Analisi Matematica II per Ing. Civile ambientale, Ing. Medica, A.A. 2019-20

Testi consigliati

Testi di riferimento per la teoria:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill (2011)
indicato nel seguito come [BDG] .
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori (2001)
C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica, Analisi Matematica 2, Zanichelli, prima ed. (1990), oppure seconda ed. (2016)
E. Giusti: Analisi Matematica 2, Boringhieri.

La parte di variabile complessa e trasformate di Laplace, Fourier (solo per il programma da 12 crediti) è trattata solo in [BDG].

Testi consigliati per gli esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, volume II, parte 1 e 2, Liguori Editore, oppure nuova edizione ampliata edita da Zanichelli (2017).
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 2, Zanichelli, 2011.
B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di analisi matematica, Ed. Riuniti (2003 oppure 2010).
Il testo [BDG] segnalato per la teoria contiene anche numerosi esercizi.

E' disponibile il diario delle lezioni svolte.

Qui sotto sono disponibili alcune raccolte di esercizi a cura del docente. Tali raccolte hanno lo scopo di fornire esempi delle tipologie di esercizi di maggior interesse per il corso; per avere a disposizione un materiale più ampio, si raccomanda di integrare gli esercizi di queste liste con altri simili reperiti da altre fonti. Alcune raccolte sono disponibili sulle pagine web di altri docenti, ad es. dei proff. Isola , Braides e Tauraso.

Testo della prova scritta di esame del 24 gennaio 2020 e risposte .
Testo della prova scritta di esame del 13 febbraio 2020 .
Testo della prova scritta di esame del 18 giugno 2020 .
Testo della prova scritta di esame dell' 8 luglio 2020 .
Testo della prova scritta di esame del 1 settembre 2020 .

Non verranno pubblicati gli svolgimenti degli esercizi di esame (con l'eccezione del compito del 24-1-2020). Il numero e la tipologia degli esercizi può variare da un appello all'altro. Tener conto che le prove scritte delle sessioni estiva e autunnale sono più brevi delle precedenti perché la prova ha una durata minore.

Il programma e i testi delle prove di esame degli anni precedenti sono reperibili su questa pagina.

Programma dettagliato del corso

Avvertenza Nel seguito sono riportati gli argomenti del corso con i riferimenti al testo [BDG]. Sul testo gli argomenti sono talvolta organizzati in modo differente rispetto a quanto fatto a lezione, o su altri libri di testo; lo studente può scegliere il riferimento che preferisce per studiare gli argomenti indicati.

In linea di massima, per l'esame orale sono da studiare le dimostrazioni svolte a lezione. Precisamente, sono obbligatorie le dimostrazioni:
(i) se si ottengono con pochi e semplici passaggi dalle definizioni e da proprietà già note
(ii) se indicato esplicitamente nel programma qui sotto. Nel seguito, vi sono anche dimostrazioni indicate come "facoltative" (lo studio è apprezzato, ma non indispensabile per il superamento dell'esame).

1) Funzioni di più variabili

Prodotto scalare, norma e distanza in Rⁿ, intorni sferici. Punti interni, di frontiera, di accumulazione. Insiemi aperti, chusi. Parte interna e chiusura di un insieme. [BDG, 10.2.2]. Limiti e continuità per funzioni a più variabili [BDG, 10.3]. Successioni in Rⁿ, insiemi compatti [BDG, 10.3.1] teorema di Bolzano-Weierstrass (dim. fac.) [BDG, 10.3.2]. Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass (dim. fac.) e di Heine-Cantor [BDG, 10.3.2].

Derivate direzionali e parziali, gradiente, regole di derivazione [BDG, 11.1]. Esempio di funzione derivabile ma non continua. Differenziabilità e piano tangente al grafico. Proprietà delle funzioni differenziabili (con dim.), teorema del differenziale totale (con dim.), funzioni di classe C¹. [BDG, 11.2]. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz (dim. fac.) [BDG, 11.3]. Sviluppo di Taylor di ordine due (con dim.) [BDG 11.4]. Funzioni convesse, definizioni e proprietà [BDG, 11.5].

Punti di estremo libero, punti critici, condizioni necessarie e sufficienti per un massimo o minimo in base alle proprietà del gradiente ed hessiano (con dim.) [BDG, 11.6]. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali. Derivazione di funzione composta (dim. fac.) [BDG, 11.7].

2) Funzioni implicite, estremi vincolati.

Teorema di Dini (delle funzioni implicite) in R² [BDG 13.1.4]. Punti regolari e retta tangente agli insiemi di livello di una funzione di due variabili (curva cartesiana) [BDG 13.1.4]. Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange in due variabili (con dim.) [BDG 13.2] e cenno al caso in tre variabili [BDG 13.4 e 13.5]. Applicazione allo studio di massimi e minimi assoluti di una funzione su un insieme compatto definito da vincoli di disuguaglianza [BDG 13.3.1].

3) Integrali doppi e tripli.

Integrale di Riemann su rettangoli e su insiemi generali, definizione e proprietà, formule di riduzione. [BDG 14.1]. Esempio di una funzione non integrabile. Integrale di Riemann su insiemi generali. Misura di Peano-Jordan. Esempio di un insieme non misurabile. Proprietà della misura, equivalenza tra misurabilità e misura nulla della frontiera. Esempi di insiemi di misura nulla e di insiemi misurabili [BDG, 14.2]. Integrabilità di funzioni continue su un insieme misurabile [BDG, Teor. 14.13]. Domini semplici (insiemi normali) e formule di riduzione [BDG, 14.2.1]. Cambio di variabili [BDG, 14.3]. Integrali impropri [BDG, 14.4]. Calcolo dell'integrale di exp(-x²) sulla retta [BDG, es. 14.22]. Integrali tripli, definizione e tecniche di calcolo [BDG, 14.5, 14.5.1, 14.5.2].

4) Curve, superfici e campi vettoriali.

Curve parametriche, definizioni e proprietà. Curve di Jordan, curve regolari, regolari a tratti, retta tangente. Cambio di parametro, curve equivalenti. [BDG, 10.3.3, 12.1, 12.1.1]. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea [BDG, 12.2]. Integrali curvilinei di funzioni (di prima specie) [BDG 12.3]. Campi vettoriali e forme differenziali e loro integrali curvilinei (di seconda specie) [BDG 12.4]. Campi vettoriali conservativi e irrotazionali e loro proprietà, potenziale [BDG 12.4.1, con dimostrazioni, eccetto l'implicazione da (iii) a (i) del Teor. 12.17]. Esempio di un campo irrotazionale e non conservativo. Formule di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza e del rotore (di Stokes) nel piano (tutti con dim.) [BDG 16.2]. Insiemi semplicemente connessi, esempi (cenni). Campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi [BDG 12.4.2].
Superfici parametriche in R³, bordo di una superficie, piano tangente e versore normale [BDG 15.1]. Area di una superficie, integrali di funzioni su superfici [BDG 15.2]. Orientazione, flusso di un campo vettoriale [BDG 15.3]. Analisi vettoriale in R³, rotore e divergenza [BDG 16.1]. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e teorema di Stokes in in R³ (con dim. tranne Stokes) [BDG 16.3, 16.4].

5) Serie numeriche.

Serie numeriche, definizione di convergenza. Prime proprietà, condizione necessaria di convergenza La serie geometrica e le sue proprietà. (con dim.). [BDG 4.7] Criterio integrale di convergenza (dim. fac.), serie armonica [BDG 9.1]. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico, criterio del rapporto (tutti con dim.) e della radice [BDG 4.8, 4.8.1, 4.8.3]. Serie a termini di segno variabile, criterio di convergenza assoluta (dim. fac.) [BDG 4.9.1], criterio di Leibniz (con dim.) [BDG 4.9.2].

6) Successioni e serie di funzioni, convergenza uniforme.

Successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, esempi. Continuità del limite uniforme di funzioni continue (dim. fac.). Passaggio al limite sotto il segno di integrale in caso di convergenza uniforme (con dim.) [BDG 9.5.1, 9.5.2]. Criterio per la derivabilià del limite (dim. fac., non trattato in [BDG]). Serie di funzioni, criterio di convergenza totale (dim. fac.) [BDG 9.5.3]. Serie di potenze: raggio di convergenza, convergenza totale e uniforme di una serie di potenze nei sottoinsiemi compatti dell'intervallo di convergenza (con dim.). [BDG 9.3] Infinita derivabilità di una serie di potenze all'interno dell'intervallo di convergenza (dim. fac. non trattato in [BDG]). Teorema di Abel (fac., non trattato di [BDG]). Serie di Taylor. Proprietà di convergenza delle serie di Taylor di esponenziale, seno, coseno, logaritmo e arcotangente. [BDG 9.4] Applicazione dei risultati sulla convergenza uniforme: dimostrazione dell'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali (dim. fac.), [BDG Teor. 17.4].
(Fine del programma per Ing. Medica)

7) Funzioni di variabile complessa.

Richiami sui numeri complessi: operazioni nel campo complesso, forma trigonometrica, radici n-sime [BDG 1.4, 1.4.1]. Esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche nel campo complesso. Derivabilità in senso complesso, funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann (con dim.), esempi di funzioni olomorfe [BDG 18.1]. Integrali di funzioni complesse, definizione ed esempi [BDG, formula (18.16) ed esempio 18.11]. Funzioni primitive, teorema fondamentale del calcolo per funzioni complesse [BDG 18.6]. Serie di potenze complesse, sviluppabilità in serie delle funzioni olomorfe (cenni) [BDG 18.7.2]. Singolarità isolate e loro classificazione, serie di Laurent [BDG 18.8]. Teorema dei residui (con dim.) e applicazioni al calcolo di integrali impropri reali. [BDG 18.9].

8) Complementi su equazioni differenziali ordinarie

Il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine: teorema di esistenza e unicità mediante il metodo delle approssimazioni successive. (dim. fac., [BDG Teor. 17.4]. Estensione ad equazioni e sistemi differenziali di ordine qualunque. Caratterizzazione come spazio vettoriale dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare, nel caso omogeneo e in quello non omogeneo (con dim., cf. [BDG Teor. 17.10] che fa il caso n=2).

9) Trasformata di Laplace, serie e trasformata di Fourier

Trasformata di Laplace: definizione ed esempi [BDG 19.1]. Inversione della trasformata di Laplace [BDG 19.2]. Trasformata di funzioni polinomiali, esponenziali e trigonometriche. Formula della trasformata di Laplace di una derivata (con dim.). Antitrasformata di una funzione razionale mediante decomposizione in fratti semplici [BDG 19.3]. Applicazione allo studio di equazioni differenziali ordinarie [BDG 19.4.1]. Serie di Fourier, definizione. Proprietà di convergenza puntuale della serie nel caso di funzioni regolari a tratti. Identità di Parseval [BDG 20.1]. Trasformata di Fourier: definizione, esempi e formula di inversione [BDG 20.1]. Trasformata di Fourier di una derivata. Prodotto di convoluzione, trasformata di Fourier di un prodotto di convoluzione (dim. fac.) [BDG 20.2]. Trasformata di Fourier della funzione gaussiana.

10) Equazioni differenziali alle derivate parziali (cenni).

Equazione di Laplace e Poisson. Unicità della soluzione dell'equazione di Poisson in insiemi limitati con dati prescritti al bordo (fac.) (fatto a lezione, ma non trattato in [BDG]). Equazione del calore ed equazione delle onde. Soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore su tutta la retta mediante la trasformata di Fourier (fac.) (fatto a lezione, ma non trattato in [BDG]). Soluzione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde e del calore su un intervallo mediante sviluppo in serie di Fourier (fac.) [BDG, par. 20.2, esempio 20.3].