Università di Roma “Tor Vergata”

Dipartimento di Matematica

Algebra 1

Docente: Prof. René Schoof          Codocente: Prof. Laura Geatti

3 ottobre 2022 – 21 gennaio 2023

Esami

• Mercoledì 23 novembre 2022: primo esonero, risultati e compito corretto.
• Mercoledì 25 gennaio 2023: secondo esonero, risultati e compito corretto.
• Mercoledì 1 febbraio 2023: primo appello, risultati e compito corretto.
• Mercoledì 15 febbraio 2023: secondo appello, risultati e compito corretto.
  
  
• Per ricevimenti nel periodo febbraio-giugno 2023 contattare la Prof.ssa Geatti.
  
  
• Per superare l'esame è necessario fare un compito scritto sufficiente,
  oppure i due esoneri entrambi sufficienti (sufficiente: voto almeno 18/30).
• Per partecipare al terzo appello è necessario prenotarsi tramite il sito delphi.
• La prenotazione va fatta prima di .... giugno 2023.
• Chi si prenota per il terzo appello perde i voti precedenti.
• Portare un documento di riconoscimento.
  Non sono consentiti libri, appunti o palmari.
  Non è consentito uscire durante il compito.

Esercizi

• 3 ottobre 2022: Foglio 1.
• 9 ottobre 2022: Foglio 2 (sito di Mind Reader)
• 15 ottobre 2022: Foglio 3
• 21 ottobre 2022: Foglio 4
• 25 ottobre 2022: Foglio 5
• 4 novembre 2022: Foglio 6
• 8 novembre 2022: Foglio 7
• 17 novembre 2022: Foglio 8
• 20 novembre 2022: Foglio 9
• 26 novembre 2022: Foglio 10
• 2 dicembre 2022: Foglio 11
• 10 dicembre 2022: Foglio 12
• 18 dicembre 2022: Foglio 13.
• 22 dicembre 2022: Foglio 14.
• 26 dicembre 2022: Foglio 15. (ultimo foglio)

Programma

• Insiemi
  • Insiemi in Wikipedia.
  • Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.
  • Insiemi numerabili.
  • I numeri interi.
  • I numeri razionali.
  • I numeri reali.
  • I numeri complessi.
  • R non è numerabile
  • Relazioni di equivalenza.
• Teoria dei numeri
  • Teoria dei numeri in Wikipedia.
  • Massimo comun divisore in Wikipedia.
  • Algoritmo (esteso) di Euclide.
  • Identità di Bézout.
  • Modular arithmetic.
  • Teorema cinese del resto.
  • La funzione φ di Euler con tabella (di Euler).
  • Radici primitive modulo p (tabella).
  • Somme di due quadrati.
  • Somme di quattro quadrati (pdf).
• Gruppi
  • Gruppi in Wikipedia.
  • Omomorfismi di gruppi.
  • Automorfismi di gruppi.
  • Ordine di un elemento di un gruppo.
  • prodotto di gruppi.
  • Centro e sottogruppo dei commutatori.
  • Classi laterali in Wikipedia.
  • Il gruppo circolare.
  • Il gruppo quoziente.
  • Il gruppo di Klein.
  • I gruppi Z_n^*.
  • Il gruppo diedrale D_n.
  • Il gruppo simmetrico S_n.
  • Il gruppo alterno o alternante A_n.
  • Il gruppo dei quaternioni Q₈.
  • Teorema di Lagrange.
  • Teoremi di Euler e di Fermat.
• Anelli
  • Anelli in Wikipedia.
  • Campi in Wikipedia.
  • Omomorfismi di anelli.
  • Anelli di polinomi.
  • Anelli di matrici.
  • L'anello degli interi di Gauss.
  • Il corpo dei quaternioni di Hamilton.
  • Domini e divisori dello zero.
  • Campo delle frazioni.
  • Ideali.
  • L'anello quoziente.
  • Domini ad ideali principali (PID).
  • Domini euclidei.

Diario delle lezioni

• Diario.

Materiale

• Artin, M. : Abstract Algebra, 2nd ed, Addison-Wesley, 2010.
• Dummit, D. and Foote, R.: Abstract Algebra, 3rd ed, 2003.
• Schoof, R. and Van Geemen, B.: Dispense di Algebra, Pavia 2001.

Ulteriori

• Il forum math.stackexchange.com.
• Il forum www.matematicamente.it.
• Georg Cantor.
• Dimostrazione del Teorema di Cantor-Bernstein-Schröder.
• Decimali.
• Localizzazione.
• Un PID non euclideo.
• Fattorizzare numeri online.
• Numeri di Mersenne
• Trattato de numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo, Bologna 1603.
• Il quinto numero di Fermat F₅ è divisibile per 641: demonstratio.
  (Euler, Leonhard: Theoremata circa divisores numerorum, Novi commentarii
  academiae scientiarum Petropolitanae 1 (1747/48), 1750, pp. 20-48.
  Available online at EulerArchive.org).
• Quaternioni: il ponte di Brougham e le animazioni di Tomb Raider.
• GIMPS: cercare numeri primi grandi.
• Il gioco del quindici. (Bobby Fischer).
• Il gruppo di Rubik.