Analisi Matematica 2
per il corso di laurea in Matematica (2017-18)

Orario (5 Marzo 2018 - 8 Giugno 2018)

Lunedi' Mercoledi' Mercoledi' Venerdi'
11-13 11-13 14-16
11-13
Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2)
Lezione (Tauraso) Lezione (Tauraso) Tutorato (D'Addezio) Lezione (Tauraso)


Contatti.
- telefono: 06-7259-4615,
- e-mail:

Orario di ricevimento (nell'ufficio n. 0206 presso il Dip. di Matematica).
- Dal 5 Marzo 2018 al 8 Giugno 2018: il lunedi' e il mercoledi' dalle 13 alle 14 oppure su appuntamento da concordare via email.
- Dall'11 Giugno 2018: su appuntamento da concordare via email.

Obiettivi di apprendimento. Il corso si propone di illustrare alcuni concetti base del calcolo differenziale. L'obiettivo e' quello di rendere lo studente capace di elaborare tali concetti in maniera critica e di acquisire le conoscenze necessarie per risolvere con rigore i problemi proposti.

Programma del corso. Polinomio di Taylor e applicazioni. Formula di Taylor e stime del resto. Uniforme continuita'. Integrazione secondo Riemann. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Integrali impropri. Serie numeriche e criteri di convergenza. Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni differenziali a variabili separabili. Introduzione agli spazi metrici e agli spazi normati. Convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Compattezza in R^n. Teorema delle contrazioni in spazi metrici completi.
I dettagli degli argomenti svolti si possono consultare nel diario delle lezioni.

Libro di testo. Il libro consigliato e' "Analisi Matematica 1 (terza edizione)" di Enrico Giusti pubblicato dalla Bollati Boringhieri. Tale libro contiene parecchi esercizi che comunque verranno integrati con altro materiale fornito durante il corso.

Modalita' di verifica. Nell'anno accademico sono previsti SEI appelli. Il calendario degli esami e' pubblicato dalla segreteria QUI. Ad ogni appello a cui si intende partecipare si puo' sostenere l'esame che consiste di una prova scritta e di una prova orale (non sono previste prove in itinere o esoneri). Per la prova scritta e' necessario prenotarsi utilizzando il portale Delphi. La prenotazione riguarda solo la prova scritta (e va ripetuta ad ogni appello a cui si intende partecipare) mentre per la prova orale e' necessario seguire le indicazioni riportate sulla pagina web con i voti della prova scritta. La prova orale va svolta nella stessa sessione dello scritto, ma non necessariamente nello stesso appello. Durante la prova scritta non e' possibile utilizzare alcun testo. Per essere ammessi alla prova orale e' necessario che la prova scritta sia sufficiente. Se anche la prova orale e' sufficiente e lo studente accetta il voto finale, si verbalizza tale voto e l'esame e' concluso, altrimenti va rifatta la prova scritta in uno degli appelli successivi.

Prova scritta del 22/6/2018
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 13/7/2018
ore 10, aula L3

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 30/8/2018
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 20/9/2018
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del ?/?/2019
ore ?, aula ? edificio ?

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del ?/?/2019
ore ?, aula ? edificio ?

Testo: Svolgimento: Voti


Queste sono le prove dell'anno accademico 2016-17:

Prova scritta del 3/7/2017
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 24/7/2017
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 12/9/2017
ore 10, aula 11

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 1/2/2018
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti


Queste sono le prove dell'anno accademico 2015-16:

Prova scritta del 22/6/2016
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 26/7/2016
ore 10, aula 5 edificio PP2

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 13/9/2016
ore 10, aula L3

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 31/1/2017
ore 10, aula L3

Testo: Svolgimento: Voti


Link utili.
- Come studiare matematica? Qualche consiglio: Link 1, Link 2, Link 3.
- Matematici di Tor Vergata e' un archivio on-line di materiale didattico gestito dagli studenti di matematica.
- Mathematics Stack Exchange Network (wiki).
- MathOverflow (wiki).
- Wolfram Alpha. Esempi: grafico, polinomio di Taylor, limite, integrale indefinito, integrale definito, serie, eq. differenziale, eq. differenziale 2.
- Integral Calculator.
- il sito Numberphile (canale YouTube).

 

Diario delle lezioni

Nr. Giorno Argomento
-- Lu 5/3/18 Sospensione di tutte le attivita' didattiche deliberata dal Senato Accademico per consentire agli studenti dell'Ateneo di esercitare il diritto di voto in occasione delle elezioni politiche nazionali del 4 marzo 2018.
L01 Me 7/3/18 Descrizione del corso. Definizioni di insieme convesso e di funzione convessa in un intervallo con esempi. La convessita' come la crescenza del rapporto incrementale x->R_f(x_0,x). Ogni funzioni convessa in un intervallo e' continua e ammette derivata destra e sinistra nei punti interni di tale intervallo. Criteri di convessita': f' crescente, f'' non negativa.
L02 Ve 9/3/18 Una funzioni derivabile in un intervallo e' convessa se e solo se il grafico di f sta sopra le sue rette tangenti. Un punto di minimo relativo di una funzione convessa e' anche un punto di minimo assoluto. Disuguaglianza della media aritmetica e della media geometrica. Definizione di punto di flesso. Un esempio di studio della convessita'-concavita'. Definizione di polinomio di Taylor. Formule dei polinomi di Taylor in 0 di exp(x), ln(1+x), sin(x), cos(x), (1+x)^a. Formula di Taylor con il resto di Peano.
L03 Lu 12/3/18 Formula di Taylor con il resto di Lagrange. Per ogni x, la successione dei polinomi di Taylor di exp(x) di ordine n tende a exp(x). Irrazionalita' del numero di Nepero e. Calcolo di un limite con i polinomi di Taylor e l'uso dell'o-piccolo. Definizioni di uniforme continuita' e Lipschitzianita'. Condizioni sufficienti per l'uniforme continuita': Lipschitzianita', limitatezza della derivata.
L04 Me 14/3/18 Pi-Day: calcolo del limite della successione n|sin(pi n! e)|. Teorema di Heine-Cantor. Teorema di estensione per continuita' delle funzioni uniformemente continue. Una funzione continua in [a,+infinito) con asintoto lineare a +infinito e' uniformemente continua in [a,+infinito).
T01 Me 14/3/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L05 Ve 16/3/18 Una funzione uniformemente continua in due intervalli I e J con intersezione non vuota e' uniformemente continua sull'unione di I e J. Studio dell'uniforme continuita' per la funzione x^a. Una funzione uniformemente continua in [a,+infinito) ha crescita al piu' lineare.
L06 Lu 19/3/18 Studio dell'uniforme continuita' per le funzioni x^asin(1/x^b) e sin(x^2). Introduzione al calcolo integrale. Metodo di esaustione per il calcolo dell'area del cerchio e dell'area di un segmento parabolico.
L07 Me 21/3/18 Definizione di funzione integrabile (secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori) e di integrale definito. La funzione di Dirichlet non e' integrabile in [a,b]. Criterio di integrabilita'. Le funzioni monotone in [a,b] sono integrabili in [a,b]. Le funzioni continue in [a,b] sono integrabili in [a,b].
T02 Me 21/3/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L08 Ve 23/3/18 Proprieta' delle funzioni integrabili: linearita', monotonia, il valore assoluto di un integrale e' minore o uguale dell'integrale del valore assoluto. Definizioni di integrale indefinito, funzione integrale e primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di alcune funzioni elementari. Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione e integrazione per parti.
L09 Lu 26/3/18 Vari esempi di calcolo di una primitiva mediante l'integrazione per sostituzione e l'integrazione per parti. Se una funzione e' integrabile in [a,b] e (sigma_n) e' una successione di suddivisioni di [a,b] tali che |sigma_n| tende a zero allora le corrispondenti somme di Riemann tendono all'integrale di f in [a,b].
L10 Me 28/3/18 Decomposizione di una funzione razionale. Algoritmo per l'integrazione delle funzioni razionali con esempi svolti.
T03 Me 28/3/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L11 Ve 30/3/18 Teorema della media integrale. Se una funzione e' limitata in [a,b] ed e' integrabile in [c,b] per ogni c in (a,b) allora e' integrabile in [a,b]. Le funzioni limitate e continue a tratti in [a,b] sono integrabili. Se due funzioni sono integrabili in [a,b] e coincidono a meno di un numero finito di punti allora hanno lo stesso integrale. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Altri esempi svolti di integrali indefiniti.
-- Lu 2/4/18 Lunedi' dell'Angelo.
L12 Me 4/4/18 Alcuni esempi svolti di integrali definiti. L'integrale di (sin(x))^n in [0,pi] e il prodotto di Wallis. Studio asintotico del fattoriale: la formula di Stirling.
L13 Ve 6/4/18 Definizione di integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate. Teorema del confronto. Integrali impropri delle funzioni 1/(x^a|ln(x)|^b).
L14 Lu 9/4/18 Nozione di funzioni asintoticamente equivalenti. Teorema del confronto asintotico con esempi. L' integrabilita' assoluta implica l'integrabilita' semplice.
L15 Me 11/4/18 Qualche esempio di studio dell'integrabilita'. La funzione sin(x)/x e' integrabile, ma non assolutamente integrabile, in senso improprio in (0,+infinito). L' integrale di Gauss: l'integrale di exp(-x^2) in R vale sqrt(Pi) (via prodotto di Wallis).
T04 Me 11/4/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L16 Ve 13/4/18 Le serie numeriche: definizioni, esempi elementari, prime proprieta'. Le serie telescopiche e la serie geometrica. Un'applicazione della formula della somma della serie geometrica: ogni numero decimale periodico e' un numero razionale. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi (prima parte): del confronto e del confronto asintotico. Condizione necessaria per la convergenza: se una serie e' convergente allora il suo termine generico tende a zero. Esempio di una funzione il cui integrale improprio in [0,+infinito) e' convergente, ma tale che non tende a zero all'infinito.
L17 Lu 16/4/18 Criteri di convergenza per serie a termini non negativi (seconda parte): dell'integrale, della radice n-esima e del rapporto. Definizione e prime proprieta' del limite superiore e limite inferiore. Alcuni esempi svolti di studio della convergenza di serie a termini non negativi.
L18 Me 18/4/18 Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque (prima parte): dell'assoluta convergenza, di Leibniz e di Dirichlet. La somma parziale di sen(n) e' limitata.
T05 Me 18/4/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L19 Ve 20/4/18 La convergenza assoluta implica la convergenza di ogni riordinamento alla stessa somma. Cenno al teorema di Riemann sul riordino delle serie non assolutamente convergenti. Studio asintotico dei numeri armonici: H_N=ln(N)+ gamma +o(1). Discussione di un esempio esplicito di riordinamento di una serie: 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7+...->ln(2) e 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+...->3ln(2)/2.
L20 Lu 23/4/18 Vari esempi di studio di convergenza di serie. La serie dei reciproci dei numeri primi diverge
-- Me 25/4/18 Anniversario della Liberazione
L21 Gi 26/4/18 (11-13 in aula 17) Definizioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme per una successione di funzioni con esempi. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale ma non viceversa. Se una successione di funzioni continue f_n converge uniformente in A ad una funzione f allora f e' continua in A. Se una successione di funzioni integrabili f_n converge uniformente in [a,b] ad una funzione f allora f e' integrabile in [a,b] e il limite dell'integrale di f_n in [a,b] e' uguale all'integrale di f in [a,b].
L22 Ve 27/4/18 (11-13 in aula G2A) Vari esempi di studio della convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Alcuni esempi svolti di limiti di successioni di integrali.
L23 Lu 30/4/18 Altri esempi svolti di limiti di successioni di integrali quando l'intervallo di integrazione e' non limitato.
L24 Me 2/5/18 Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Risoluzione di y'(x)=x-y(x) con il metodo grafico (isocline) e analitico. Equazioni differenziali lineari del primo ordine : fattore integrante, soluzione generale, esistenza e unicita' del problema di Cauchy, alcuni esempi svolti.
T06 Me 2/5/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L25 Ve 4/5/18 Esempio di equazione differenziale non-lineare riducibile a lineare: l' equazione differenziale di Bernoulli. Struttura delle soluzioni di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Wronskiano e indipendenza lineare di un insieme di funzioni. Le soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti di ordine 2 formano uno spazio vettoriale di dimensione 2.
L26 Lu 7/5/18 Cenno all' esponenziale di una matrice. Due esempi di calcolo di exp(At) in dimensione 2 (diagonalizzabile e non). Un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine 2 e' equivalente ad un sistema di equazioni differenziali omogenee del primo ordine X'(t)=AX(t) la cui soluzione si scrive come X(t)=exp(At)X(0). Determinazione di una soluzione particolare di una equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti di ordine 2 con il metodo delle variazioni delle costanti e con il metodo della somiglianza.
L27 Me 9/5/18 Equazione differenziale lineari di ordine n a coefficienti costanti: la soluzione generale e' la somma della soluzione omogenea (combinazione lineare di n funzioni linearmente indipendenti) e della soluzione particolare (formula esplicita ottenuta con il metodo della variazione delle costanti). Un sistema di n equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti si riduce allo studio di un'equazione differenziale lineare di ordine n a coefficienti costanti. Cenno alle ricorsioni lineari omogenee con un esempio del secondo ordine, i numeri di Fibonacci.
T07 Me 9/5/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L28 Ve 11/5/18 Un esempio svolto di sistema di 2 equazioni differenziali lineari del primo ordine. Risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili y'(x)=a(x)b(y(x)) (NON-lineari). Esempi svolti con discussione grafica delle soluzioni e del loro intervallo di esistenza al variare del punto iniziale.
L29 Lu 14/5/18 Esempio di un problema di Cauchy per un' equazione differenziale a variabili separabili con infinite soluzioni. Se b(y) e' lipschitziana in un intorno di y_0 allora il problema di Cauchy y'(x)=a(x)b(y(x)) con y(x_0)=y_0 ha un'unica soluzione locale. Altri esempi svolti con discussione grafica delle soluzioni. L' equazione differenziale logistica ( dinamica delle popolazioni).
L30 Me 16/5/18 Esempi svolti di equazioni differenziali tratti dalla fisica: l' oscillatore armonico forzato e il fenomeno della risonanza, la caduta libera-frenata, il tempo di svuotamento di un serbatoio, legge di raffreddamento-riscaldamento.
T08 Me 16/5/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L31 Ve 18/5/18 Definizioni di distanza e spazio metrico con esempi. Definizioni di norma e spazio vettoriale normato con esempi. Ogni spazio metrico e' uno spazio topologico: definizione di insieme aperto, di insieme chiuso, di frontiera di un insieme e di successione convergente. Ogni spazio normato e' metrico. La norma p in R^N e forma delle palle unitarie. Spazi vettoriali con prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
L32 Lu 21/5/18 Definizione di insieme compatto (per successioni). Teorema di Weierstrass (nel caso di uno spazio metrico): ogni funzione reale e continua su un compatto ammette massimo e minimo. Teorema di Heine-Borel: in R^N, rispetto alla norma 2 (euclidea), un insieme e' compatto se e solo se e' un insieme chiuso e limitato. In C([0,1]) con la norma della convergenza uniforme, la palla unitaria chiusa non e' compatta. Cenno al fatto che in R^N tutte le norme inducono la stessa topologia.
L33 Me 23/5/18 Definizioni di successione di Cauchy e di spazio metrico completo. Ogni successione convergente e' di Cauchy. R^N con qualunque norma e C([a,b]) con la norma uniforme sono spazi completi (sono spazi di Banach).
T09 Me 23/5/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L34 Ve 25/5/18 Il teorema delle contrazioni o di punto fisso di Banach- Caccioppoli. Un metodo per approssimare la radice quadrata (positiva di un numero reale positivo). Cenno al teorema di esistenza e unicita' per un problema di Cauchy del primo ordine.
L35 Lu 28/5/18 Pi greco e' irrazionale : lettura della dimostrazione di Ivan Niven - A simple proof that Pi is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509 .
L36 Me 30/5/18 Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
T10 Me 30/5/18 Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L37 Ve 1/6/18 Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
L38 Lu 4/6/18 Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
L39 Me 6/6/18 Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
-- Me 6/6/18 Incontro con il tutore
L40 Ve 8/6/18 Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.