Laurea Triennale in Matematica
a.a. 2022-2023
semestre 1.
Diario delle lezioni di Algebra

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.





PRIMA SETTIMANA :


• (3/10/22) Insiemi, P(A) l'insieme delle parti di A. Se #A = n allora #P(A) = 2ⁿ.
  Applicazioni (=mappe=funzioni) fra insiemi. Se #A=n, e #B = m, allora #Map(A,B) = mⁿ.
  
• (4/10) Mappe iniettive, suriettive, biiettive.
  Se f:A → B e' iniettiva, suriettiva, biettiva, allora #A≤#B, #A≥#B, #A=#B, rispettivamente.
  #{mappe iniettive A→ B} = m(m-1)(m-2)...(m-(n-1)) = m!/(m-n)!
  # {mappe suriettive} e' difficile (numeri di Stirling del secondo tipo).
  #{biezioni} = 0 se n < m oppure n > m, ed e' uguale n! se n=m.
  Funzioni: dominio, codominio, immagine, controimmagine.
  Esistenza dell'inversa se f e' biiettiva. Cardinalita': metodo diagonale di Cantor. #P(A) > #A.
  Cenni al teorema di Cantor-Bernstein Schroeder e #P(N) = #R
• (5/10) Esercizi dal foglio 1.
• (7/10) Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, partizioni.




SECONDA SETTIMANA :


• (10/10) Fattorizzazione unica di un intero nel prodotto di numeri primi. p primo divide xy allora p divide x oppure y. mcd, mcm, divisione con resto.
• (11/10) cifre in base B con B=10, 2, 16, etc. Algoritmo euclideo. Algoritmo euclideo esteso. Teorema di Bezout.
• (12/10) Esercizi dal foglio 1.
• (14/10) Z_n, calcolo modulo n. Dimostrazioni per induzione.
  
  
• Dispense di Algebra, pag. 1-9.




TERZA SETTIMANA :


• (17/10/2022) Esempi di gruppi: Z, Q, R, spazi vettoriali, Z_n, R^*, Q^*, Z_n^*, S_n, gruppo di Rubik.
• (18/10/2022) Tavole di moltiplicazione di gruppi finiti (tavole "sudoku"), gruppo di Klein, numeri complessi, sottogruppi, gruppo circolare.
• (19/10/2022) Esercizi del foglio 2.
• (21/10/2022) Gruppo ortogonale O(2), gruppi diedrali D_n.
  
  
• Dispense di Algebra, pag. 9-18.




QUARTA SETTIMANA :


• (24/10/2022) Segno di una permutazione. Sottogruppo generato da un sottoinsieme X si elementi di un gruppo.
• (25/10/2022) Caso speciale: sottogruppo generato da elemento x, gruppi ciclici, ordine di un elemento.
• (26/10/2022) Esercizi dal foglio 3 e dal foglio 4.
• (28/10/2022) Teorema di Lagrange, Piccolo teorema di Fermat, teorema di Wilson. Omomorfismi di gruppi, isomorfismi, nucleo ed immagine di un omomorfismo.
  
  
• Dispense di Algebra, pag. 23-46.




QUINTA SETTIMANA :


• (2/11/2022) Esercizi dai fogli 4 e 5.
• (4/11/2022) Teorema cinese del resto. Formula della funzione φ di Eulero. I divisori primi di n² + 1 sono congrui ad 1 modulo 4; i divisori primi dei numeri di Mersenne 2^p -1 sono congrui ad 1 modulo p.
  
  
• Dispense di Algebra, pag. 23-46.




SESTA SETTIMANA :


• (7/11/2022) Congruenze. Gruppo quoziente (caso abeliano).
• (8/11/2022) Gruppo quoziente (caso abeliano). Gruppi ciclici, Teorema di Cayley (ogni gruppo finito e' isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo di permutazioni).
• (9/11/2022) Esercizi dal foglio 6.
• (11/11/2022) Classi laterali destre sinistre, sottogruppi normali, quozienti.
  
  
• Dispense di Algebra, pag. 50-51.




SETTIMA SETTIMANA :


• (14/11/2022) Centro di un gruppo, sottogruppo dei commutatori. Esempi: D_n ed S_n.
• (15/11/2022) Automorfismi di gruppi. Teorema di isomorfismo.
• (16/11/2022) Esercizi.
• (18/11/2022) Il gruppo dei quaternioni. Il gruppo lineare su Z_p. Classificazione dei gruppi di cardinalita' minore o uguale a 10.




OTTAVA SETTIMANA :


• STOP PER ESONERI




NONA SETTIMANA :


• (28/11/2022) Anelli. Esempi: Z,Z_n, H, anelli di matrici, l'anello O. Prodotti di anelli. Sottoanelli. Il sottogruppo delle unita', divisori di zero. Domini. Omomorfismi di anelli.
• (29/11/2022) Ideali, End(A), omomorfismi, polinomi, domini, campo delle frazioni.
• (30/11/2022) Esercizi dal foglio 10.
• (2/12/2022)




DECIMA SETTIMANA :


• (5/12/2022) Esistenza di una radice primitiva mod p. Formula di Gauss ∑ _d|n φ(d) = n.
• (6/12/2022) Teorema cinese del resto per anelli, anelli di polinomi, i polinomi a coefficienti in un campo sono un dominio a ideali principali.
• (7/12/2022) Esercizi dai fogli 9 e 11.
• (9/12/2022) PONTE




UNDICESIMA SETTIMANA :


• (12/12/2022) Z[i] = dominio a ideali principali. Un primo p e' somma di due quadrati se e solo se e' congruo a 1 modulo 4.
• (13/12/2022) Esercizi.
• (14/12/2022) F campo, allora F [X] e' UFD=dominio a fattorizzazione unica. F [X] /(pol irr) e' un campo. Esempi.
• (16/12/2022) Domini euclidei, numeri primi somma di due quadrati.




DODICESIMA SETTIMANA :


• (19/12/2022) Domini euclidei, quaternioni, interi somma di 4 quadrati, polinomi derivati, zeri doppi.
• (20/12/2022) Anelli quoziente: anelli di polinomi modulo ideali non principali.
• (21/12/2022) Esercizi.
• (23/12/2022) CANCELLATA




TREDICESIMA SETTIMANA :


• Ordinamento lessicografico, polinomi simmetrici.