Analisi Matematica II per Ing. Civile ambientale, Ing. Elettronica, Ing. Tecn. Internet, A.A. 2015-16

Testi consigliati

Testo di riferimento per la teoria:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill (2011)
indicato nel seguito come [BDG] .

Altre possibili scelte di testo per la teoria sono:
R.A. Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Ed. Ambrosiana (2007)
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori (2001)
C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica, Analisi Matematica 2, Zanichelli, prima ed. (1990), oppure seconda ed. (2016)
Alcune parti del programma non sono presenti in questi testi, per cui si deve far riferimendo a [BDG].

Testi consigliati per gli esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, volume II, parte 1 e 2, Liguori.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 2, Zanichelli, 2011.
B. P. Demidovic: Esercizi e problemi di analisi matematica, Ed. Riuniti (2003 oppure 2010).
Inoltre, alcuni dei libri segnalati sopra per la teoria contengono anche numerosi esercizi.

Su questa pagina sono disponibili delle liste di esercizi a cura del docente, allo scopo di fornire esempi delle tipologie di maggior interesse per il corso; si raccomanda di integrare gli esercizi di queste liste con altre fonti.

Esercizi sulle funzioni a più variabili e risposte .
Esercizi sugli integrali doppi e tripli e risposte .
Esercizi sul curve, integrali curvilinei e campi vettoriali e risposte .
Esercizi sulle superfici e integrali di superficie e risposte .
Esercizi sulle serie numeriche, serie di potenze e serie di Fourier e risposte .
Esercizi sugli funzioni complesse e trasformata di Laplace e risposte .
Esercizi sulle curve definite implicitamente, massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange e risposte .

Prova scritta d'esame del 29 gennaio 2016.
Prova scritta d'esame del 16 febbraio 2016.
Prova scritta d'esame del 22 giugno 2016.
Prova scritta d'esame del 5 luglio 2016.
Prova scritta d'esame del 14 settembre 2016.
Prova scritta d'esame del 27 settembre 2016.

NOTA: non saranno messe in rete le soluzioni degli esercizi di esame. Gli esercizi assegnati all'esame possono variare sia come numero che come argomenti da una prova scritta all'altra.

Programma dettagliato del corso

Avvertenza Nel seguito sono riportati gli argomenti del corso con i riferimenti al testo [BDP]. Sul testo gli argomenti sono talvolta organizzati in modo differente rispetto a quanto fatto a lezione, o su altri libri di testo; lo studente può scegliere il riferimento che preferisce per studiare gli argomenti indicati.

Sono obbligatorie le dimostrazioni:
(i) se indicato esplicitamente nel programma
(ii) se sono conseguenze immediate delle definizioni e di proprietà viste in precedenza (ad es. la dimostrazione che un campo conservativo è anche irrotazionale, o la formula per la trasformata di Laplace di una derivata, ecc.)
In alcuni casi, indicati con "dim. fac." lo studio della dimostrazione è facoltativo.

1) Funzioni di più variabili

Topologia in Rⁿ [BDP, 10.2.2]. Limiti e continuità per funzioni a più variabili [BDP, 10.3]. Successioni in Rⁿ [BDP, 10.3.1]. Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass (dim. fac.) e di Heine-Cantor [BDP, 10.3.2]. Criterio generale di continuità [BDP, 10.4.1]. Insiemi connessi per archi, teorema di esistenza degli zeri (dim. fac.) [BDP, 10.4.1]

Derivate direzionali e parziali, gradiente, regole di derivazione [BDP, 11.1]. Differenziabilità, proprietà delle funzioni differenziabili, teorema del differenziale totale, funzioni di classe C¹ (senza dim., che si suppone nota dal corso di Analisi I) [BDP, 11.2]. Il teorema del valor medio [BDP, 11.2.1]. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz [BDP, 11.3]. Sviluppo di Taylor di ordine due [BDP 11.4]. Funzioni convesse, definizioni e proprietà [BDP, 11.5].

Punti di estremo libero, punti critici, condizioni necessarie e sufficienti per un massimo o minimo in base alle proprietà del gradiente ed hessiano (con dim.) [BDP, 11.6]. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali [BDP, 11.7].

2) Integrali doppi e tripli.

Integrale di Riemann su rettangoli e su insiemi generali, definizione e proprietà, formule di riduzione. [BDP 14.1]. Integrale di Riemann su insiemi generali. Misura di Peano-Jordan, proprietà della misura, esempi di insiemi di misura nulla [BDP, 14.2]. Criterio di integrabilità per funzioni continue e limitate al di fuori di un insieme di misura nulla [BDP, Teor. 14.13]. Domini semplici (insiemi normali) e formule di riduzione [BDP, 14.2.1]. Cambio di variabili [BDP, 14.3]. Integrali impropri [BDP, 14.4]. Calcolo dell'integrale di exp(-x²) sulla retta [BDP, es. 14.22]. Integrali tripli, definizione e tecniche di calcolo [BDP, 14.5, 14.5.1, 14.5.2].

3) Curve e integrali curvilinei.

Curve parametriche, definizioni e proprietà. Curve di Jordan, curve regolari, regolari a tratti e retta tangente, cambio di parametro [BDP, 10.3.3, 12.1, 12.1.1]. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea [BDP, 12.2]. Integrali curvilinei di funzioni (di prima specie) [BDP 12.3]. Campi vettoriali e forme differenziali e loro integrali curvilinei (di seconda specie) [BDP 12.4]. Campi vettoriali conservativi e irrotazionali e loro proprietà, potenziale [BDP 12.4.1, con dimostrazioni, eccetto l'implicazione da (iii) a (i) del Teor. 12.17]. Omotopia tra curve, insiemi semplicemente connessi, esempi. Campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi [BDP 12.4.2]. Formule di Gauss-Green nel piano, teorema della divergenza e del rotore (di Stokes) nel piano (con dim.) [BDP 16.2]

4) Superfici e integrali di superficie.

Superfici parametriche in R³, bordo di una superficie, piano tangente e versore normale [BDP 15.1]. Area di una superficie, integrali di funzioni su superfici [BDP 15.2]. Orientazione, flusso di un campo vettoriale [BDP 15.3]. Analisi vettoriale in R³, rotore e divergenza [BDP 16.1]. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e teorema di Stokes in in R³ [BDP 16.3, 16.4].

5) Serie numeriche, successioni e serie di funzioni.

Serie numeriche, prime proprietà, la serie geometrica. [BDP 4.7] Criterio integrale di convergenza, serie armonica [BDP 9.1]. Serie a termini positivi, criterio del confronto, del confronto asintotico criterio del rapporto e della radice [BDP 4.8, 4.8.1, 4.8.3]. Serie a termini di segno variabile, criterio di convergenza assoluta (dim. fac.) [BDP 4.9.1], criterio di Leibniz [BDP 4.9.2].

Serie di potenze, raggio di convergenza. [BDP 9.3] Serie di Taylor, esempi [BDP 9.4]. Serie di Fourier, definizione, proprietà di convergenza, identità di Parseval [BDP 20.1] (NB l'identità di Parseval non è riportata in [BDP], ma coincide con la formula denominata "disuguaglianza di Bessel" in [BDP, Teor. 20.4 (iii)] sostituendo la disuguaglianza con un uguaglianza.). Risoluzione dell'equazione del calore e/o delle onde mediante sviluppo in serie di Fourier [BDP, par. 20.2, esempio 20.3].

6) Funzioni di variabile complessa.

Richiami sui numeri complessi: operazioni nel campo complesso, forma trigonometrica, radici n-sime [BDP 1.4, 1.4.1]. Esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche nel campo complesso. Derivabilità di funzioni complesse, equazioni di Cauchy-Riemann (con dim.), esempi di funzioni olomorfe [BDP 18.1]. Integrali di funzioni complesse [BDP, formula (18.16) ed esempio 18.11]. Teorema integrale di Cauchy (con dim.) e formula integrale di Cauchy [BDP 18.4]. Derivate di ordine superiore [BDP 18.5]. Funzioni primitive [BDP 18.6]. Sviluppabilità in serie delle funzioni olomorfe [BDP 18.7.2]. Serie di Laurent [BDP 18.8]. Teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali [BDP 18.9].

7) Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace: definizione ed esempi [BDP 19.1]. Inversione della trasformata di Laplace [BDP 19.2]. Trasformata di funzioni polinomiali, esponenziali e trigonometriche, propietà della trasformata di una derivata [BDP 19.3]. Applicazione allo studio di equazioni differenziali ordinarie [BDP 19.4.1]. Prodotto di convoluzione e trasformata di Laplace [BDP 19.4.3].

(Fine del programma per Ing. Elettronica e Ing. Internet)

8) Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier: definizione, esempi e formula di inversione [BDP 20.1]. Trasformata di Fourier di una derivata e di un prodotto di convoluzione [BDP 20.2]. Trasformata di Fourier di exp(-x²). Applicazione alla soluzione dell'equazione del calore. (fatto a lezione, non trattato in [BDP])

9) Funzioni implicite, estremi vincolati.

Teorema di Dini (delle funzioni implicite) in R² (con dim.) [BDP 13.1.4]. Punti regolari e retta tangente agli insiemi di livello di una funzione [BDP 13.1.4]. Teorema delle funzioni implicite in tre variabili, caso di una e di due equazioni [BDP 13.1.5 e 13.1.6]. Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange in due variabili [BDP 13.2] e in tre variabili [BDP 13.4 e 13.5]. Applicazione allo studio di massimi e minimi assoluti di una funzione su un insieme compatto [BDP 13.3.1]