Prof. Giuseppe Pareschi


Department of Mathematics

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 0212

Telefono: 06 72594621

pareschi@mat.uniroma2.it





GEOMETRIA. A.A. 2016-'17. CORSI DI LAUREA: ING. ENERGETICA, GESTIONALE, MECCANICA. CANALE: P-Z.

Docente: Prof. Giuseppe Pareschi

Tutore: Dr. Gianluca Marzo

Orario delle lezioni :
MA 14.30 - 15.45, aula 2
VE 9.30 - 11.15, aula 2

Orario di ricevimento del docente:
- MA 12.45 - 13.45. VE: 13 - 14, e su appuntamento, nell'ufficio del docente: 0212 SOGENE.
- Dopo lezione, in aula 2.

Tutoraggio:
A meno di avviso contrario, il tutoraggio si terra' A SETTIMANE ALTERNE il giovedi pomeriggio e il venerdi pomeriggio. Di norma, se in una data settimana il tutoraggio ha luogo il giovedi pomeriggio, la settimana successiva avra' luogo il venerdi pomeriggio, e viceversa.
In ogni caso si consiglia di controllare nella sezione degli annunci la data e l'ora del tutoraggio della settimana in corso.
Quando di giovedi il tutoraggio si terra' dalle 16 alle 18 in aula 4 ed il tutore sara', di norma, Giuseppe Pareschi.
Quando di venerdi il tutoraggio si terra' dalle 16 alle 18 in aula 3 ed il tutore sara', di norma, il Dr. Gianluca Marzo.

ANNUNCI
NEW!
Prossimi esami scritti:
martedi 6 febbraio 2018 ore 11 aula A4
Risultati:
Rispo: 23
Testa: insuff.
Lo studente Rispo mi scriva per concordare data e ora dell'esame orale.

martedi 20 febbraio 2018 ore 11 aula B2


Risultati:
Patrizi: 22
Simoncelli: 26
Panunzi, Ranieri, Testa e Veglianti non sono ammessi all'orale.
Gli studenti Patrizi e Simoncelli mi scrivano per concordare la data dell'orale.

Libro di testo:
T. Apostol, Calcolo, Vol. 2 Geometria. Bollati-Boringhieri.
Per alcuni argomenti verranno postate delle dispense (in questo sito). Inoltre, sempre in questo sito, verranno postati files di esercizi.

Programma:
GEOMETRIA DI R(n).
Somma di vettori. Prodotto per uno scalare. Prodotto scalare ordinario. Norma di un vettore. Ortogonalita'. Proiezione ortogonale. Angolo tra due vettori. Combinazioni lineari. Spazio generato. Dipendenza ed indipendenza lineare. Basi di R(n).

GEOMETRIA ELEMENTARE DEL PIANO E DELLO SPAZIO.
Rette e piani: equazioni parametriche e cartesiane. Distanza di un punto da una retta e da un piano. Vettori normali. Posizioni reciproche (parallelismo, incidenza...). Determinanti di ordine 2 e 3. Prodotto misto. Area e volume. Prodotto vettoriale. Regola di cramer in 2 incognite e in 3 incognite.

SPAZI LINEARI.
Definizione. Combinazioni lineari. Sottospazi. Sottopazio generato. Dipendenza ed indipendenza lineare. Spazi lineari di dimensione finita: basi e dimensione.
Prodotti scalari. Norma. Ortogonalita'. Basi ortogonali. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Decomposizione ortogonale.

TRASFORMAZIONI LINEARI, MATRICI E SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI.
Matrici. Prodotto di matrici. Trasformazioni lineari. Nucleo e immagine. Iniettivita' e suriettivita'. Rango. Sistemi lineari. Trasformazioni lineari definite su una base. Matrice rappresentativa. Cambiamento di base. TRasformazioni lineari e matrici invertibili.

DETERMINANTI
Definizioni e metodi di calcolo. Determinante di un prodotto. Determinanti e indipendenza lineare. Determinanti e matrici inverse. Regola di Cramer.

AUTOVALORI, AUTOVETTORI E DIAGONALIZZAZIONE.
Definizioni. Polinomio caratteristico. Diagonalizzabilita' e diagonalizzazione. Diagonalizzazione di matrici simmetriche e aapplicazioni (cenni).

Diario settimanale ed esercizi assegnati:

Settimana 1 (6-11 marzo)
Argomenti: Gli spazi V(n). Somma e moltiplicazione per uno scalare. Prodotto scalare. Norma e distanza. Ortogonalita'. proiezione ortogonale. Angolo tra due vettori.
Riferimento: Apostol, Sezioni 1.1-9.
Esercizi: Apostol, Sezioni 1.4, 1.8, 1.11 Esercizi-testo1

Settimana 2 (12-18 marzo)
Argomenti: Combinazioni lineari e spazio generato da un sottoinsieme di vettori di V(n). Dipendenza ed indipendenza lineare in V(n). Basi di V(n).
Riferimento: Apostol, Sezioni 1.12-15.
Esercizi: Apostol, Sezione 1.15. Inoltre: Esercizi 1 (nell'ultimo esercizio: C(t)=(1,t,2) ) e Esercizi 1-bis

Settimana 3 (20-25 marzo)
Argomenti:
Esempi di risoluzione di sistemi lineari con il metodo di eliminazione di Gauss. Basi di V(n) (continuazione). Completamento di un sottoinsieme indipendente di V(3) ad una base di V(n). Coordinate rispetto ad una base. Basi ortogonali, basi ortonormali. Coordinate rispetto ad base ortogonale (rispo. ortonormale). Rette di V(n). Equazioni parametriche e cartesiane. Distanza punto-retta in V(2).
Riferimento: Apostol, Sezioni 1.12-15. Sezioni 2.1-5.
Esercizi: Apostol, Sezione 2.5. Inoltre: Esercizi 2 e Esercizi 2bis

Settimana 4 (27-31 marzo)
Argomenti:
Rette (continuazione). Determinanti di ordine 2 e 3. Sviluppi di Laplace e altre proprieta' del detrminante. Prodotto vettoriale e area. Prodotto misto come dterminante di ordine 3. Volume. Determinante e indipendenza lineare.
Riferimento: Apostol, Sezioni 2.9-14.
Esercizi: Apostol, Sezione 2.11 e 2.14. Inoltre: Esercizi 3

Settimana 5 (3 - 8 aprile)
Argomenti:
Regola di Cramer per sistemi di tre equazioni in tre incognite. Piani: equazioni parametriche (non unicita'). Proprieta' dei piani in V(n). Vettore normale ed equazione cartesiana di un piano in V(3). Distanza punto-piano in V(3). Angolo tra due piani. Posizione reciproche di due rette in V(3).
Spazi lineari: definizioni e primi esempi.
Riferimento: Apostol, Sezioni 2.6-7, 2.13, 2.15-16.
Esercizi: Apostol, Sezione 2.8 e 2.17. Inoltre: Esercizi 4

Settimana 6 (solo 11 aprile)
Argomenti:
Sottospazi lineari: esempi e controesempi. Combinazioni lineari. Il sottospazio generato da un insieme di vettori. Indipendenza e dipendenza lineare. Spazi lineari di dimensione finita e infinita. Basi di uno spazio lineare di dimensione finita. Componenti rispetto ad una base. Dimensione di uno spazio lioneare di dimensione finita. Teoremi fondamentali dulle basi.
Riferimento: Apostol, Sezioni 3.1-10.
Esercizi:
- Scrivere la dimostrazione dei Teoremi 3.5 p.103 e 3.7 p.104 dell'Apostol (si deve imitare la dimostrazione dei Teoremi corrispondenti del Capitolo 1).
Apostol: Sezioni 3.5 e 3.10.
Inoltre: Esercizi 6-1
Esercizi 6-2
Esercizi 6-3
Esercizi 6-4
Esercizi 6-5

Settimana 7 (solo 21 aprile)
Argomenti:
Esercizi su argomenti precedenti Riferimento: Apostol, Sezioni 3.1-10.
Esercizi
Gli stessi della settimana precedente, e inoltre Esercizi 7

Settimana 8 (3 lezioni: 2,4 e 5 maggio)
Argomenti:
Prodotti scalari su spazi lineari reali. Norma. Disuguaglianza di Schwartz. Basi ortogonali e ortonormali. Proiezione su un sottospazio lineare di dimensione uno. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Decomposizione ortogonale. Proiezione su un sottospazio lineare (di dimensione finita). Riferimento: Apostol, Sezioni 3.11-16. Attenzione: considerare solo il caso di prodotti scalari su spazi lineari REALI. Inoltre, anche se quello ch e' stato fatto a lezione si generalizza facilmente al caso di dimensione infinita, non abbiamo considerato in dettaglio esempi in dimensione infinita. Dunque: saltare gli esempi 4 e 5 p. 108, l'esempio a p.111, l'esempio 1 a p.122.
Esercizi
Apostol: Sez. 3.13 eccetto n.8, 11, 13, 14, 15, 17. Sez. 3.17 eccetto n.3, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Esercizi 8

Settimana 9 (9-12 maggio)
Argomenti:
Proiezione ortogonale di un vettore dato su un sottospazio W come vettore di W piu' vicino al vettore dato. Distanza tra un vettore e un sottospazio.
Matrici. Spazi lineari di matrici. Prodotto di matrici. Proprieta' del prodotto di matrici. Sistemi di equazioni lineari scritti come un'unica equazione matriciale. Trasformazioni lineari. Esempio: trasformazione lineare da Vn a Vm associata ad una matrice mxn. Trasformazione lineare determinata da valori preassegnati sui vettori di una base del dominio. Proposizione: ogni applicazione lineare da Vn a Vm e' del tipo T(X)=AX, dove A e' una matrice mxn. Esempi: proiezione ortogonale. Riflessione ortogonale. Rotazione del del piano.
Riferimento: Apostol: Sezioni 4.13, 4.15, 4.1, 4.9, 4.10 (in parte)
Esercizi
Apostol: Sezioni 4.16, 4.20 (solo fino a n.10 compreso), 4.4 (senza calcolare nullita' e rango quando richiesti).


Settimana 10 (16-19 maggio)
Argomenti: Trasformazione lineare da V(n) a V(m) associata ad una matrice mxn. Idenficazione delle colonne come immagini dei vettori della base standard. Trasformazione con valori assegnati su una base. Matrice rappresentativa di una trasformazione lineare rispetto a una base del domionio e una base del codominio. Esempi (proiezione ortogonale, riflessione ortogonale, rotazione..). Composizione di trasformazioni lineari e prodotto di matrici. Nucleo e immagine di una trasformazione lineare. Nucleo e iniettivita'. Nullita' e rango. Teorema nullita' + rango e sua traduzione in termini di stemi lineari omogenei. Rango di una matrice. Rango per righe = rango per colonne. Matrici invertibili e matrici inverse. Invertibita' della trasformazione lineare - invertibilita' della matrice. Teorema: una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se il suo rango e' n.
Riferimento: Apostol: Sezioni 4.9, 4.10, 4.2, 4.3, 4.7, 4.19 (in parte)
Vedi anche: Note supplementari ed esercizi I e Note supplementari ed esercizi II In inglese (maccheronico)
Esercizi
Apostol: Sezioni 4.4, 4.8, 4.12.
Inoltre Esercizi 10



Settimana 11 (23-26 maggio)
Argomenti: Calcolo della matrice inversa con l'eliminazione di Gauss. Calcolo delle soluzioni di equazioni matriciali con l'eliminazione di Gauss. Matrici e sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouche'-Capelli.
Determinanti. Determinante di ordine n come funzione di n variabili vettoriali (le righe della matrice). Determinante come l'unica funzione di n variabili vettoriali multilineare, alternante e che vale 1 sulla matrice identita'. Altre proprieta' del determinante. Determinante ed eliminazione di Gauss. Determinante di una mtrice diagonale. Determinante di una matrice triangolare. calcolo del determinante di ogni matrice quadrata per riduzione ad una matrice triangolare con l'eliminazione di Gauss.
Riferimento: Apostol: Sezioni 4.17-19.
Sezioni 5.1-5.
Esercizi
Apostol: Sezioni 4.20-21.
Sezione 5.5.
Inoltre Esercizi 11 .

Settimana 12 (solo 30 maggio)
Argomenti: Teorema sul determinante di un prodotto. Teorema: A e' invertibile se e solo se A ha rango massimo se e solo se det(A) e' non nullo. Determinante dell'inversa. Determinante della trasposta. Sviluppi di Laplace (per righe e per colonne). Matrice dei cofattori e matrice inversa. Regola di Cramer.
Riferimento: Apostol: Sezioni 5.7-16.
Esercizi
Apostol: Sezioni 5.6, 5.11, 5.17.
Inoltre Esercizi 12-1 e Esercizi 12-2

Settimana 13 (5-9 giugno)
Argomenti: Matrici di cambiamento di base. Cambiamento di base. Matrici coniugate. Autovalori e autovettori di una trasformazione lineare. Autovalori e autovettori di una matrice. Polinomio caratteristico. Autovalori come zeri del polinomio caratteristico. Trasformazioni lineari diagonalizzabili. Diagonalizzazione.
Riferimento: Apostol: Sezioni 6.1-10
Esercizi
Apostol: Sezioni 6.4, eccetto n.7-10. 6.8, eccetto n.5, 8(d)(e), 6.10.
Inoltre Esercizi 13 Altri esercizi: Esercizi 14

Esami

  • Primo appello scritto. Testi: versione 1 (con soluzioni) (corretto un errore di calcolo nella soluzione dell'es.2). Inoltre versione 2 .

    Ammessi all'orale:
    Piersanti 16
    Piumini 14
    Regine 24
    Santarelli 18
    Santini 27
    Termini 24
    Valentini 20
    Zarelli 19

    NON AMMESSI: Pulcini, Ranucci, Rossi, Severini, Sordi, Stigliano, Zaccardelli

    Orale: 6 luglio ore 14. Oppure si puo' fare anche il 10 luglio ore 11. Oppure al secondo appello orale. Gli ammessi mi comunichino le loro intenzioni via e-mail.

  • Secondo appello scritto (28-06). Testo: Versione 1 (con soluzioni). Le altre versioni: Vers.2 , Vers. 3 , Vers.4 .


    Ammessi all'orale:
    PACELLA F.J. 13/30
    PALOMBI D. 14/30
    PANTHAPILLIL L.M. 12/30
    SABBATINI D. 17/30
    SCARPITTA F. 29/30
    SINISCALCHI R. 13/30
    TRILLICOSO G. 16/30
    TAMBORRINI L. 18/30

    NON AMMESSI; PACCHIAROTTI M., PAGANO G., PELLEGATTI C., PICHINI F., PRETO M., ROSSETTI E., SABELLICO F., SCOTTI M., SERRAINO F., SORINO D., STACHE R. C., TAMBURRANO G., TASSI C., VALENTINI E.
  • Secondo appello scritto (14-07). Testo e soluzioni (solo una versione, eccetto l'esercizio 4 di cui sono riportate due versioni).

    Ammessi all'orale:
    PAGLIARELLA G. 13/30
    PICHINI F. 21/30
    RANUCCI G. 15/30
    ROTONDI A. 13/30
    SARRA G. 17/30
    TAMBURRANO G. 17/30
    TRILLICOSO G. 18/30
    ZACCARDELLI F. 15/30

    NON AMMESSI: PAGANO G., PALMIGIANI D., PASANISI M., PAVONE G., PIRRI E., POLDIALLAI E., POLISINI M., PRETO M., PULCINI E., RANIERI S., RICCARDI A., RIGHI M., RISPO F., RONDONI S., ROSSETTI E., ROSSI A., SABELLICO F., SBIZZERA A.,SEVERINI F., SIMONCELLI M., SIMONE M., SORDI A., STIGLIANO S., TASSI CH., TOBIA NICOLO' MATTEO, TRASATTI S., UGOLINI A. .
    L'orale si terra' Giovedi 20 alle 14.30 in aula B12. In caso di sovrapposizione con altro esame, gli studenti in questione dovranno avvertirmi per e-mail e potranno sostenere l'esame venerdi 21 (e non mercoledi 19 come precedentemente comunicato) alle 12 in aula B12.
  • Terzo appello scritto (08-09-2017). testo e soluzioni (solo una versione).
    AMMESSI ALL'ORALE
    PASTURA T., 14
    PENNACCHIA A., 16
    POLISINI M., 12
    PRONTERA F., 15
    RONDONI S., 15
    SANTORO F., 20
    STIGLIANO L., 15
    TAMBURRO L., 14
    TASSi C., 15
    TOBIA N.M. 13
    TRINCA S. 15
    UGOLINI A. 12
    ZITO S. 30

    NON AMMESSI: POLDIALLAI E., PRETO M., PROIETTI E., RANIERI S., RAPISARDA A., STIGLIANO S., TASSI C., TERRAGITTI M., TRASATTI M., VALENTINI E.

    PEZZELLA K. e RISPO F.: compito annullato.

    Esame orale: giovedi 14 settembre. Aula B8. Orario:
    ore 10: ZITO, TRINCA, TOBIA, TAMBURRO
    ore 11: STIGLIANO L., SANTORO, RONDONI
    ore 12: PRONTERA, POLISINI, PENNACCHIA, PASTURA.

    Se qualcuno volesse sostenere l'esame orale piu' avanti, dopo il secondo appello, puo' farlo. In quel caso gli studenti interessati me lo devono comunicare per e-mail. La stessa cosa per eventuali studenti che volessero ritentare lo scritto. In presenza di questi casi l'orario potra' seguire qualche variazione, dunque date un'occhiata al sito mercoledi nel tardo pomeriggio.
    Gli studenti non ammessi che volessero visionare il loro compito potranno farlo durante l'orale.
  • Quarto appello (20 settembre 2017): testo e soluzioni
    AMMESSI ALL"ORALE:
    PESCE F., 25
    PEZZELLA K., 30
    NON AMMESSI: PACCHIAROTTI M., PATRIZI D., PELLEGATTI C., PIU D., POLDIALLAI E., PRETO M., RAMONI E., RANIERI S., RISPO F., SALAJ G., SCALETTA M., SORRENTINO S., STIGLIANO S., TERRAGITTI M., TERZULLI F., TRASATTI S., VENZI G., ZEPPA A. Orale: Giovedi ore 13 aula B8 e Venerdi ore 13, aula da comunicare. CORREZIONE:
    L'aula degli orali, sia per giovedi 21 che per venerdi 22 (ore 13 tutt'e due igiorni) e' la 11 (e non la B8).
    Io comunque oggi (giovedi) passero' in B8 alle 13 per avvertire eventuali studenti.