Lezione del 26/9/2017:
Nozioni di base di topologia in Rⁿ: intorni sferici, insiemi aperti e chiusi, parte interna, chiusura e frontiera di un insieme. Esempi. Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rⁿ (con dimostrazione). Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili.

Lezione del 28/9/2017:
Punti di accumulazione e punti isolati. Esercizi su topologia in Rⁿ. Insiemi connessi per archi e teorema di esistenza degli zeri in Rⁿ (con dimostrazione).

Lezione del 29/9/2017:
Derivate parziali. Differenziabilità e piano tangente. Teorema del differenziale totale (senza dimostrazione). Massimi e minimi relativi, condizione necessaria del primo ordine (con dimostrazione).

Lezione del 2/10/2017:
Esercizi su massimi e minimi. Derivate successive, teorema di Schwarz (senza dim.). Richiami sulle forme quadratiche. Condizioni necessarie e sufficienti del secondo ordine per massimi e minimi.

Lezione del 3/10/2017:
Formula di Taylor (senza dimostrazione). Dimostrazione della condizione sufficiente del secondo ordine. Criteri per lo studio del segno degli autovalori della matrice hessiana. Esercizi.

Lezione del 5/10/2017:
Derivata di funzioni composte in più variabili. Dimostrazione della condizione necessaria del secondo ordine. Funzioni convesse, criterio con l'hessiano per funzioni C².

Lezione del 6/10/2017:
Esercizi sui massimi e minimi liberi. Metodi nel caso di punti con hessiano semidefinito.

Lezione del 9/10/2017:
Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana. Teorema di inversione locale (senza dim.). Funzioni implicite, teorema di Dini in 2 variabili (senza dim.). Curve cartesiane nel piano, punti regolari, retta tangente.

Lezione del 10/10/2017:
Massimi e minimi vincolati. Il criterio dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di due variabili (con dim.). Esercizi.

Lezione del 12/10/2017:
Funzioni implicite e massimi/minimi vincolati in tre variabili, il caso di una e di due equazioni. Esercizi.

Lezione del 13/10/2017:
Massimi e minimi su insiemi limitati definiti da uno o più vincoli di disuguaglianza. Esercizi.

Lezione del 16/10/2017:
Integrale di Riemann in più variabili per funzioni limitate su un rettangolo. Integrabilità di funzioni continue (con dim.) Formule di riduzione per integrali su un rettangolo.

Lezione del 17/10/2017:
Esercizi su massimi e minimi liberi.

Lezione del 19/10/2017:
Dimostrazione delle formule di riduzione. Integrali su insiemi limitati qualunque. Misura di Peano-Jordan.

Lezione del 20/10/2017:
Un insieme è misurabile se e solo se la frontiera ha misura nulla (con cenno di dim.). Esempi di insiemi misurabili e non misurabili. Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili (con cenno di dim.) Esercizi su curve cartesiane e su massimi e minimi vincolati.

Lezione del 23/10/2017:
Esercizi su massimi e minimi vincolati.

Lezione del 24/10/2017:
Insiemi normali nel piano, formula di riduzione. Baricentro di insiemi. Esercizi.

Lezione del 26/10/2017:
Formula di cambiamento di variabili, dimostrazione (cenno). Coordinate polari nel piano. Esempi.

Lezione del 27/10/2017:
Esercizi su integrali doppi.

Lezione del 30/10/2017:
Esercizi su integrali doppi.

Lezione del 31/10/2017:
Integrali tripli. Insiemi normali in R³, formule di riduzione "per fili" e "per strati". Baricentro e momento di inerzia di un solido di R³. Esercizi.

Lezione del 2/11/2017:
Coordinate sferiche e cilindriche in R³. Rappresentazione di porzioni di sfere, cilindri e coni nei vari sistemi di coordinate. Esercizi.

Lezione del 3/11/2017:
Integrali multipli impropri. Definizione di integrale improprio per funzioni positive e per funzioni a segno variabile che convergono assolutamente. Convergenza delle potenze in un intorno dell'origine e nel suo complementare. Calcolo dell'integrale improprio della funzione gaussiana sulla retta mediante gli integrali doppi.

Lezione del 6/11/2017:
Curve parametriche in Rⁿ. Curve regolari, retta tangente. Lunghezza di un arco di curva. Integrale curvilineo di funzioni (di prima specie).

Lezione del 7/11/2017:
Esercizi su integrali tripli. Semplificazioni nel calcolo in presenza di simmetrie del dominio e della funzione integranda.

Lezione del 9/11/2017:
Curve regolari a tratti. Curve equivalenti, orientazione. Ascissa curvilinea. Esercizi.

Lezione del 10/11/2017:
Campi vettoriali. Integrale curvilineo di un campo vettoriale, o della forma differenziale associata (di seconda specie). Interpretazione fisica come lavoro di una forza. Campi conservativi, potenziale. L'integrale di un campo conservativo è pari alla differenza di potenziale (con dimostrazione) e corollari. Campi irrotazionali. Un campo conservativo è irrotazionale (con dimostrazione). Esempio di un campo irrotazionale ma non conservativo.

Lezione del 13/11/2017:
Un campo irrotazionale definito su tutto il piano, o su un rettangolo, è conservativo (con dim.). Metodi di calcolo del potenziale. Esercizi.

Lezione del 14/11/2017:
Esercizi su curve parametriche e integrali curvilinei.

Lezione del 16/11/2017:
Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e teorema di Stokes (del rotore) nel piano (con dim.).

Lezione del 17/11/2017:
Applicazioni del teorema di Stokes. Integrali su una curva chiusa di un campo irrotazionale con un solo punto singolare. Insiemi semplicemente connessi nel piano. Un campo irrotazionale in un insieme semplicemente connesso è conservativo.

Lezione del 20/11/2017:
Superfici parametriche in R³, esempi. Bordo di una superficie. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superificie. Integrali di funzioni su superfici.

Lezione del 21/11/2017:
Orientazione di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Formule di Gauss-Green e teorema della divergenza in R³. Esempi ed esercizi.

Lezione del 23/11/2017:
Rotore e divergenza di campi in vettoriali in R³. Teorema di Stokes in R³. Esempi ed esercizi.

Lezione del 24/11/2017:
Proprietà del campo elettrico (o gravitazionale) generato da una singola carica, suo flusso attraverso una superficie chiusa. Applicazione delle formule di Gauss-Green: unicità della soluzione dell'equazione di Poisson con dati di Dirichlet al bordo. Esercizi.

Lezione del 27/11/2017:
Serie numeriche, definizione di convergenza. Serie geometrica. Criterio integrale di convergenza. Serie armonica. Serie a termini positivi: il criterio del confronto. (NB i teoremi su serie numeriche e serie di potenze sono stati svolti con dimostrazione salvo diversamente indicato).

Lezione del 28/11/2017:
Criterio del confronto asintotico. Criterio del rapporto e della radice. Esempi ed esercizi.

Lezione del 4/12/2017:
Serie con termini a segno qualunque, criterio di convergenza assoluta. Criterio del rapporto nel caso generale. Criterio di Leibniz. Esempi ed esercizi.

Lezione del 5/12/2017:
Successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, esempi. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Lezione del 7/12/2017:
Il limite uniforme di funzioni continue è continuo. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. Serie di funzioni. Criterio della convergenza totale. Serie di potenze. Convergenza delle serie di potenze, raggio di convergenza.

Lezione dell'11/12/2017:
Derivata e primitiva di una serie di potenze. Infinita derivabilità di una serie di potenze. Serie di Taylor, esempi e studio di convergenza. Teorema di Abel (senza dim.) e applicazioni.

Lezione del 12/12/2017:
Serie di Fourier, definizione e proprietà di convergenza puntuale (senza dim.). La spazio vettoriale delle funzioni col prodotto scalare dato dall'integrale. Interpretazione della serie di Fourier come decomposizione di un vettore rispetto alla base ortonormale costituita dalle funzioni trigonometriche.

Lezione del 14/12/2017:
Disuguaglianza di Bessel (con dim.) e identità di Parseval (senza dim.). Applicazione al calcolo di serie numeriche. Sviluppi in serie di soli seni o soli coseni. Risoluzione dell'equazione del calore mediante serie di Fourier.

Lezione del 15/12/2017:
Il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Teorema di esistenza, dimostrazione col metodo delle approssimazioni successive (prima parte).

Lezione del 18/12/2017: Dimostrazione del teorema di esistenza (conclusione). Estensione al caso di equazioni e sistemi differenziali di ordine generale. Applicazione: le soluzioni di un'equazione differenziale lineare sono uno spazio vettoriale.

Lezione del 19/12/2017:
Esercizi su successioni e serie di funzioni e sul teorema della divergenza in R³.

Lezione del 21/12/2017:
Richiami sui numeri complessi, forma algebrica e trigonometrica, radici n-sime. Teorema fondamentale dell'algebra e conseguenze per la fattorizzazione di polinomi reali (cenni). Esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche nel campo complesso.

Lezione del 22/12/2017:
Derivabilità in senso complesso, funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann (con dimostrazione). Integrali di funzioni complesse. Integrali di funzioni che posseggono primitiva.

Lezione dell'8/1/2018:
Il campo vettoriale associato a f(z)dz con f olomorfa è irrotazionale. Teorema integrale di Cauchy. Residuo di una funzione olomorfa in una singolarità isolata.

Lezione del 9/1/2018:
Teorema dei residui (con dimostrazione). Metodi per il calcolo dei residui. Esempi ed esercizi.

Lezione dell'11/1/2018:
Formula integrale di Cauchy. Infinita differenziabilità delle funzioni olomorfe. Serie di potenze nel campo complesso. Sviluppabilità in serie delle funzioni olomorfe. Serie di Laurent.

Lezione del 12/1/2018:
Classificazione delle singolarità in base alle proprietà della serie di Laurent, proprietà ed esempi. Applicazioni del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri reali, esempi.

Lezione del 15/1/2018:
Trasformata di Laplace, definizione ed esempi. Trasformata di Laplace e derivate. Trasformata inversa (senza dim.). Calcolo della trasformata inversa mediante il teorema dei residui.

Lezione del 16/1/2018:
Calcolo della trasformata inversa di una funzione razionale mediante decomposizione in fratti semplici. Applicazione alla risoluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Lezione del 18/1/2018:
Prodotto di convoluzione, proprietà. Trasformata di Laplace di un prodotto di convoluzione. Trasformata di Fourier, definizione ed esempi. Antitrasformata di Fourier.

Lezione del 19/1/2018:
Trasformata di Fourier e derivate. Trasformata di Fourier della funzione gaussiana. Trasformata di un prodotto di convoluzione. Applicazione alla risoluzione del problema di Cauchy per l'equazione del calore sulla retta.