Diario delle lezioni per il corso di MATEMATICA 1

• Lezione del 20/12
  • Soluzione dell'esempio 8.4 a pag. 27.
    Rif.: parte finale della video-registrazione della lezione e dei relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
  • Fine della discussione sugli integrali generalizzati:
    integrazione di funzioni non limitate (sezione 6.7.2);
    cenni ai criteri di integrabilità al finito (sezione 6.7.3).
  • Esercizi (3a) e (3b) dell'esame tenutosi in data 27 Gennaio 2015;
    esercizio (2a) dell'esame tenutosi in data 27 Gennaio 2015.
    Rif.: parte della video-registrazione della lezione e dei relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 18/12
  • Sessione di tutorato: esercizi tratti dal tema d'esame di fine settembre 2024.
• Lezione pomeridiana del 16/12 (riservata ai soli studenti di SdM)
  • Esempio 6.6.
  • Definizione di matrici ortogonali e loro determinanti.
  • Proprietà delle matrici ortogonali (teorema 6.5). Diagonalizzabilità di una matrice simmetrica con matrici di scambio ortogonali. Matrici ortogonali di dimensione 2x2 e 3x3, cenni agli angoli di Eulero.
    Rif.: sezione 6.3.
• Lezione mattutina del 16/12
  • Introduzione ai numeri complessi: definizioni elementari. Proprietà di campo (non ordinato) dell'insieme dei numeri complessi.
  • Formula di Eulero (inizio sezione 5.8.2).
  • Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formule di De Moivre.
    Radice n-esima di un numero complesso. (parte della sezione 1.8).
  • Teorema fondamentale dell'algebra nel campo camplesso (fine sezione 1.8).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 13/12
  • Sessione di tutorato: esercizi tratti dal tema d'esame di fine settembre 2024.
• Lezione mattutina del 11/12
  • Divergenza della serie armonica:
    studio del carattere della serie utilizzando il criterio del confronto per integrali su intervalli illimitati.
  • Convergenza della serie di Mengoli:
    studio del carattere della serie utilizzando il criterio del confronto per integrali su intervalli illimitati.
  • Un breve cenno all'integrazione delle funzioni irrazionali:
    discussione dell'esempio 10.12 (sezione 6.10.3).
  • Esercizi vari:
    esercizio (4) del secondo esonero tenutosi in data 12 Gennaio 2016;
    esercizio (4) dell'esame di fine Settembre 2016;
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione pomeridiana del 9/12 (riservata ai soli studenti di SdM)
  • Esempio 6.3. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Condizioni equivalenti e sufficienti alla diagonalizzabilità di una matrice, espresse in funzione delle molteplicità degli autovalori. Esempi 6.4 e 6.5.
    Rif.: sezione 6.3.
• Lezione mattutina del 9/12
  • Integrali generalizzati:
    integrali di funzioni discontinue (sezione 6.7.1);
    integrazione su intervalli illimitati (sezione 6.7.4);
    Discussione sui criteri di integrabilità all'infinito (sezione 6.7.5).
    ridiscussione dell'esercizio (3B) dell'esame di Luglio 2016;
    esercizio (5) dell'esame di fine Settembre 2019.
    Rif.: Fine della video-registrazione della lezione (venuta male, quando ne ho capito il motivo era troppo tardi...) e quasi tutta quest'altra video-registrazione oltre ai relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 6/12
  • Fine della discussione dell'esercizio (3A) dell'esame di Luglio 2016.
  • Discussione dell'esercizio (3B) dell'esame di Luglio 2016.
  • Discussione dell'esercizio (2) dell'esame di fine Settembre 2020.
    Rif.: la fine di questa video-registrazione della lezione e parte di quest'altra video-registrazione (venuta male, quando ne ho capito il motivo era troppo tardi...), oltre ai relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione pomeridiana del 4/12
  • Un altro po' di pratica riguardo ai metodi di integrazione per parti e per sostituzione:
    discussione degli esempi 5.14, 5.12 e 5.7.
  • Inizio della descrizione della procedura che consente di determinare le primitive di funzioni razionali:
    discussione dell'esempio 10.3 (sezione 6.10.1).
  • Descrizione della strategia generale che consente di determinare le primitive di funzioni razionali:
    inizio della discussione dell'esercizio (3A) dell'esame di Luglio 2016.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione pomeridiana del 2/12 (riservata ai soli studenti di SdM)
  • Matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico di una matrice. Definizione di autovalori e autovettori. Esempio 6.1.
  • Teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità di una matrice in termini degli autovettori.
    Rif.: sezioni 6.1 e 6.2, teorema 6.1.
• Lezione mattutina del 2/12
  • Derivata della funzione integrale (con applicazione del teorema della media).
  • Ricerca delle primitive (o antiderivate) di funzioni integrande:
    tavola delle primitive fondamentali;
    integrazione per scomposizione, calcolo dell'integrale di un polinomio;
    metodo di integrazione per sostituzione; discussione dell'esempio 5.2 (sezione 6.5.1).
  • Metodo di integrazione per parti; discussione dell'esempio 5.11 (sezione 6.5.2).
    Rif.: la video-registrazione della lezione.
• Lezione del 29/11
  • Calcolo integrale per funzioni a una variabile:
    introduzione dei primi concetti elementari, somme di Cauchy-Riemann.
  • Proprietà fondamentali dell'integrale; teorema della media (sezione 6.3).
  • Il teorema fondamentale del calcolo integrale (sezione 6.4).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 27/11
  • Studio di grafici di funzioni che dipendono da uno o più parametri, i cui valori sono fissati da alcune condizioni:
    esercizi 4A e 4B dell'esame scritto del'appello di Giugno 2016.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione pomeridiana del 25/11
  • Generalità sullo studio del grafico di una funzione (sezione 5.6).
  • Studio completo del grafico di una particolare funzione:
    discussione dell'esercizio dell'esercizio numero 4 della seconda raccolta di temi d'esame assegnati negli a.a. anteriori al 2014/15 dal prof. S. Fanelli.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 25/11
  • Fine della discussione dell'esempio 5.8.
  • Discussione accurata degli esercizi 4 e 5 del tema d'esame del 29/8/2024.
• Lezione pomeridiana del 22/11
  • Approssimazione nonlineare di una funzione derivabile n volte (con n>1): formula di Taylor-MacLaurin con resto di Peano (sezione 5.7.3).
  • Ridiscussione dell'esercizio 62, risolto utilizzando le formule di Taylor con resto di Peano.
  • Differenziale: definizione e discussione del suo significato (sezione 5.7.1).
  • Formula di Taylor-MacLaurin con resto di Lagrange e sua importanza nelle stime degli errori delle approssimazioni nonlineari di una funzione (sezione 5.7.4).
  • Discussione del significato della derivata seconda di una funzione.
    Concavità, convessità, punti di flesso (sezione 5.5).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 22/11
  • Dimostrazione del teorema che afferma che, per ogni applicazione lineare L, si ha che dim(Ker(L))+dim(Im(L))=n, dove n è la dimensione del dominio di L. Trasformazioni iniettive e suriettive.
  • Teorema di Rouché-Capelli e conseguenze. Schema generale di soluzione di un sistema lineare quando esso è determinato o indeterminato. Esempio 5.8.
    Rif.: sezioni 5.2 e 5.3.
• Lezione del 20/11
  • Sessione di tutorato: esercizi su limiti e derivate; matrice che rappresenta l'applicazione lineare associata alla derivata sui polinomi di grado 3.
• Lezione mattutina del 18/11
  • Sistemi di equazioni lineari determinati, impossibili, indetereminati. Esempi 5.2, 5.3, 5.4. Sistemi di n equazioni lineari con n incognita, teorema di Cramer. Esempio 5.6. Soluzioni per un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite.
  • Nucleo di una trasformazione lineare come spazio vettoriale.
    Rif.: sezione 5.1.
• Lezione del 15/11
  • Teorema di de l'Hospital (inizio della sezione 5.4.4).
    Calcolo dei limiti notevoli utilizzando il teorema di de l'Hospital.
  • Studio della "gerarchia degli infiniti" utilizzando il teorema di de l'Hospital.
  • Discussione degli esercizi 62 e 63.
    Discussione delle precauzioni da prendere per un uso corretto del teorema di de l'Hospital:
    esempio 4.9 ed esercizio 67 (fine della sezione 5.4.4).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 13/11
  • Definizione del rango di una matrice. Esempio 4.10. Esercizio 38.
  • Condizione di invertibilità di una matrice e calcolo della matrice inversa. Esempi 4.11 e 4.13.
    Rif.: sezioni 4.4 e 4.5.
• Lezione pomeridiana del 11/11
  • Verifica della soluzione una ben nota equazione differenziale: l'esempio dell'oscillatore armonico.
  • Continuazione della discussione dell'algebra delle derivate: derivata di una funzione inversa.
    Discussione degli esempi 3.13, 3.14 e 3.15 (sezione 5.3.3).
  • Punti stazionari, massimi e minimi locali.
    Teorema di Fermat (sezione 5.4.1).
  • Teorema del valor medio (o di Lagrange) (inizio della sezione 5.4.2).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 11/11
  • Teorema di Laplace. Primi esempi di calcolo del determinante.
  • Interpretazione geometrica del determinante per matrici 3x3-dimensionali. Proprietà del determinante. Esempio 4.9. Regola di Sarrus. Teorema di Binet.
    Rif.: sezione 4.3.
• Lezione del 8/11
  • Introduzione del concetto di derivata: rapporto incrementale e suo limite, analogie con la velocità e con la pendenza (cenni della sezione 5.1).
  • Derivata e retta tangente a un grafico (sezione 5.2.1).
  • Calcolo delle derivate di alcuni funzioni elementari: potenze, seno e coseno, esponenziale, logaritmo (sezione 5.2.3).
  • Derivabilità implica continuità.
    Punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi (sezione 5.2.4).
  • Algebra delle derivate (sezione 5.3.1).
    Regola della catena per le derivate di funzioni composte (inizio della sezione 5.3.2, senza dimostrazione).
  • Verifica della soluzione una ben nota equazione differenziale: la legge di decadimento radioattivo.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 6/11
  • Matrici rappresentative delle rotazioni nel piano.
  • Teorema di rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari.
  • Determinante di matrici quadrate: definizione e descrizione del calcolo ricorsivo del determinante tramite i minori e i complementi algebrici.
    Rif.: sezioni 4.2 e inizio della 4.3
• Lezione pomeridiana del 4/11
  • Limiti notevoli e stime asintotiche (inizio della sezione 4.6.2).
  • Discussione degli esempi 6.7 e 6.8.
  • Calcolo dei limiti per i rapporti di polinomi.
  • Gerarchia delle funzioni fondamentali che tendono a infinito (fine della sezione 4.6.2).
    Discussione degli esercizi 30 e 31 del cap. 4.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 4/11
  • Definizione di matrici e delle operazione di somma e moltiplicazione per scalare per quanto riguarda le matrici. Operazione di prodotto matriciale (comunemento detto "riga per colonna"). Proprietà del prodotto matriciale.
    Rif.: sezione 4.1
• Lezione del 30/10
  • L'immagine di un intervallo chiuso secondo una funzione continua è a sua volta un intervallo chiuso:
    teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi (fine sezione 4.5.1).
  • Ulteriori proprietà fondamentali del calcolo dei limiti:
    teoremi della permanenza del segno in prima e seconda forma;
    aritmetizzazione parziale del simbolo di infinito;
    teorema del confronto e sua applicazione nell'esempio 6.1;
    cambio di variabile nel calcolo del limite e sua applicazione nell'esempio 6.2 (sezione 4.6.1).
  • Verifica dettagliata che il rapporto tra seno di x e x stesso tende a 1 per x che tende a zero.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione pomeridiana del 28/10
  • Un esercizio sul teorema degli zeri e il metodo di bisezione: discussione del punto (4b) del tema d'esame del 05/02/2015.
  • Le operazioni aritmetiche fondamentali preservano la continuità,
  • Funzioni composte e funzioni inverse (rispettivamente in sezioni 4.4.1 e 4.4.2).
  • La composizione di due funzioni continue è a sua volta continua (inizio della sezione 4.5).
  • Descrizione delle funzioni trigonometriche inverse (sezione 4.4.3).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 28/10
  • Basi ortonormali. Espressione della norma (o modulo) di un vettore in funzione delle sue coordinate su una base ortonormale. Procedimento di ortonormalizzazione alla Gram-Schmidt (cenni).
  • Discussione del concetto di funzione (o applicazione o operatore) lineare.
  • Esercizio 24.
    Rif.: sezioni 3.3 e 3.4.
• Lezione del 25/10
  • Dimostrazione che il seno di 1/x non ammette limite quando x tende a zero.
  • Esempi di punti discontinuità e definizione di asintoti verticali, obliqui e orizzontali (fine della sezione 4.2).
  • Grafico e proprietà elementari di alcune funzioni notevoli:
    esponenziale, logaritmo (sezioni 4.3.2 e 4.3.3).
  • Teorema degli zeri e sua dimostrazione completa, basata sull'algoritmo del metodo di bisezione (inizio sezione 4.5.1).
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 23/10
  • Spazi vettoriali in senso generale: definizioni. Combinazioni lineari, basi, dimensione di uno spazio vettoriale, sottospazi.
  • Definizione del prodotto scalare in Rn e in uno spazio vettoriale qualsiasi. Definizione di modulo (o norma) di un vettore. Proprietà generali della norma, disuguaglianze triangolare e di Cauchy-Schwartz.
    Rif.: sezioni 3.1 e 3.2.
• Lezione pomeridiana del 21/10
  • Introduzione del concetto di funzione reale di variabile reale. Definizioni ed esempi di funzioni limitate, illimitate, simmetriche, periodiche e monotone (sezione 4.1).
  • Introduzione del concetto di limite di funzione, ampia discussione della sua definizione (inizio della sezione 4.2).
  • Funzioni continue: definizione e dimostrazione completa della continuità delle funzioni trigonometriche fondamentali (seno e coseno);
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 21/10
  • Discussione completa dell'esercizio 11 alla fine della sezione 2.
  • Spazi vettoriali in senso generale: introduzione (inizio della sezione 3.1).
• Lezione del 18/10
  • Numero di Nepero (sezione 3.1.5).
  • Introduzione del concetto di infinitesimo (fine della sezione 3.1.1).
  • Confronti tra successioni infinite e infinitesime.
    Successioni asintotiche e loro importanza nel calcolo dei limiti (sezione 3.1.5).
  • Esempi 1.8 e 1.12. Esercizi 6 a pag. 137 e 11 a pag 138.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
    Rif.: per quanto riguarda l'introduzione del numero di Nepero si veda la corrispondente parte (è piccola e a circa 1h 21m dopo l'inizio) di questa video-registrazione della lezione e dei relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 16/10
  • Geometria analitica lineare nello spazio. Equazioni cartesiane del piano e della retta nello spazio. Parallelismo e ortogonalità tra piani (seconda metà della sezione 2.2).
  • Esempi 2.2 e 2.3.
• Lezione pomeridiana del 14/10
  • Successioni monotone, teorema di esistenza del limite per successioni monotone (sezione 3.1.2).
  • Calcolo dei limiti in condizioni semplici: per successioni convergenti, il passaggio al limite commuta con le operazioni algebriche fondamentali (inizio della sezione 3.1.3).
  • Passaggio al limite e relazione di ordinamento; il teorema di permanenza del segno per le successioni.
    Teorema del confronto per le successioni.
  • Aritmetizzazione parziale dei limiti quando almeno uno dei due operandi va a infinito.
    Forme di indecisione (fine della sezione 3.1.3).
  • Esempio 1.7.
    Rif.: la parte finale della video-registrazione di una prima lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura; la parte iniziale della video-registrazione di una seconda lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 14/10
  • Geometria analitica lineare nello spazio. Equazioni della retta in varie forme. Parallelismo e ortogonalità tra rette (inizio della sezione 2.2).
  • Esempio 2.1.
• Lezione del 11/10
  • Potenze e radicali; esponenziali e logaritmi (cenni, sezione 1.6).
  • Definizione di successione e del loro limite; unicità del limite, quando esiste; interpretazione grafica del concetto di limite (inizio sezione 3.1.1).
    Esempio 1.3 a pag. 126.
  • Successioni convergenti, divergenti, irregolari.
    Rif.: la parte finale della video-registrazione di una prima lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura; la parte iniziale della video-registrazione di una seconda lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 9/10
  • Prodotto scalare e vettoriale: definizioni e loro proprietà (sezione 2.1.2).
• Lezione pomeridiana del 7/10
  • Cardinalità di un insieme. Cenni alla potenza del numerabile e alla potenza del continuo (sezione 1.7).
  • Valore assoluto; disuguaglianza triangolare sui numeri reali e sua importanza. Intervalli (fine della sezione 1.4).
  • Massimo e minimo di un insieme di numeri reali; maggioranti e minoranti; estremo superiore ed estremo inferiore. Assioma di Dedekind (sezione 1.5).
    Rif.: la parte finale della video-registrazione di una prima lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura; la parte iniziale della video-registrazione di una seconda lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 7/10
  • Introduzione del concetto di vettore. Operazioni fondamentali sui vettori. Combinazioni lineari di vettori e vettori linearmente indipendenti (sezione 2.1.1).
• Lezione del 4/10
  • L'insieme dei numeri razionali come campo ordinato (sez. 1.3).
  • Problema dell'incommensurabilità della diagonale del quadrato rispetto al suo lato (ovvero, dimostrazione del teorema che afferma che la radice quadrata di 2 non appartiene ai numeri razionali).
    Rif.: la parte finale della video-registrazione di una prima lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura; la parte iniziale della video-registrazione di una seconda lezione e i relativi appunti prodotti (anche in una seconda versione) per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione del 2/10
  • Coefficienti binomiali e procedimenti di calcolo ricavati da espressioni che coinvolgono i numeri fattoriali.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione pomeridiana del 30/09
  • Definizione di sommatoria. Somma dei primi n numeri interi; dimostrazione della formula generale seguendo un procedimento per induzione (ciò costituisce una soluzione dell'esercizio 3 a pag. 8).
  • Somma di una progressione geometrica.
  • Definizione di fattoriale (sez. 1.2.2).
  • Formula di Newton; coefficienti binomiali e procedimento di calcolo tramite l'albero di Tartaglia.
    Rif.: la video-registrazione della lezione e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
• Lezione mattutina del 30/09
  • Generalità riguardanti il corso: orari, programma, materiale didattico, modalità d'esame, etc.
  • Insiemi, operazioni sugli insiemi (sezione 1.1 del libro di testo del corso).
    Rif.: la video-registrazione della lezione (come effettuata un paio di anni prima) e i relativi appunti prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.

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