Diario delle lezioni per il corso di MATEMATICA 1

• Lezione del 24/10
  • Studio di grafici di funzioni che dipendono da uno o più parametri, i cui valori sono fissati da alcune condizioni:
    esercizi 4A e 4B dell'esame scritto del'appello di Giugno 2016.
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 23/10
  • Generalità sullo studio del grafico di una funzione (sezione 5.6).
  • Studio completo del grafico di una particolare funzione:
    discussione dell'esercizio dell'esercizio numero 4 della seconda raccolta di temi d'esame assegnati negli a.a. anteriori al 2014/15 dal prof. S. Fanelli.
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 22/10
  • Approssimazione nonlineare di una funzione derivabile n volte (con n>1): formula di Taylor-MacLaurin con resto di Peano (sezione 5.7.3).
  • Ridiscussione dell'esercizio 62, risolto utilizzando le formule di Taylor con resto di Peano.
  • Formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange e sua importanza nelle stime degli errori delle approssimazioni nonlineari di una funzione (sezione 5.7.4).
  • Differenziale: definizione e discussione del suo significato (sezione 5.7.1).
  • Discussione del significato della derivata seconda di una funzione.
    Concavità, convessità, punti di flesso (sezione 5.5).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 20/10
  • Teorema del valor medio (o di Lagrange) e discussione della sua importanza per comprendere la monotonia di una funzione (inizio della sezione 5.4.2).
  • Teorema di de l'Hospital (solo enunciato; inizio della sezione 5.4.4).
    Calcolo dei limiti notevoli utilizzando il teorema di de l'Hospital.
  • Studio della "gerarchia degli infiniti" utilizzando il teorema di de l'Hospital.
  • Discussione degli esercizi 62 e 63.
    Discussione delle precauzioni da prendere per un uso corretto del teorema di de l'Hospital:
    esempio 4.9 ed esercizio 67 (fine della sezione 5.4.4).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 17/10
  • Regola della catena per le derivate di funzioni composte (inizio della sezione 5.3.2, senza dimostrazione).
  • Verifica della soluzione della ben nota equazione differenziale ordinaria che descrive il decadimento radioattivo.
  • Continuazione della discussione dell'algebra delle derivate: derivata di una funzione inversa.
    Discussione degli esempi 3.13, 3.14 e 3.15 (sezione 5.3.3).
  • Punti stazionari, massimi e minimi locali.
    Teorema di Fermat (sezione 5.4.1).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 16/10
  • Introduzione del concetto di derivata: rapporto incrementale e suo limite, analogia con la velocità e la pendenza (in cenni, dalla sezione 5.1).
  • Derivata e retta tangente a un grafico (sezione 5.2.1).
  • Calcolo delle derivate di alcuni funzioni elementari: potenze, seno e coseno, esponenziale, logaritmo (sezione 5.2.3).
  • Derivabilità implica continuità.
    Punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi (sezione 5.2.4).
  • Algebra delle derivate: derivate della somma, del prodotto e della divisione tra due funzioni (sezione 5.3.1).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 15/10
  • Limiti notevoli e stime asintotiche (inizio della sezione 4.6.2).
  • Discussione degli esempi 6.5, 6.7 e 6.8.
  • Calcolo dei limiti per i rapporti di polinomi.
  • Gerarchia delle funzioni fondamentali che tendono a infinito (fine della sezione 4.6.2).
    Discussione dell'esercizio 30 del cap. 4.
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 13/10
  • Descrizione delle funzioni trigonometriche inverse arcoseno e arcocoseno (sezione 4.4.3).
  • L'immagine di un intervallo chiuso secondo una funzione continua è a sua volta un intervallo chiuso:
    teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi (fine sezione 4.5.1).
  • Ulteriori proprietà fondamentali del calcolo dei limiti:
    teoremi della permanenza del segno in prima e seconda forma;
    aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito;
    teorema del confronto e sua applicazione nell'esempio 6.1;
    cambio di variabile nel calcolo del limite e sua applicazione nell'esempio 6.2 (sezione 4.6.1).
  • Verifica dettagliata che il rapporto tra seno di x e x stesso tende a 1 per x che tende a zero.
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 10/10
  • Teorema degli zeri e sua dimostrazione completa, basata sull'algoritmo del metodo di bisezione (inizio sezione 4.5.1).
  • Un esercizio sul teorema degli zeri e il metodo di bisezione: discussione del punto (4b) del tema d'esame del 05/02/2015.
  • Le operazioni aritmetiche fondamentali preservano la continuità,
  • Funzioni composte e funzioni inverse (rispettivamente in sezioni 4.4.1 e 4.4.2).
  • Grafico e proprietà elementari di alcune funzioni notevoli:
    esponenziale, logaritmo (sezioni 4.3.2 e 4.3.3).
  • La composizione di due funzioni continue è a sua volta continua (inizio della sezione 4.5).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 9/10
  • Grafico e proprietà elementari di alcune funzioni notevoli:
    seno, coseno.
  • Dimostrazione che il seno di 1/x non ammette limite quando x tende a zero.
  • Esempi di punti discontinuità e definizione di asintoti verticali, obliqui e orizzontali (fine della sezione 4.2).
  • Teorema degli zeri e descrizione del metodo di bisezione (inizio sezione 4.5.1).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 7/10
  • Introduzione del concetto di funzione reale di variabile reale. Definizioni ed esempi di funzioni limitate, illimitate, simmetriche, periodiche e monotone (sezione 4.1).
  • Introduzione del concetto di limite di funzione, ampia discussione della sua definizione; unicità del limite (inizio della sezione 4.2).
  • Funzioni continue: definizione e dimostrazione completa della continuità delle funzioni trigonometriche fondamentali (seno e coseno);
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 6/10
  • Introduzione del concetto di infinitesimo (fine della sezione 3.1.1).
  • Confronti tra successioni infinite e infinitesime.
    Successioni asintotiche e loro importanza nel calcolo dei limiti (sezione 3.1.5).
  • Esempi 1.7, 1.8, 1.11 e 1.12. Esercizi 6 a pag. 137 e 11 a pag 138.
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 3/10
  • Ancora sulla definizione di limite di una successione: esempio 1.3 a pag. 126.
  • Successioni convergenti, divergenti, irregolari.
  • Successioni monotone, teorema di esistenza del limite per successioni monotone (sezione 3.1.2).
  • Calcolo dei limiti in condizioni semplici: per successioni convergenti, il passaggio al limite commuta con le operazioni aritmetiche fondamentali (inizio della sezione 3.1.3).
  • Passaggio al limite e relazione di ordinamento; il teorema di permanenza del segno per le successioni.
    Teorema del confronto per le successioni.
  • Aritmetizzazione parziale dei limiti quando almeno uno dei due operandi va a infinito.
    Forme di indecisione (fine della sezione 3.1.3).
  • Esempi 1.7 e 1.8.
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 2/10
  • Valore assoluto; disuguaglianza triangolare sui numeri reali e sua importanza. Intervalli (fine della sezione 1.4).
  • Massimo e minimo di un insieme di numeri reali; maggioranti e minoranti; estremo superiore ed estremo inferiore. Assioma di Dedekind (sezione 1.5).
  • Definizione di successione e del loro limite; unicità del limite, quando esiste; interpretazione grafica del concetto di limite (inizio sezione 3.1.1).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 1/10
  • Problema dell'incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al suo lato (ovvero, dimostrazione del teorema che afferma che la radice quadrata di 2 non appartiene ai numeri razionali).
  • Cardinalità di un insieme. Cenni alla potenza del numerabile e alla potenza del continuo (sezione 1.7).
  • Potenze e radicali; esponenziali e logaritmi (cenni, sezione 1.6).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 30/9
  • Definizione di sommatoria. Somma dei primi n numeri interi; dimostrazione della formula generale seguendo un procedimento per induzione (ciò costituisce una soluzione dell'esercizio 3 a pag. 8).
  • Somma di una progressione geometrica.
  • Definizione di fattoriale (sez. 1.2.2).
  • Formula di Newton; coefficienti binomiali e procedimento di calcolo tramite l'albero di Tartaglia.
  • L'insieme dei numeri razionali come campo ordinato (sez. 1.3).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 29/09
  • Generalità riguardanti il corso: orari, programma, materiale didattico, modalità d'esame, etc.
  • Insiemi, operazioni sugli insiemi (sezione 1.1 del libro di testo del corso).
    Rif.: Gli appunti prodotti durante la lezione per mezzo di un programma di video-scrittura.

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