Diario delle lezioni del corso di Metodi Computazionali per Sistemi Hamiltoniani

• Lezione serale del 29/4
  • Conclusione dell'esercitazione sulle espansioni della Hamiltoniana che descrive la dinamica, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: il codice che rappresenta una soluzione dell'esercizio proposto, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione. In questo caso, viene considerato il caso speciale in cui le masse dei primari siano rispettivamente uguali a quelle del Sole e di Giove. Inoltre, il codice viene anche dato nella versione "notebook" di Mathematica che è stata creata durante la lezione. Tale "notebook" è stato ottenuto concatenandone altri due che erano stati ampiamente discussi nelle precedenti sessioni laboratoriali. Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 28/4
  • Serie di Lie e trasformate di Lie: loro proprietà elementari e canonicità delle trasformazioni ad esse associate.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 15/4 (sessione laboratoriale)
  • Continuazione dell'esercitazione sulle espansioni (in coordinate eliocentriche polari) della Hamiltoniana che descrive la dinamica, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: il codice che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione (anche in versione notebook Mathematica).
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 14/4
  • Fine della discussione riguardo al teorema di Poincaré sulla non esistenza degli integrali primi e, in particolare, a proposito della condizione di genericità.
  • Definizione di sistemi isocroni e dei vettori di frequenze non risonanti; condizione diofantea di non risonanza.
  • Riduzione di un modello di oscillatori anarmonici accoppiati al problema generale della dinamica.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 11/4
  • Discussione della parte finale della dimostrazione del teorema di Poincaré sulla non esistenza di integrali degli integrali primi.
    Rif.: parte conclusiva della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Discussione del teorema di Poincaré sulla non esistenza degli integrali primi e, in particolare, della condizione di genericità.
    Rif.: parte iniziale della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 8/4 (sessione laboratoriale)
  • Conclusione dell'esercitazione sulla diagonalizzazione (tramite una trasformazione lineare e simplettica) di una Hamiltoniana quadratica con un punto di equilibrio ellittico in corrispondenza all'origine. Applicazione allo studio della dinamica, in approssimazione lineare, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: le note esplicative riguardanti l'esercitazione e il codice prodotto durante la lezione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Inizio dell'esercitazione sulle espansioni (in coordinate eliocentriche polari) della Hamiltoniana che descrive la dinamica, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano. Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: la prima metà della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 7/4
  • Completamento della descrizione dei moti quasi-periodici sui tori invarianti.
    Rif.: fine della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Discussione quasi completa della dimostrazione del teorema di Poincaré sulla non esistenza di integrali degli integrali primi.
    Rif.: buona parte della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 4/4
  • Fine della discussione per la costruzione esplicita delle coordinate canoniche di azione e, eventualmente, degli angoli, nell'ambito dell'esempio delle variabili di Delaunay per il problema di Keplero.
    Rif.: fine della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Il problema generale della dinamica, secondo la definizione di Poincaré.
  • Inizio della descrizione dei moti quasi-periodici su tori invarianti.
    Rif.: buona parte della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 1/4 (sessione laboratoriale)
  • Esercitazione riguardante la diagonalizzazione (tramite una trasformazione lineare e simplettica) di una Hamiltoniana quadratica con un punto di equilibrio ellittico in corrispondenza all'origine. Applicazione allo studio della dinamica, in approssimazione lineare, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: le note esplicative riguardanti l'esercitazione e il codice che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 31/3
  • Fine della discussione sulla commutatività dei flussi di variabili dinamiche in involuzione.
  • Cenni alla dimostrazione del teorema di Arnold-Jost.
  • Metodo di costruzione esplicita delle coordinate canoniche di azione e, eventualmente, degli angoli. Inizio della discussione riguardanti l'esempio delle variabili di Delaunay per il problema di Keplero.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 28/3
  • Introduzione delle variabili di azione-angolo per l'oscillatore armonico.
  • Canonicità del flusso Hamiltoniano.
  • Commutatività dei flussi di variabili dinamiche in involuzione.
    Rif.: la parte finale della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 25/3 (sessione laboratoriale)
  • Esercitazione riguardante il calcolo della linearizzazione delle equazioni del moto nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: il codice che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione.
    Rif.: la video-registrazione della lezione (si veda la parte iniziale) e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 24/3
  • Teorema di Arnold-Jost (solo enunciato).
  • Relazione tra il calcolo dell'azione e quello del periodo per moti periodici in sistemi meccanici conservativi a un grado di libertà.
    Rif.: la parte iniziale della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Inizio della discussione riguardo alla dinamica Hamiltoniana nei pressi di un equilibrio equilatero del problema ristretto circolare a tre corpi nel piano.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: la parte centrale della video-registrazione della lezione del mattino e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 21/3
  • Dimostrazione completa del teorema di Liouville per i sistemi integrabili per quadrature.
    Rif.: fine della video-registrazione della lezione e fine dei relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Soluzione algoritmica delle equazioni di Hamilton con un approccio basato sul teorema di Liouville
    Rif.: buona parte della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 17/3
  • Geometria simplettica (cenni): fine della discussione riguardo al gruppo delle matrici simplettiche; varietà lagrangiane.
  • Equazione di Hamilton-Jacobi. Esempio di soluzione per il problema del moto (in 3D) della particella libera.
  • Enunciato del teorema di Liouville per i sistemi integrabili per quadrature.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 14/3
  • Equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione dell'integrale su cammini chiusi della 1-forma differenziale fondamentale della geometria simplettica.
  • Generatrici (di trasformazioni canoniche) in coordinate miste.
  • Trasformazioni canoniche "di punto esteso"; trasformazioni canoniche che scambiano coordinate e momenti.
  • Trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo.
  • Geometria simplettica (cenni): inizio della discussione riguardo al gruppo delle matrici simplettiche.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 11/3
  • Breve introduzione all'utilizzo di Mathematica come ambiente di programmazione per effettuare il calcolo simbolico: verifica dell'identità di Jacobi.
    Rif.: il codice che effettua la verifica e quello per il caso semplificato a 1 grado di libertà.
    Rif.: A mo' di soluzione di un possibile esercizio, il codice che effettua la verifica che il vettore di Runge-Lenz è costante rispetto al flusso indotto dalla Hamiltoniana del problema di Keplero (sempre utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione).
  • Equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione della 2-forma differenziale fondamentale della geometria simplettica.
    Rif.: si veda la fine della video-registrazione della lezione e alla fine degli appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 10/3
  • Formalismo Hamiltoniano: esempi di trasformazioni canoniche; matrici simplettiche; equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione delle parentesi di Lagrange fondamentali.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e gli appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 7/3
  • Parentesi di Poisson, identità di Jacobi e algebre di Lie (cenni). Formalismo Hamiltoniano: definizione di trasformazione canonica. Equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e la prima parte degli gli appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 5/3
  • Richiami sul formalismo Hamiltoniano: definizioni ed esempi. Sistemi autonomi e non autonomi.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.

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