Diario delle lezioni del corso di Metodi Computazionali per Sistemi Hamiltoniani

• Lezione del 6/6 (sessione laboratoriale)
  • Studio dell'andamento dei punti di massimo (dell'integrale fondamentale dell'analisi in frequenza) in funzione del tempo di osservazione del segnale stesso.
  • Cenni al significato dello studio numerico della scomposizione di un segnale associato a una legge del moto per una coppia di coordinate canoniche.
    Rif.: sezioni 4.3.1 e 4.3.2 delle note sui Metodi numerici di studio dei sistemi Hamiltoniani.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Scrittura del programma che produce due segnali relativi alle leggi del moto delle due coppie di variabili canoniche per il modello di Henon-Heiles, in modo che quegli stessi segnali siano scritti su file esterni compatibili con l'utilizzo dei programmi che utilizzano i metodi dell'analisi in frequenza.
    Rif.: il codice che rappresenta una soluzione del problema, utilizzando il linguaggio di programmazione C. Inoltre, per poter funzionare, il suddetto programma deve essere eseguito all'interno di una directory (=cartella) che contiene anche il seguente file di input:
    scrivisegnale_HH.inp
  • Discussione di un primo programma che utilizza l'analisi in frequenza: calcolo dei punti di massimo assoluto dell'integrale fondamentale dell'analisi in frequenza per due segnali prodotti dalle leggi del moto per il modello di Henon e Heiles. Confronto asintotico con le velocità angolari calcolate dai programmi che effettuano la forma normale di Birkhoff.
    Rif.: il codice che rappresenta una soluzione del problema, utilizzando il linguaggio di programmazione C.
    Inoltre, per poter funzionare, il suddetto programma deve essere eseguito all'interno di una directory (=cartella) che contiene anche il seguente file di input:
    freqmax_HH.dat
    e i seguenti file che costituiscono la libreria di function utili a implementare l'analisi in frequenza (i quali sono stati brevemente descritti durante la lezione): lib_ainf.c e lib_ainf.h.
    Infine, viene fornito anche il codice nella versione "notebook" di Mathematica che effettua la verifica della forma normale di Birkhoff (costruita per il modello di Henon-Heiles) e a cui cui sono state aggiunte piccole modifiche durante la lezione allo scopo di poter confrontare i risultati con quelli forniti dal suddetto programma freqmax_HH.c .
    Cenni all'effetto di aliasing.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 3/6 (sessione laboratoriale)
  • Discussione riguardante la verifica della forma normale di Birkhoff costruita per il modello di Henon-Heiles. Tale verifica viene effettuata calcolando l'errore sulla preservazione dell'energia lungo la soluzione semi-analitica delle equazioni del moto, che viene prodotta in approssimazione di forma normale.
    Rif.: il codice che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione; inoltre, viene fornito anche il codice che è stato creato durante la lezione, quest'ultimo viene dato nella versione "notebook" di Mathematica .
    Rif.: Gli appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura durante la lezione, la video-registrazione corrispondente e l'inizio di quella video-lezione successiva.
• Lezione del 30/5
  • Discussione dell'enunciato del teorema KAM nella versione "alla Kolmogorov".
    Rif.: inizio della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Inizio della discussione riguardante l'analisi in frequenza. Leggi di moto quasi-periodiche con legge di decadimento esponenziale.
  • Introduzione dell'integrale fondamentale dell'analisi in frequenza. Enunciato e dimostrazione della proposizione che caratterizza i massimi relativi dell'integrale fondamentale dell'analisi in frequenza nel limite di intervalli di tempo (di studio del segnale) arbitrariamente grandi.
    Rif.: parte introduttiva della sezione 4 e sezione 4.1 delle note sui Metodi numerici di studio dei sistemi Hamiltoniani.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 27/5 (sessione laboratoriale)
  • Scrittura del programma che effettua esplicitamente la costruzione della forma normale di Birkhoff per il modello di Henon-Heiles.
    Rif.: il codice (ampiamente commentato) che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione; inoltre, viene fornito anche il codice che è stato creato durante la lezione, quest'ultimo viene dato nella versione "notebook" di Mathematica .
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 26/5
  • Descrizione completa dell'algoritmo di costruzione della forma normale di Kolmogorov.
    Rif.: Alcune note manoscritte relative al mini-corso sulla teoria KAM, svolto nell'ambito della Pisa-Hokkaido-Roma2 school on Mathematics, nel periodo 3-7 settembre 2018.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 23/5
  • Inizio della discussione riguardante il teorema KAM: forma normale di Kolmogorov.
  • Norme di Fourier pesate e stime per le parentesi di Poisson. Analiticità delle serie di Lie, per generatrici piccole abbastanze (in norma di Fourier pesata).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 20/5 (sessione laboratoriale)
  • Prosecuzione dell'esercitazione svolta nella precedente sessione laboratoriale, riguardante il calcolo e il disegno delle sezioni di Poincarè per il modello di Henon-Heiles, la cui integrazione numerica viene effettuata (nuovamente) con il metodo simplettico "leap-frog".
    Rif.: il programma sez_Poi_LF_HH.c che rappresenta una soluzione del problema, utilizzando il linguaggio di programmazione C.
    A lezione, la scrittura del suddetto programma è stata consigliata, in modo tale da completare lo schema presente nel file
    schema_sez_Poi_LF_HH.c
    Inoltre, per poter funzionare, il suddetto programma deve essere eseguito all'interno di una directory (=cartella) che contiene anche il seguente file di input:
    sez_Poi_LF_HH.inp
    Per effettuare i grafici è utile la macro di comandi gnuplot:
    sez_Poi_LF_HH.gnp;
    infine, il file
    sez_Poi_LF_HH.ps
    è un esempio di grafico ottenuto utilizzando gnuplot a partire dal file di dati esterno prodotto da sez_Poi_LF_HH.c (si osservi che tale figura è praticamente identica a quella riposta nell'angolo a sinistra in alto di questa stessa pagina web).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Discussione di alcune caratteristiche generali del modello di Henon-Heiles, interpretazione dei grafici delle sezioni di Poincarè nel caso non integrabile (ovvero senza il termine di accoppiamento).
    Rif.: Alcune note (assai informali).
    Rif.: buona parte della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 19/5
  • Studio della convergenza delle serie di Lie in coordinate canoniche di azione-angolo: domini complessificati, stime di Cauchy per le derivate rispetto alle azioni. Norme di Fourier pesate.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 16/5
  • Fine della discussione sulle stime esponenziali "alla Nekhoroshev"; stabilità effettiva.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. C.
  • Proprietà delle serie di Lie in coordinate canoniche di azione-angolo.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 13/5 (sessione laboratoriale)
  • Prosecuzione dell'esercitazione la cui discussione era cominciata in occasione della precedente lezione in laboratorio informatico (tenutasi il 6/5): integrazione numerica del modello Henon-Heiles con il metodo simplettico "leap-frog" e studio dell'andamento dell'errore sulla conservazione dell'energia, proprietà fondamentale degli integratori simplettici.
    Rif.: per effettuare i grafici è utile la macro di comandi gnuplot:
    leap-frog_HH.gnp;
    infine, il file
    leap-frog_HH.ps
    è un esempio di grafico ottenuto utilizzando gnuplot a partire dal file di dati esterno prodotto da leap-frog_HH.c.
  • Inizio della discussione riguardo al calcolo e disegno delle sezioni di Poincarè per il modello di Henon-Heiles, la cui integrazione numerica viene effettuata (nuovamente) con il metodo simplettico "leap-frog".
    Rif.: a lezione, la scrittura del programma richiesto è solo cominciata a partire dallo schema presente nel file
    schema_sez_Poi_LF_HH.c
    Inoltre, per poter funzionare, il suddetto programma deve essere eseguito all'interno di una directory (=cartella) che contiene anche il seguente file di input:
    sez_Poi_LF_HH.inp
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 12/5
  • Discussione sulla convergenza (in opportuni domini) della serie definita dall'algoritmo di costruzione della forma normale di Birkhoff, eseguito fino a un generico passo di normalizzazione r; stime del resto della forma normale.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. C.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 9/5
  • Descrizione dettagliata (e, per il momento, a livello puramente formale) dell'algoritmo di costruzione della forma normale di Birkhoff; equazione omologica; diagramma di soluzione semi-analitica delle equazioni del moto.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. C.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 6/5 (sessione laboratoriale)
  • Una facile applicazione della serie di Lie: verifica che il metodo "leap-frog" è un integratore numerico (simplettico) di ordine 2.
  • Integrazione numerica del modello Henon-Heiles con il metodo simplettico "leap-frog" con test sulla conservazione dell'energia.
    Rif.: il programma leap-frog_HH.c che ci consente di studiare il problema, utilizzando il linguaggio di programmazione C.
    A lezione, la scrittura del suddetto programma è stata consigliata, in modo tale da completare lo schema presente nel file
    schema_leap-frog_HH.c
    Inoltre, per poter funzionare, il suddetto programma deve essere eseguito all'interno di una directory (=cartella) che contiene anche il seguente file di input:
    leap-frog_HH.inp
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 5/5
  • Serie di Lie e trasformate di Lie: Teorema di scambio.
  • Inizio della descrizione (per il momento, a livello puramente formale) dell'algoritmo di costruzione della forma normale di Birkhoff; soluzione dell'equazione omologica.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. C.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 29/4 (sessione laboratoriale)
  • Conclusione dell'esercitazione sulle espansioni della Hamiltoniana che descrive la dinamica, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: il codice che rappresenta una soluzione dell'esercizio proposto, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione. In questo caso, viene considerato il caso speciale in cui le masse dei primari siano rispettivamente uguali a quelle del Sole e di Giove. Inoltre, il codice viene anche dato nella versione "notebook" di Mathematica che è stata creata durante la lezione. Tale "notebook" è stato ottenuto concatenandone altri due che erano stati ampiamente discussi nelle precedenti sessioni laboratoriali. Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 28/4
  • Serie di Lie e trasformate di Lie: loro proprietà elementari e canonicità delle trasformazioni ad esse associate.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 15/4 (sessione laboratoriale)
  • Continuazione dell'esercitazione sulle espansioni (in coordinate eliocentriche polari) della Hamiltoniana che descrive la dinamica, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: il codice che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione (anche in versione notebook Mathematica).
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 14/4
  • Fine della discussione riguardo al teorema di Poincaré sulla non esistenza degli integrali primi e, in particolare, a proposito della condizione di genericità.
  • Definizione di sistemi isocroni e dei vettori di frequenze non risonanti; condizione diofantea di non risonanza.
  • Riduzione di un modello di oscillatori anarmonici accoppiati al problema generale della dinamica.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 11/4
  • Discussione della parte finale della dimostrazione del teorema di Poincaré sulla non esistenza di integrali degli integrali primi.
    Rif.: parte conclusiva della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Discussione del teorema di Poincaré sulla non esistenza degli integrali primi e, in particolare, della condizione di genericità.
    Rif.: parte iniziale della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 8/4 (sessione laboratoriale)
  • Conclusione dell'esercitazione sulla diagonalizzazione (tramite una trasformazione lineare e simplettica) di una Hamiltoniana quadratica con un punto di equilibrio ellittico in corrispondenza all'origine. Applicazione allo studio della dinamica, in approssimazione lineare, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: le note esplicative riguardanti l'esercitazione e il codice prodotto durante la lezione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Inizio dell'esercitazione sulle espansioni (in coordinate eliocentriche polari) della Hamiltoniana che descrive la dinamica, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano. Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: la prima metà della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 7/4
  • Completamento della descrizione dei moti quasi-periodici sui tori invarianti.
    Rif.: fine della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Discussione quasi completa della dimostrazione del teorema di Poincaré sulla non esistenza di integrali degli integrali primi.
    Rif.: buona parte della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 4/4
  • Fine della discussione per la costruzione esplicita delle coordinate canoniche di azione e, eventualmente, degli angoli, nell'ambito dell'esempio delle variabili di Delaunay per il problema di Keplero.
    Rif.: fine della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Il problema generale della dinamica, secondo la definizione di Poincaré.
  • Inizio della descrizione dei moti quasi-periodici su tori invarianti.
    Rif.: buona parte della video-registrazione della corrispondente lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 1/4 (sessione laboratoriale)
  • Esercitazione riguardante la diagonalizzazione (tramite una trasformazione lineare e simplettica) di una Hamiltoniana quadratica con un punto di equilibrio ellittico in corrispondenza all'origine. Applicazione allo studio della dinamica, in approssimazione lineare, nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: le note esplicative riguardanti l'esercitazione e il codice che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 31/3
  • Fine della discussione sulla commutatività dei flussi di variabili dinamiche in involuzione.
  • Cenni alla dimostrazione del teorema di Arnold-Jost.
  • Metodo di costruzione esplicita delle coordinate canoniche di azione e, eventualmente, degli angoli. Inizio della discussione riguardanti l'esempio delle variabili di Delaunay per il problema di Keplero.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 28/3
  • Introduzione delle variabili di azione-angolo per l'oscillatore armonico.
  • Canonicità del flusso Hamiltoniano.
  • Commutatività dei flussi di variabili dinamiche in involuzione.
    Rif.: la parte finale della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 25/3 (sessione laboratoriale)
  • Esercitazione riguardante il calcolo della linearizzazione delle equazioni del moto nei pressi di un punto di equilibrio equilatero del problema a tre corpi ristretto circolare e piano.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: il codice che ne rappresenta una soluzione, utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione.
    Rif.: la video-registrazione della lezione (si veda la parte iniziale) e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 24/3
  • Teorema di Arnold-Jost (solo enunciato).
  • Relazione tra il calcolo dell'azione e quello del periodo per moti periodici in sistemi meccanici conservativi a un grado di libertà.
    Rif.: la parte iniziale della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Inizio della discussione riguardo alla dinamica Hamiltoniana nei pressi di un equilibrio equilatero del problema ristretto circolare a tre corpi nel piano.
    Rif.: "Note sui Sistemi Hamiltoniani", App. B.
    Rif.: la parte centrale della video-registrazione della lezione del mattino e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 21/3
  • Dimostrazione completa del teorema di Liouville per i sistemi integrabili per quadrature.
    Rif.: fine della video-registrazione della lezione e fine dei relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Soluzione algoritmica delle equazioni di Hamilton con un approccio basato sul teorema di Liouville
    Rif.: buona parte della video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 17/3
  • Geometria simplettica (cenni): fine della discussione riguardo al gruppo delle matrici simplettiche; varietà lagrangiane.
  • Equazione di Hamilton-Jacobi. Esempio di soluzione per il problema del moto (in 3D) della particella libera.
  • Enunciato del teorema di Liouville per i sistemi integrabili per quadrature.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 14/3
  • Equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione dell'integrale su cammini chiusi della 1-forma differenziale fondamentale della geometria simplettica.
  • Generatrici (di trasformazioni canoniche) in coordinate miste.
  • Trasformazioni canoniche "di punto esteso"; trasformazioni canoniche che scambiano coordinate e momenti.
  • Trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo.
  • Geometria simplettica (cenni): inizio della discussione riguardo al gruppo delle matrici simplettiche.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 11/3
  • Breve introduzione all'utilizzo di Mathematica come ambiente di programmazione per effettuare il calcolo simbolico: verifica dell'identità di Jacobi.
    Rif.: il codice che effettua la verifica e quello per il caso semplificato a 1 grado di libertà.
    Rif.: A mo' di soluzione di un possibile esercizio, il codice che effettua la verifica che il vettore di Runge-Lenz è costante rispetto al flusso indotto dalla Hamiltoniana del problema di Keplero (sempre utilizzando Mathematica come ambiente di programmazione).
  • Equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione della 2-forma differenziale fondamentale della geometria simplettica.
    Rif.: si veda la fine della video-registrazione della lezione e alla fine degli appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 10/3
  • Formalismo Hamiltoniano: esempi di trasformazioni canoniche; matrici simplettiche; equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione delle parentesi di Lagrange fondamentali.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e gli appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 7/3
  • Parentesi di Poisson, identità di Jacobi e algebre di Lie (cenni). Formalismo Hamiltoniano: definizione di trasformazione canonica. Equivalenza tra la definizione di canonicità e la conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e la prima parte degli gli appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 5/3
  • Richiami sul formalismo Hamiltoniano: definizioni ed esempi. Sistemi autonomi e non autonomi.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.

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