Lezione del 24/9/2019:
Insiemi aperti e chiusi, esempi. Punti di accumulazione e punti isolati. Limiti di successioni in Rⁿ. Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rⁿ (con dimostrazione). Successioni in insiemi chiusi e limitati.

Lezione del 26/9/2018:
Limiti e continuità per funzioni di più variabili, definizione ed esempi. Continuità delle funzioni elementari nel loro dominio. L'esistenza di un unico limite lungo le rette è condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza del limite in due variabili. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili (con cenno di dim.). Teorema di Heine-Cantor (senza dim.). Insiemi connessi per archi e teroema dell'esistenza degli zeri (con dim.).

Lezione del 27/09/2019:
Grafico e insiemi di livello per funzioni di più variabili, esempi. Derivate parziali, definizione ed esempi. Differenziabilità per funzioni a più variabili. Implicazioni tra differenziabilità, derivabilità e continuità.

Lezione del 30/09/2019:
Piano tangente. Il teorema del differenziale totale (con dimostrazione). Derivate direzionali. Formula per le derivate direzionali mediante il gradiente per funzioni differenziabili. (con dimostrazione). Il gradiente come direzione di massima crescita per la funzione.

Lezione dell'1/10/2019:
Formula di derivazione per funzione composta in più variabili (con dim.). Derivate successive, teorema di Schwarz (con dim.).

Lezione del 3/10/2019:
Restrizione lungo una retta di una funzione a più variabili: calcolo della derivata prima e seconda. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (con dim.). Richiami di algebra lineare: matrici simmetriche, autovalori, forme quadratiche.

Lezione del 4/10/2019:
Condizione necessaria e condizione sufficiente per un massimo o minimo locale a seconda delle proprietà del gradiente e dell'hessiano (con dim.). Il caso di due variabili: criteri in base al determinante e alla traccia dell'hessiano. Esempi

Lezione del 7/10/2019:
Esercizi su massimi e minimi per funzioni di due variabili. Criterio affinché una matrice sia definita positiva in dimensione generale. Esercizi su massimi e minimi in tre variabili.

Lezione dell'8/10/2019:
Tecniche per lo studio di punti critici con determinante hessiano nullo. Esempi ed esercizi.

Lezione del 10/10/2019:
Esercizi su punti critici con determinante hessiano nullo. Insiemi convessi e funzioni convesse, definizione e caratterizzazione con le proprietà del gradiente e dell'hessiano.

Lezione del 11/10/2019:
Funzioni a valori vettoriali. Matrice jacobiana. Funzioni implicite, teorema di Dini in due variabili (senza dim). Curve cartesiane nel piano, punti regolari, retta tangente.

Lezione del 14/10/2019:
Massimi e minimi vincolati. Criterio dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili (con dim.). Metodo per la ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi compatti definiti da vincoli di uguaglianza o di disuguaglianza.

Lezione del 15/10/2019:
Esercizi su massimi e minimi liberi e vincolati.

Lezione del 17/10/2019:
Massimi/minimi vincolati in tre variabili, criterio dei moltiplicatori di Lagrange nel caso di uno e di due vincoli (senza dim.). Massimi e minimi su insiemi limitati definiti da più vincoli di disuguaglianza.

Lezione del 18/10/2019:
Esercizi su massimi e minimi vincolati.

Lezione del 21/10/2019:
Integrale di Riemann in due variabili per funzioni limitate su un rettangolo e su un insieme limitato generale: definizione e proprietà. Formule di riduzione per integrali su un rettangolo. Esempi. (NB i risultati sugli integrali sono senza dimostrazione se non diversamente indicato).

Lezione del 22/10/2019:
Domini normali. Formule di riduzione per integrali su domini normali. Giustificazione intuitiva delle formule di riduzione. Esempi ed esercizi.

Lezione del 24/10/2019:
Esempio di funzione non integrabile. Misura di Peano-Jordan di insiemi piani. Esempio di insieme non misurabile. Esempi di insiemi misurabili. Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi.

Lezione del 25/10/2019:
Interpretazione del determinante jacobiano come fattore di area nel cambio di coordinate. Giustificazione intuitiva della formula di cambio di variabili nell'integrale. Coordinate polari nel piano. Esempi. Baricentro di insiemi.

Lezione del 28/10/2019:
Esercizi su integrali doppi

Lezione del 29/10/2019:
Esercizi su intgrali doppi. Integrale di Riemann e misura di Peano-Jordan in dimensione qualunque (cenni). Insiemi normali in R³, formule di riduzione "per fili" e "per strati". Esempi.

Lezione del 31/10/2019:
Coordinate sferiche e cilindriche in R³. Rappresentazione di porzioni di sfere, cilindri e coni nei vari sistemi di coordinate. Esercizi.

Lezione del 5/11/2019:
Esercizi su integrali tripli.

Lezione del 7/11/2019:
Integrali multipli impropri, cenni. Proprietà di convergenza dell'integrale di una potenza in un intorno dell'origine e nel suo complementare. Calcolo dell'integrale improprio della funzione gaussiana sulla retta mediante gli integrali doppi. Semplificazioni nel calcolo di integrali in presenza di simmetrie della funzione e del dominio di integrazione.

Lezione dell'8/11/2019:
Curve parametriche in Rⁿ, esempi. Teorema della curva di Jordan. Curve regolari, retta tangente. Curve equivalenti, orientazione.

Lezione dell'11/11/2019:
Curve regolari a tratti. Lunghezza di un arco di curva. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di funzione (o di prima specie). Esempi.

Lezione del 12/11/2019:
Esercizi su curve parametriche: retta tangente, lunghezza e integrali di funzioni.

Lezione del 14/11/2019:
Campi vettoriali e forme differenziali. Integrale curvilineo di campo vettoriale (o di seconda specie). Interpretazione fisica degli integrali di campi vettoriali come lavoro di una forza. Campi conservativi, potenziale. L'integrale di un campo conservativo è pari alla differenza di potenziale (con dimostrazione) e corollari.

Lezione del 15/11/2019:
Campi vettoriali irrotazionali. Un campo conservativo è irrotazionale (con dimostrazione). Esempio di un campo irrotazionale ma non conservativo. Un campo irrotazionale definito su tutto il piano, o su un rettangolo, è conservativo (con dim.).

Lezione del 18/11/2019:
Tecniche di calcolo del potenziale di un campo, esempi. Formule di Gauss-Green nel piano (con dim.).

Lezione del 19/11/2019:
Teorema di Stokes (del rotore) e della divergenza nel piano (con dim.). Esercizi su integrali di campi vettoriali e calcolo del potenziale.

Lezione del 21/11/2019:
Un campo irrotazionale possiede localmente un potenziale. Esempio: un campo irrotazionale il cui potenziale è l'angolo delle coordinate polari. Insiemi semplicemente connessi nel piano e dello spazio. Un campo irrotazionale in un insieme semplicemente connesso è conservativo (senza dim.).

Lezione del 22/11/2019:
Applicazione del teorema di Stokes: integrali su una curva chiusa di un campo irrotazionale con un solo punto singolare. Esercizi su integrali di campi vettoriali e sul calcolo del potenziale.

Lezione del 25/11/2019:
Superfici parametriche in R³, esempi. Richiami sul prodotto vettoriale. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie di funzioni.

Lezione del 26/11/2019:
Orientazione di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Formule di Gauss-Green e teorema della divergenza in R³ (con dimostrazione). Esempi.

Lezione del 28/11/2019:
Rotore di campi in vettoriali in R³. Teorema di Stokes in R³. Esempi ed esercizi.

Lezione del 29/11/2019:
Identità soddisfatte da gradiente, divergenza e rotore di campi vettoriali. Esempio di campo vettoriale solenoidale che non possiede potenziale vettore. Esercizi sul terorema della divergenza.

Lezione del 2/12/2019:
Serie numeriche, definizione di convergenza. Serie geometrica. Criterio integrale di convergenza. Serie armonica. Serie a termini positivi. (NB i teoremi su serie numeriche sono stati svolti con dimostrazione salvo diversamente indicato).

Lezione del 3/12/2019:
Serie a termini positivi. Il criterio del confronto. e il criterio del confronto asintotico. Esercizi.

Lezione del 5/12/2019:
Serie con termini a segno qualunque. Condizione necessaria di convergenza. Criterio di convergenza assoluta. Criterio del rapporto e della radice. Esempi ed esercizi.

Lezione del 6/12/2019:
Criterio di Leibniz. Esercizi.

Lezione del 9/12/2019:
Successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, esempi. Il limite uniforme di funzioni continue è continuo (con dim.) Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (con dim). Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. (con dim.) Serie di funzioni: teoremi di passaggio al limite.

Lezione del 10/12/2019:
Criterio della convergenza totale per serie di funzioni. (con dim.) Esercizi su convergenza uniforme di successioni di funzioni.

Lezione del 12/12/2019:
Serie di potenze. Proprietà di convergenza, raggio di convergenza (con dim). Convergenza totale di una serie di potenze nei sottointervalli compatti dell'intervallo di convergenza. (con dim.). Infinita derivabilità di una serie di potenze. Serie di Taylor. Proprietà di convergenza della serie di Taylor dell'esponenziale, seno e coseno.

Lezione del 16/12/2019:
Convergenza della serie di McLaurin di logaritmo e arcotangente. Il teorema di Abel (senza dim.). Esercizi su serie di potenze. Applicazione dei risultati sulla convergenza uniforme: dimostrazione del teorema di esistenza di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie (facoltativo).

Lezione del 17/12/2019 (mattina):
Serie di Fourier: definizione e proprietà di convergenza puntuale per funzioni regolari a tratti. Identità di Parseval. Esempi.

Lezione del 17/12/2019 (pomeriggio):
Serie di Fourier come decomposizione rispetto a una base ortonormale infinita in uno spazio di funzioni. Sviluppo in serie di soli seni o soli coseni. Esempi ed esercizi.

Lezione del 19/12/2019:
Richiami sui numeri complessi, forma algebrica e trigonometrica, radici n-sime. Esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche nel campo complesso. Derivabilità in senso complesso, funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann (con dimostrazione). Integrali di funzioni complesse, interpretazione come integrali di seconda specie. Teorema fondamentale del calcolo per integrali complessi. Il campo vettoriale associato a f(z)dz con f olomorfa è irrotazionale.

Lezione del 20/12/2019:
Residuo di una funzione olomorfa in una singolarità isolata. Teorema dei residui (con dimostrazione). Calcolo del residuo in singolarità corrispondenti a zeri semplici del denominatore.

Lezione del 7/1/2020 :
Infinita differenziabilità delle funzioni olomorfe. Sviluppabilità in serie delle funzioni olomorfe. Serie di Laurent. (tutto senza dim.) Poli di ordine finito. Esercizi sul calcolo dei residui e sul teorema dei residui nel caso di funzioni con poli di ordine uno.

Lezione del 9/1/2020: Trasformata di Laplace, definizione ed esempi. Antitrasformata di Laplace (senza dim.). Trasformata di Laplace di una derivata (con dim.). Altre proprietà elementari della trasformata. Calcolo dell'antitrasformata di una funzione razionale mediante decomposizione in fratti semplici.

Lezione del 10/1/2020: Equazioni differenziali ordinarie: il teorema di Cauchy di esistenza e unicità (ripreso dalla lezione del 16/12), dimostrazione dell'unicità. Proprietà dell'intervallo massimale di esistenza (senza dim.). Esistenza globale per equazioni con secondo membro a crescita lineare (senza dim). Estensione al caso di equazioni e sistemi differenziali di ordine generale. Equazioni differenziali lineari: caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale (con dim.).

Lezione del 13/1/2020: Integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea e non omogenea. Metodi espliciti per la risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti (richiami, si suppone noto da Analisi I). Risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti mediante la trasformata di Laplace: esempi ed esercizi.

Lezione del 14/1/2020 (mattina): Esercizi sulla risoluzione di equazioni differenziali mediante la trasformata di Laplace. Esercizi su integrali complessi. Esempio di calcolo di un integrale improprio reale mediante gli integrali complessi e il teorema dei residui.

Lezione del 14/1/2020 (pomeriggio): Trasformata di Fourier, definizione ed esempi. Trasformata di Fourier di una derivata. Trasformata di Fourier della funzione gaussiana. Prodotto di convoluzione e sua trasformata di Fourier. Applicazione della trasformata di Fourier alla soluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore.

Lezione del 16/1/2020: Equazioni differenziali alle derivate parziali, tre importanti esempi: equazione di Laplace (e di Poisson), equazione del calore, equazione delle onde. Equazione di Laplace in un insieme limitato con condizioni al bordo: teorema di unicità come corollario del teorema della divergenza (con dim.). Equazione del calore: buona positura solo per tempi positivi, velocità infinita di propagazione. Risoluzione dell'equazione del calore su un intervallo limitato mediante le serie di Fourier. Generalizzazione a insiemi limitati in più dimensioni, sviluppo in serie di autofunzioni del laplaciano (cenni). Equazione delle onde: risoluzione mediante serie di Fourier (cenni).