Analisi Matematica II per Ing. Civile ambientale, Ing. Medica, A.A. 2017-18

Testi consigliati

Testo di riferimento per la teoria:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill (2011)
indicato nel seguito come [BDG] .

Altre possibili scelte di testo per la teoria sono:
R.A. Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Ed. Ambrosiana (2007)
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori (2001)
C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica, Analisi Matematica 2, Zanichelli, prima ed. (1990), oppure seconda ed. (2016)
La parte finale del programma da 12 crediti è (variabile complessa e trasformate) trattata solo in [BDG].

Testi consigliati per gli esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, volume II, parte 1 e 2, Liguori.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 2, Zanichelli, 2011.
B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di analisi matematica, Ed. Riuniti (2003 oppure 2010).
Il testo [BDG] segnalato per la teoria contiene anche numerosi esercizi.

In questa pagina sono disponibili delle raccolte di esercizi a cura del docente, allo scopo di fornire esempi delle tipologie di maggior interesse per il corso; si raccomanda di integrare gli esercizi di queste liste con altre fonti. Altre raccolte di esercizi sono disponibili sulle pagine web di altri docenti, ad es. dei proff. Isola , Ruzzi e Tauraso.

Esercizi su topologia, calcolo differenziale ed estremi liberi per funzioni a più variabili e risposte .
Esercizi sulle curve cartesiane e sui moltiplicatori di Lagrange e risposte .
Esercizi sugli integrali multipli e risposte .
Esercizi su curve parametriche e integrali curvilinei e risposte .
Esercizi su superfici parametriche e integrali di superficie e risposte .
Esercizi sulle serie numeriche e risposte .
Esercizi sulle successioni e serie di funzioni e risposte .
Esercizi sugli integrali di funzioni complesse e trasformata di Laplace e risposte .

Testo della prova scritta del 25 gennaio 2018 .
Testo della prova scritta del 21 febbraio 2018 .
Testo della prova scritta del 18 giugno 2018 .
Testo della prova scritta del 10 luglio 2018 .
Testo della prova scritta del 5 settembre 2018 .
Testo della prova scritta del 17 settembre 2018 .
Non verranno messi in rete gli svolgimenti delle prove scritte. Il numero e gli argomenti degli esercizi di esame possono variare da un appello all'altro.

E' disponibile il diario delle lezioni svolte.

Il programma e i testi delle prove di esame degli anni precedenti sono reperibili su questa pagina. Tener presente che ci sono alcune differenze con il programma attuale. In particolare, nelle prove scritte dell'A.A. 2017/18 non verranno assegnati esercizi sulle serie di Fourier e sulle equazioni differenziali (che fanno invece parte del programma per la prova orale).

Programma dettagliato del corso

Avvertenza Nel seguito sono riportati gli argomenti del corso con i riferimenti al testo [BDG]. Sul testo gli argomenti sono talvolta organizzati in modo differente rispetto a quanto fatto a lezione, o su altri libri di testo; lo studente può scegliere il riferimento che preferisce per studiare gli argomenti indicati.

In generale, sono da studiare le dimostrazioni svolte a lezione. Precisamente, sono obbligatorie le dimostrazioni:
(i) se si ottengono con pochi e semplici passaggi dalle definizioni e da proprietà già note (ad es. la dimostrazione che un campo conservativo è anche irrotazionale, ecc.)
(ii) se indicato esplicitamente nel programma qui sotto
In alcuni casi, indicati con "dim. fac." lo studio della dimostrazione è facoltativo (è apprezzato, ma non indispensabile per il superamento dell'esame).

1) Funzioni di più variabili

Topologia in Rⁿ [BDG, 10.2.2]. Limiti e continuità per funzioni a più variabili [BDG, 10.3]. Successioni in Rⁿ [BDG, 10.3.1] teorema di Bolzano-Weierstrass (dim. fac.) [BDG, 10.2.2]. Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass (dim. fac.) e di Heine-Cantor [BDG, 10.3.2]. Insiemi connessi per archi, teorema di esistenza degli zeri (dim. fac.) [BDG, 10.4.1]

Derivate direzionali e parziali, gradiente, regole di derivazione [BDG, 11.1]. Differenziabilità e piano tangente al grafico. Proprietà delle funzioni differenziabili, teorema del differenziale totale, funzioni di classe C¹ (senza dim., che si suppongono note dal corso di Analisi I) [BDG, 11.2]. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz [BDG, 11.3]. Sviluppo di Taylor di ordine due [BDG 11.4]. Funzioni convesse, definizioni e proprietà [BDG, 11.5].

Punti di estremo libero, punti critici, condizioni necessarie e sufficienti per un massimo o minimo in base alle proprietà del gradiente ed hessiano (con dim.) [BDG, 11.6]. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali [BDG, 11.7].

2) Funzioni implicite, estremi vincolati.

Teorema di inversione locale (senza dim.) [BDG 13.1.2]. Teorema di Dini (delle funzioni implicite) in R² (senza dim.) [BDG 13.1.4] e cenno in R³ (senza dim.) [BDG 13.1.5 e 13.1.6]. Punti regolari e retta tangente agli insiemi di livello di una funzione di due variabili (curva cartesiana) [BDG 13.1.4]. Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange in due variabili (con dim.) [BDG 13.2] e cenno al caso in tre variabili [BDG 13.4 e 13.5]. Applicazione allo studio di massimi e minimi assoluti di una funzione su un insieme compatto [BDG 13.3.1]

3) Integrali doppi e tripli.

Integrale di Riemann su rettangoli e su insiemi generali, definizione e proprietà, formule di riduzione. [BDG 14.1]. Esempio di una funzione non integrabile. Integrale di Riemann su insiemi generali. Misura di Peano-Jordan. Esempio di un insieme non misurabile. Proprietà della misura, equivalenza tra misurabilità e misura nulla della frontiera (dim. fac.). Esempi di insiemi di misura nulla e di insiemi misurabili [BDG, 14.2]. Integrabilità di funzioni continue su un insieme misurabile (dim. fac.) [BDG, Teor. 14.13]. Domini semplici (insiemi normali) e formule di riduzione [BDG, 14.2.1]. Cambio di variabili [BDG, 14.3]. Integrali impropri [BDG, 14.4]. Calcolo dell'integrale di exp(-x²) sulla retta [BDG, es. 14.22]. Integrali tripli, definizione e tecniche di calcolo [BDG, 14.5, 14.5.1, 14.5.2].

4) Curve, superfici e campi vettoriali.

Curve parametriche, definizioni e proprietà. Curve di Jordan, curve regolari, regolari a tratti, retta tangente. Cambio di parametro, curve equivalenti. [BDG, 10.3.3, 12.1, 12.1.1]. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea [BDG, 12.2]. Integrali curvilinei di funzioni (di prima specie) [BDG 12.3]. Campi vettoriali e forme differenziali e loro integrali curvilinei (di seconda specie) [BDG 12.4]. Campi vettoriali conservativi e irrotazionali e loro proprietà, potenziale [BDG 12.4.1, con dimostrazioni, eccetto l'implicazione da (iii) a (i) del Teor. 12.17]. Formule di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza e del rotore (di Stokes) nel piano (tutti con dim.) [BDG 16.2]. Insiemi semplicemente connessi, esempi (cenni). Campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi [BDG 12.4.2].
Superfici parametriche in R³, bordo di una superficie, piano tangente e versore normale [BDG 15.1]. Area di una superficie, integrali di funzioni su superfici [BDG 15.2]. Orientazione, flusso di un campo vettoriale [BDG 15.3]. Analisi vettoriale in R³, rotore e divergenza [BDG 16.1]. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e teorema di Stokes in in R³ [BDP 16.3, 16.4].

5) Serie numeriche.

Serie numeriche, definizione di convergenza. Prime proprietà, condizione necessaria di convergenza La serie geometrica e le sue proprietà. (con dim.). [BDG 4.7] Criterio integrale di convergenza (dim. fac.), serie armonica [BDG 9.1]. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico, criterio del rapporto (tutti con dim.) e della radice [BDG 4.8, 4.8.1, 4.8.3]. Serie a termini di segno variabile, criterio di convergenza assoluta (dim. fac.) [BDG 4.9.1], criterio di Leibniz (con dim.) [BDG 4.9.2].

6) Successioni e serie di funzioni, convergenza uniforme.

Successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, esempi. Continuità del limite uniforme di funzioni continue (con dim.). Passaggio al limite sotto il segno di integrale in caso di convergenza uniforme (con dim.) [BDG 9.5.1, 9.5.2]. Criterio per la derivabilià del limite (dim. fac., non trattato in [BDG]). Serie di funzioni, criterio di convergenza totale [BDG 9.5.3]. Serie di potenze, raggio di convergenza. [BDG 9.3] Infinita derivabilità di una serie di potenze all'interno dell'intervallo di convergenza (non trattato in [BDG]). Teorema di Abel (fac., non trattato di [BDG]). Serie di Taylor, esempi [BDG 9.4]. Serie di Fourier, definizione, proprietà di convergenza, identità di Parseval [BDG 20.1] (NB l'identità di Parseval non è riportata in [BDG], ma coincide con la formula denominata "disuguaglianza di Bessel" in [BDG, Teor. 20.4 (iii)] sostituendo la disuguaglianza con un'uguaglianza). Risoluzione dell'equazione del calore e delle onde mediante sviluppo in serie di Fourier (fac.) [BDG, par. 20.2, esempio 20.3].
Il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine: teorema di esistenza e unicità mediante il metodo delle approssimazioni successive. (dim. fac., [BDG Teor. 17.4]. Estensione ad equazioni e sistemi differenziali di ordine qualunque. L'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea di ordine n è uno spazio vettoriale di dimensione n (con dim., cf. [BDG Teor. 17.10] che fa il caso n=2).

(Fine del programma per Ing. Medica)

7) Funzioni di variabile complessa.

Richiami sui numeri complessi: operazioni nel campo complesso, forma trigonometrica, radici n-sime [BDG 1.4, 1.4.1]. Esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche nel campo complesso. Derivabilità di funzioni complesse, equazioni di Cauchy-Riemann (con dim.), esempi di funzioni olomorfe [BDG 18.1]. Integrali di funzioni complesse [BDG, formula (18.16) ed esempio 18.11]. Teorema integrale di Cauchy (con dim.) e formula integrale di Cauchy [BDG 18.4]. Derivate di ordine superiore [BDG 18.5]. Funzioni primitive [BDG 18.6]. Sviluppabilità in serie delle funzioni olomorfe [BDG 18.7.2]. Singolarità isolate e loro classificazione, serie di Laurent [BDG 18.8]. Teorema dei residui (con dim.) e applicazioni al calcolo di integrali impropri reali. [BDG 18.9].

8) Trasformata di Laplace e di Fourier

Trasformata di Laplace: definizione ed esempi [BDG 19.1]. Inversione della trasformata di Laplace [BDG 19.2]. Trasformata di funzioni polinomiali, esponenziali e trigonometriche, propietà della trasformata di una derivata [BDG 19.3]. Applicazione allo studio di equazioni differenziali ordinarie [BDG 19.4.1]. Prodotto di convoluzione e trasformata di Laplace [BDG 19.4.3]. Trasformata di Fourier: definizione, esempi e formula di inversione [BDG 20.1]. Trasformata di Fourier di una derivata e di un prodotto di convoluzione [BDG 20.2]. Trasformata di Fourier di exp(-x²). Applicazione alla soluzione dell'equazione del calore (fac.) (fatto a lezione, ma non trattato in [BDG]).