Analisi Matematica II per Ing. Civile ambientale, Ing. Elettronica, Ing. Internet, A.A. 2016-17

Testi consigliati

Testo di riferimento per la teoria:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill (2011)
indicato nel seguito come [BDG] .

Altre possibili scelte di testo per la teoria sono:
R.A. Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Ed. Ambrosiana (2007)
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori (2001)
C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica, Analisi Matematica 2, Zanichelli, prima ed. (1990), oppure seconda ed. (2016)
Alcune parti del programma non sono presenti in questi testi, per cui si deve far riferimento a [BDG].

Testi consigliati per gli esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, volume II, parte 1 e 2, Liguori.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 2, Zanichelli, 2011.
B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di analisi matematica, Ed. Riuniti (2003 oppure 2010).
Il testo [BDG] segnalato per la teoria contiene anche numerosi esercizi.

Su questa pagina sono disponibili delle liste di esercizi a cura del docente, allo scopo di fornire esempi delle tipologie di maggior interesse per il corso; si raccomanda di integrare gli esercizi di queste liste con altre fonti.

Esercizi sulle funzioni a più variabili e risposte .
Esercizi sugli integrali doppi e tripli e risposte .
Esercizi sul curve, integrali curvilinei e campi vettoriali e risposte .
Esercizi sulle serie numeriche, serie di potenze e serie di Fourier e risposte .
Esercizi sugli funzioni complesse e trasformata di Laplace e risposte .

Esercizi sulle curve cartesiane e sui moltiplicatori di Lagrange e risposte .
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie e risposte .

Testo della prova scritta del 10 gennaio 2017.
Testo della prova scritta del 27 gennaio 2017.
Testo della prova scritta del 6 febbraio 2017.
Testo della prova scritta del 23 febbraio 2017.
Testo della prova scritta del 26 giugno 2017.
Testo della prova scritta del 13 luglio 2017.
Testo della prova scritta del 1 settembre 2017.
Testo della prova scritta del 18 settembre 2017.

I testi delle prove di esame dell'A.A. 2015-16 sono reperibili su questa pagina . Non saranno messi in rete gli svolgimenti degli esercizi di esame.

Programma dettagliato del corso

Avvertenza Nel seguito sono riportati gli argomenti del corso con i riferimenti al testo [BDG]. Sul testo gli argomenti sono talvolta organizzati in modo differente rispetto a quanto fatto a lezione, o su altri libri di testo; lo studente può scegliere il riferimento che preferisce per studiare gli argomenti indicati.

In generale, sono da studiare le dimostrazioni svolte a lezione. Precisamente, sono obbligatorie le dimostrazioni:
(i) se indicato esplicitamente nel programma qui sotto
(ii) se sono conseguenze immediate delle definizioni e di proprietà viste in precedenza (ad es. la dimostrazione che un campo conservativo è anche irrotazionale, o la formula per la trasformata di Laplace di una derivata, ecc.)
In alcuni casi, indicati con "dim. fac." lo studio della dimostrazione è facoltativo (è apprezzato, ma non indispensabile per il superamento dell'esame).

1) Funzioni di più variabili

Topologia in Rⁿ [BDG, 10.2.2]. Limiti e continuità per funzioni a più variabili [BDG, 10.3]. Successioni in Rⁿ [BDG, 10.3.1]. Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass (dim. fac.) e di Heine-Cantor [BDG, 10.3.2]. Criterio generale di continuità [BDG, 10.4.1]. Insiemi connessi per archi, teorema di esistenza degli zeri (dim. fac.) [BDG, 10.4.1]

Derivate direzionali e parziali, gradiente, regole di derivazione [BDG, 11.1]. Differenziabilità, proprietà delle funzioni differenziabili, teorema del differenziale totale, funzioni di classe C¹ (senza dim., che si suppone nota dal corso di Analisi I) [BDG, 11.2]. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz [BDG, 11.3]. Sviluppo di Taylor di ordine due [BDG 11.4]. Funzioni convesse, definizioni e proprietà [BDG, 11.5].

Punti di estremo libero, punti critici, condizioni necessarie e sufficienti per un massimo o minimo in base alle proprietà del gradiente ed hessiano (con dim.) [BDG, 11.6]. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali [BDG, 11.7].

2) Integrali doppi e tripli.

Integrale di Riemann su rettangoli e su insiemi generali, definizione e proprietà, formule di riduzione. [BDG 14.1]. Integrale di Riemann su insiemi generali. Misura di Peano-Jordan, proprietà della misura, esempi di insiemi di misura nulla [BDG, 14.2]. Criterio di integrabilità per funzioni continue e limitate al di fuori di un insieme di misura nulla [BDG, Teor. 14.13]. Domini semplici (insiemi normali) e formule di riduzione [BDG, 14.2.1]. Cambio di variabili [BDG, 14.3]. Integrali impropri [BDG, 14.4]. Calcolo dell'integrale di exp(-x²) sulla retta [BDG, es. 14.22]. Integrali tripli, definizione e tecniche di calcolo [BDG, 14.5, 14.5.1, 14.5.2].

3) Curve e integrali curvilinei.

Curve parametriche, definizioni e proprietà. Curve di Jordan, curve regolari, regolari a tratti e retta tangente, cambio di parametro [BDG, 10.3.3, 12.1, 12.1.1]. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea [BDG, 12.2]. Integrali curvilinei di funzioni (di prima specie) [BDG 12.3]. Campi vettoriali e forme differenziali e loro integrali curvilinei (di seconda specie) [BDG 12.4]. Campi vettoriali conservativi e irrotazionali e loro proprietà, potenziale [BDG 12.4.1, con dimostrazioni, eccetto l'implicazione da (iii) a (i) del Teor. 12.17]. Omotopia tra curve, insiemi semplicemente connessi, esempi. Campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi [BDG 12.4.2]. Formule di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza e del rotore (di Stokes) nel piano (con dim.) [BDG 16.2]. Analisi vettoriale in R³, rotore e divergenza [BDG 16.1]. Superfici parametriche in R³, teorema della divergenza e teorema di Stokes in in R³ (cenni) [BDG 15.1, 15.3 16.3, 16.4].

4) Serie numeriche, serie di funzioni.

Serie numeriche, definizione di convergenza. Prime proprietà, condizione necessaria di convergenza La serie geometrica e le sue proprietà. (con dim.). [BDG 4.7] Criterio integrale di convergenza (dim. fac.), serie armonica [BDG 9.1]. Serie a termini positivi, criterio del confronto, del confronto asintotico criterio del rapporto e della radice (con dim.) [BDG 4.8, 4.8.1, 4.8.3]. Serie a termini di segno variabile, criterio di convergenza assoluta (dim. fac.) [BDG 4.9.1], criterio di Leibniz (con dim.) [BDG 4.9.2].

Serie di potenze, raggio di convergenza. [BDG 9.3] Serie di Taylor, esempi [BDG 9.4]. Serie di Fourier, definizione, proprietà di convergenza, identità di Parseval [BDG 20.1] (NB l'identità di Parseval non è riportata in [BDG], ma coincide con la formula denominata "disuguaglianza di Bessel" in [BDG, Teor. 20.4 (iii)] sostituendo la disuguaglianza con un'uguaglianza). Risoluzione dell'equazione del calore e delle onde mediante sviluppo in serie di Fourier (fac.) [BDG, par. 20.2, esempio 20.3].

5) Funzioni di variabile complessa.

Richiami sui numeri complessi: operazioni nel campo complesso, forma trigonometrica, radici n-sime [BDG 1.4, 1.4.1]. Esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche nel campo complesso. Derivabilità di funzioni complesse, equazioni di Cauchy-Riemann (con dim.), esempi di funzioni olomorfe [BDG 18.1]. Integrali di funzioni complesse [BDG, formula (18.16) ed esempio 18.11]. Teorema integrale di Cauchy (con dim.) e formula integrale di Cauchy [BDG 18.4]. Derivate di ordine superiore [BDG 18.5]. Funzioni primitive [BDG 18.6]. Sviluppabilità in serie delle funzioni olomorfe [BDG 18.7.2]. Singolarità isolate e loro classificazione, serie di Laurent [BDG 18.8]. Teorema dei residui (con dim.) e applicazioni al calcolo di integrali impropri reali. [BDG 18.9].

6) Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace: definizione ed esempi [BDG 19.1]. Inversione della trasformata di Laplace [BDG 19.2]. Trasformata di funzioni polinomiali, esponenziali e trigonometriche, propietà della trasformata di una derivata [BDG 19.3]. Applicazione allo studio di equazioni differenziali ordinarie [BDG 19.4.1]. Prodotto di convoluzione e trasformata di Laplace [BDG 19.4.3]. Trasformata di Fourier: definizione, esempi e formula di inversione [BDG 20.1]. Trasformata di Fourier di una derivata e di un prodotto di convoluzione [BDG 20.2]. Trasformata di Fourier di exp(-x²). Applicazione alla soluzione dell'equazione del calore (fac.) (fatto a lezione, ma non trattato in [BDG]).

(Fine del programma per Ing. Elettronica e Ing. Internet)

7) Funzioni implicite, estremi vincolati.

Teorema di Dini (delle funzioni implicite) in R² (dim. fac.) [BDG 13.1.4]. Punti regolari e retta tangente agli insiemi di livello di una funzione di due variabili [BDG 13.1.4]. Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange in due variabili (con dim.) [BDG 13.2] e cenno al caso in tre variabili [BDG 13.4 e 13.5]. Applicazione allo studio di massimi e minimi assoluti di una funzione su un insieme compatto [BDG 13.3.1]

8) Successioni di funzioni, convergenza uniforme.

Successioni di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, esempi. Continuità del limite uniforme di funzioni continue (con dim.). Passaggio al limite sotto il segno di integrale in caso di convergenza uniforme (con dim.) [BDG 9.5.1, 9.5.2]. Criterio per la derivabilià del limite (non trattato in [BDG]). Serie di funzioni, criterio di convergenza totale [BDG 9.5.3]. Infinita derivabilità di una serie di potenze all'interno dell'intervallo di convergenza (non trattato in [BDG]).

9) Equazioni differenziali ordinarie

NB Si suppongono noti dal corso di Analisi I i metodi risolutivi per speciali classi di equazioni differenziali, ad esempio le equazioni lineari a coefficienti costanti.

Equazioni e sistemi differenziali in forma normale. Equazioni a variabili separabili [BDG 17.2.1].Il problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità locale (dim. fac.). Intervallo massimale di esistenza. Criterio di esistenza globale [BDG 17.2.2]. Sistemi ed equazione di ordine qualsiasi [BDG 17.2.3]. Esempi di studio qualitativo delle soluzioni (non trattato in [BDG]).