 22/10/25
Intorni di un punto nella
retta reale estesa.
Punti di accumulazione di un insieme di numeri reali.
Limite per funzioni reali: definizione, prime proprietà e qualche esempio.
Relazione tra i limiti di funzioni e limiti di successioni: teorema ponte.
Funzioni continue: definizione, esempi e prime proprietà.
Limiti notevoli per x → 0 (prima parte): (1+x)1/x, (ex-1)/x,
log(1+x)/x, ((1+x)a-1)/x, sen(x)/x.
L09
Gi 23/10/25
Limiti notevoli per x → 0 (seconda parte): (1-cos(x))/x2, tan(x)/x, arcsen(x)/x, arctan(x)/x.
Ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi con esempi.
Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi. Esempi di utilizzo del teorema degli zeri.
Teorema di Lagrange (o teorema del valor medio).
Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi.
Criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo: applicazioni ed esempi.
Foglio di esercizi n. 4:
Soluzioni:
L13
Ma 4/11/25
Asintoti: definizione e primi esempi.
Definizione di
funzione convessa (e concava) in un intervallo
con esempi. Criteri di convessità: f' è crescente, f'' è non negativa.
Definizione di punto di flesso.
Il grafico di una funzione convessa (concava) e derivabile sta sopra (sotto) le sue rette tangenti. Un esempio di studio di funzione con discussione della convessità/concavità.
Polinomi di Taylor in 0 di sin(x), cos(x), (1+x)b, arctan(x). Definizione di
o-piccolo. Formula di Taylor con il resto di Peano.
Qualche esempio di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
L17
Me 12/11/25
Algebra degli o-piccoli. Alcuni esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo.
L18
Gi 13/11/25
Il calcolo di polinomio di Taylor senza l'uso diretto della definizione.
Altri esempi di calcolo di limite con i polinomi di Taylor e la notazione o-piccolo. Vari esercizi svolti di calcolo differenziale.
Foglio di esercizi n. 6:
Soluzioni:
L19
Ma 18/11/25
Metodo di esaustione-compressione per il calcolo dell'area del cerchio.
Definizione di funzione integrabile e di integrale definito
secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori. Le funzioni continue sono integrabili. Proprietà delle funzioni integrabili: additività rispetto all'intervallo di integrazione, linearità e monotonia. Il valore assoluto di un integrale è minore o uguale dell'integrale del valore assoluto. Esempio di calcolo dell'integrale di x2 in [0,1] con la definizione.
Vari esempi di integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali mediante sostituzioni.
Foglio di esercizi n. 8:
Soluzioni:
L24
Gi 27/11/25
Definizione di
integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate.
Primi esempi e discussione della convergenza dell'integrale di
1/xα in (0,1] e in [1,+∞).
Discussione della convergenza dell'integrale di
1/(x|log(x)|β) in (0,1/2] e in [2,+∞).
Vacanze di Natale