Analisi Matematica I

LIBRI DI TESTO:

Teoria

P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica 1, Liguori, ISBN: 978-88-207-2819-9
(NB prestare attenzione al titolo esatto, perché esistono vari altri testi degli stessi autori)

In generale, sulla maggior parte dei testi di Analisi Matematica in commercio vengono trattati tutti o quasi gli argomenti del programma, eventualmente con una differente organizzazione degli argomenti. Tuttavia, se il testo è diviso in due volumi per l'Analisi 1 e l'Analisi 2, potrebbe essere necessario anche il volume di Analisi 2 per alcuni argomenti della parte finale del corso (le funzioni a più variabili e le equazioni differenziali).

Segnaliamo come altre possibili scelte i due testi seguenti:

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli : Analisi Matematica, Mc Graw Hill (volume unico per l'Analisi 1 e 2)
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa : Analisi Matematica 1, Zanichelli. (ma per la parte finale del corso serve anche l'Analisi Matematica 2)

Esercizi

Si segnalano i testi: P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume I, parte prima(ISBN: 978-88-207-1684-4) e seconda (ISBN 978-88-207-1704-9)
Serve anche il Volume II, parte I (ISBN: 978-88-207-1864-0), che contiene alcuni argomenti di Analisi I e altri di Analisi II
(oppure P. Marcellini, C. Sbordone: Esercizi di Matematica, Volume I, Tomo 1-2-3-4 e Volume II, Tomo 1-2, - identico ai precedenti, ma diviso in un numero doppio di volumi)
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di matematica, volume 1, Zanichelli.
E. Callegari, Quesiti di Analisi Matematica, Aracne

Inoltre, si possono utilizzare alcune liste di esercizi a cura del docente che verranno messe a disposizione durante lo svolgimento del corso. Queste liste hanno lo scopo di fornire allo studente esempi delle tipologie di esercizi di maggior interesse per il corso; si raccomanda di integrarle con esercizi analoghi presi da altre fonti, come i libri segnalati sopra, o le pagine web dei docenti dei canali paralleli del corso.

Esercizi del 17.X sulle proprietà generali delle funzioni e risposte .
Esercizi del 17.X sui massimi, minimi, estremo superiore e inferiore e risposte .
Esercizi del 28.X sui limiti di successioni e risposte .
Esercizi del 14.XI sui limiti di funzioni e risposte .
Esercizi del 24.XI sulla continuità e derivabilità e risposte .
Esercizi del 12.XII sul sui grafici, De L'Hopital e Taylor e risposte .
Esercizi del 9.I sulle funzioni di due variabili e risposte .
Esercizi del 16.I sui numeri complessi e risposte .
Esercizi del 20.I sugli integrali .
Esercizi del 27.I sugli integrali impropri e risposte .
Esercizi del 30.I sulle equazioni differenziali e risposte .
Testo della prova scritta del 13 febbraio.
Testo della prova scritta del 21 febbraio.
Testo della prova scritta del 28 febbraio (recupero per gli studenti bloccati dalla neve il 13 febbraio).
Testo della prova scritta del 6 luglio.
Testo della prova scritta del 13 luglio.
Testo della prova scritta del 6 settembre.
Testo della prova scritta del 18 settembre.

Programma dettagliato del corso

Nota: la dicitura "con dimostrazione" dopo un teorema indica che la conoscenza della dimostrazione e' obbligatoria (necessaria per raggiungere la sufficienza); se non e' indicato nulla, la dimostrazione e' facoltativa (utile per ottenere un buon voto); se e' indicato esplicitamente "senza dimostrazione", si tratta di una dimostrazione che non verra' chiesta al'esame.

Nota: Questo programma, di norma, vale anche per gli studenti del vecchio ordinamento che devono sostenere l'esame da 10 crediti, vedere qui per maggiori dettagli.

1) Nozioni di base

(Vedere Capitoli 1 e 2 del testo di riferimento, esclusi i par. 12, 15, 16, 19 e 21. Le dimostrazioni del par. 3 possono essere omesse.)

Numeri reali e loro proprietà . Assioma di completezza. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. Intervalli aperti e chiusi dell'asse reale (vedi par. 14). Irrazionalità della radice quadrata di due (con dimostrazione). Funzioni e rappresentazione cartesiana. Immagine di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa. Funzioni monotone. Funzioni elementari: funzioni lineari, polinomi, funzioni razionali, funzione potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse (vedi anche il par. 58). Funzione valore assoluto e sue proprietà. Il principio di induzione. Massimo, maggioranti ed estremo superiore di un insieme di numeri reali. Esistenza dell'estremo superiore (con dimostrazione). Massimo ed estremo superiore di una funzione. Massimo locale di una funzione (vedi par. 60)

2) Limiti di successioni

Successioni. Definizione di limite di successione, esempi. Unicita' del limite. Successioni limitate. Limite di una somma e di un prodotto (con dimostrazione). Teoremi di confronto (con dimostrazione). Esistenza del limite di successioni monotone (con dimostrazione). Il numero e (senza dimostrazione). Criterio del rapporto per successioni. Confronto tra infiniti. Limiti notevoli. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione). Successioni di Cauchy.

3) Limiti di funzioni e continuità

Definizione di limite. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuita'. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi (con dimostrazione, vedi par. 47). Teorema di Weierstrass (con dimostrazione, vedi par. 48). Esistenza del limite per funzioni monotone. Continuita' delle funzioni inverse (senza dim.).

4) Derivate

Definizione di derivata. Derivabilità e continuità. Derivate successive. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e inverse. Derivate delle funzioni elementari. Significato geometrico della derivata, retta tangente. Funzioni trigonometriche inverse.

5) Applicazioni delle derivate e studio di funzioni

Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat (con dim.). Teoremi di Rolle e Lagrange (con dim.). Derivate e monotonia. Funzioni convesse e concave, criterio di convessità (senza dim.). Teorema di De L'Hopital. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor. Resto di Peano (vedere anche il par. 98). Applicazioni al calcolo di limiti (par. 99). Criterio per i punti di massimo e di minimo (par. 66). Resto di Lagrange (par. 101)

6) Funzioni di piu' variabili reali

Nozioni di base di topologia sulla retta e sul piano: intorni, punti interni, di frontiera e di accumulazione, insiemi aperti e chiusi. Limiti e continuità per funzioni a due variabili. Il teorema di Weierstrass per funzioni a due variabili. Derivate parziali. Teorema di Schwarz (senza dim.). Massimi e minimi relativi: condizione necessaria sulle derivate prime (con dim.) e condizione sufficiente sulle derivate seconde (senza dim.). Funzioni di tre o più variabili. Differenziabilita'. Relazione tra differenziabilita' e continuita'. Esempio di funzione derivabile ma non continua. Teorema del differenziale (con dim.).

(NB Le nozioni di base di topologia non sono trattate in modo organico nel testo di riferimento; un'esposizione più dettagliata si trova, ad esempio, alle pp. 307-310 del libro di Bertsch-Dal Passo-Giacomelli)

7) Numeri complessi

Definizione e operazioni. Coniugato. Modulo e argomento, forma trigonometrica, proprietà . Radici n-sime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra. Scomposizione di polinomi reali in fattori di grado minore o uguale di due.

(NB I numeri complessi sono trattati nel par. 17 del testo di riferimento, ad eccezione degli ultimi due argomenti; questi si possono trovare, ad esempio, alle pp. 26-27 del libro di Bertsch-Dal Passo-Giacomelli)

8) Integrali

Integrale secondo Riemann di funzioni di una variabile. Partizioni, somme integrali inferiori e superiori, loro proprieta'. Definizione di integrale definito. Proprieta' degli integrali definiti. Uniforme continuita'. Teorema di Cantor (senza dim.). Integrabilita' delle funzioni continue (con dim.). Teoremi della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.). Primitive. Integrale indefinito. Integrazione delle funzioni razionali (eccetto il caso di radici complesse multiple). Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri, definizioni. Esempi: studio della convergenza per integrali di funzioni di tipo potenza. Criterio del confronto.

9) Alcune equazioni differenziali del primo e secondo ordine

Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Equazioni lineari del secondo ordine: proprieta' generali. Teorema di unicita' (senza dim.). Equazioni omogenee, descrizione dell'insieme delle soluzioni. Equazioni non omogenee di tipo particolare. Il moto armonico (par. 127).