Settimana

Lezione

Argomenti

Settimana 1

(2 ore)- 12 Marzo – Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su forme bilineari simmetriche complesse: calcolo del radicale di b; deduzione della forma canonica complessa in opportune coordinate; calcolo di sottospazi b-ortogonali a sottospazi dati; calcolo del cono b-isotropo in un sottospazio su cui la forma b si restringe ad una forma non-degenere

* Esercizio sui criteri di Sylvester per stabilire se una forma quadratica reale di ordine 2 è (semi)definita positiva oppure (semi)definita negativa oppure indefinita. Deduzione delle forme canoniche di Sylvester in opportune coordinate sullo spazio vettoriale. Deduzione delle rispettive segnature

FOGLIO 1 Esercizi (Prof. Flamini)

Settimana 2

(2 ore)-19 Marzo -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su algoritmi diagonalizzanti: algoritmo di Lagrange per determinare una base diagonalizzante una forma bilineare simmetrica b su uno spazio vettoriale reale V. Determinazione di una base di Sylvester e relative coordinate di Sylvester per la forma quadratica Q_b associata a b. Determinazione dell’equazione del cono isotropo nelle coordinate della base di Sylvester.

* Esercizio sui criteri di Jacobi-Sylvester per stabilire se una forma bilineare simmetrica definisce un prodotto scalare; procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt e calcolo di basi ortonormali di sottospazi; complemento ortogonale ad un sottospazio; calcolo di aree e di volumi

FOGLIO 2 Esercizi(Prof. Flamini)

Settimana 2

(2 ore)- 21 Marzo -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

Capitolo II – Paragrafo 19 “Spazi Euclidei” – Testo [Sernesi]

* Spazi euclidei IE^n e riferimenti cartesiani

* Distanza tra due punti e metrica

* Angolo convesso fra due rette affini. Rette ortogonali (o perpendicolari)

* Rette nel piano euclideo IE^2. Vettore (o versore) normale (o perpendicolare) ad una retta in IE^2

* Coseno dell’angolo convesso tra due rette in IE^2. Condizione di perpendicolarità tra due rette affini in IE^2

* Proiezione ortogonale di un punto su una retta

* Formula della distanza punto-retta e formula della distanza fra due rette parallele in IE^2

* Circonferenze in IE^2: equazioni cartesiana di una circonferenza

* Coordinate polari in IE^2: modulo ed anomalia

* Formule di passaggio da coordinate cartesiane a polari e viceversa

* Equazioni parametriche di circonferenze in IE^2

Settimana 4

(2 ore)- 2 Aprile -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su endomorfismi in spazi vettoriali euclidei (V, < ,>): operatori di proiezione ortogonale su un sottospazio ed operatori di simmetria ortogonale rispetto ad un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo; determinazione del loro rango, del loro nucleo e delle loro matrici rappresentative in basi < , >-ortonormali. Determinazione della forma bilineare simmetrica definita dalla composizione dei due operatori; deduzione della segnatura e della forma canonica di Sylvester della composizione dei due endomorfismi.

* Esercizio su formule di geometria euclidea nel piano euclideo IE^2 rette perpendicolari nel piano cartesiano; circonferenze in equazioni cartesiane e parametriche (coordinate polari); rette esterne e punti esterni ad una circonferenza; determinazione delle equazioni cartesiane delle due rette tangenti uscenti da un punto esterno ad una circonferenza.

FOGLIO 3 Esercizi (Prof. Flamini)

Settimana 5

(2 ore)- 9 Aprile -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su formule di geometria euclidea nello spazio euclideo IE^3 rette sghembe in IE^3 e loro distanza; proiezione ortogonale di una retta affne su un pin affine che non la contiene e che non è ad ea perpendicolare; equazioni cartesiane di circonferenze in un piano affine di IE^3; sfere in IE^3 e loro trasformate mediante riflessioni rispetto ad un piano affine; punti fissi della riflessione; distanza punto-piano.

FOGLIO 4 Esercizi (Prof. Flamini)

Settimana 6

(2 ore)- 16 Aprile – Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su operatori autoaggiunti in spazi euclidei (V, <>) (reali)

(i) spettro di un operatore autoaggiunto,

(ii) autospazi di un operatore autoaggiunto,

(iii) diagonalizzabilità in base < , >- ortonormale di operatori autoaggiunti,

(iv) un operatore T è autoaggiunto se e solo se in ciascuna base < , > - ortonormale E per spazio la matrice rappresentativa A:= M_E(T) di T è una matrice simmetrica: esempi e controesempi.

(v) Diagonalizzabilità di A per congruenza attraverso matrici ortogonali.

* Esercizi su operatori hermitiani in spazi hermitiani complessi (V, h) dove h forma hermitiana, definita positiva

(i) spettro di un operatore hermitiano,

(ii) autospazi di un operatore hermitiano,

(iii) diagonalizzabilità in base h-ortonormale di operatori hermitiani,

(iv) un operatore T è hermitiano se e solo se in ciascuna base h-ortonormale E per spazio la matrice rappresentativa A:= M_E(T) di T è una matrice hermitiana.

(v) Diagonalizzabilità di A per congruenza attraverso matrici unitarie.

FOGLIO 5 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 5 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana 7

(2 ore)- 23 Aprile - Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su spazi vettoriali duali

(i) basi duali,

(ii) annullatori di sottospazi,

(iii) rappresentazione di funzionali lineari su uno spazio vettoriale euclideo (V, <,>) attraverso il prodotto scalare

* Esercizi su spazi vettoriali quozienti

(i) sottospazi vettoriali U in spazi vettoriali V di polinomi in un’indeterminata, a coefficienti nel campo IR e di grado limitato,

(ii) dimensione e base dello spazio vettoriale quoziente V/U associato,

(iii) isomorfismi espliciti con IR^k,

(iv) sistemi liberi (o lineamente indipendenti) di classi in V/U; sistemi di classi linearmenti dipendenti in V/U

* Esercizi su spazi vettoriali quozienti con V= IR^3 spazio vettoriale euclideo con prodotto scalare standard:

(i) relazione indotta da un suo sottospazio vettoriale U;

(ii) descrizione delle operazioni di spazio vettoriale quoziente IR^3/U utilizzando gli spazi affini traslati di U

(iii) fattorizzazione attraverso il quoziente e la mappa di proiezione canonica p_U di un endomorfismo di IR^3

* Esercizi su operatori aggiunti di operatori dati in C^n (rispettivamente IR^n) con prodotto hermitiano (rispettivamente scalare) standard: se Z è una matrice hermitiana su C^n (risp. simmetrica su R^n) e se A è una qualsiasi matrice quadrata complessa (rsipettivamente reale) di ordine n, calcolo della matrice aggiunta (od operatore aggiunto) della matrice (od operatore) dato da Z – A Z

FOGLIO 6 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 6 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana 8

(2 ore)- 30 Aprile -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su forme canoniche di Jordan di endomorfismi su spazi vettoriali

(i) Spettro di un endomorfismo f ed esistenza di forma canonica di Jordan di f sul campo IK

(ii) Autospazi E_a(f) ed autospazi generalizzati V_a(f) di un endomorfismo f rispetto ad un autovalore a di f

(iii) Indice di nilpotenza dell’endomorfismo f-a Id quando si restringe all’autospazio generalizzato V_a(f) e deduzione della forma canonica di Jordan di f (a meno di permutazione dei blocchi di Jordan)

(iv) Basi cicliche o di stringhe degli autospazi generalizzati V_a(f)

(v) Basi di Jordan per f e relazione di coniugio

FOGLIO 7 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 7 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana 9

(2 ore)- 7 Maggio -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Modello geometrico per IP^1(IR): proiezione stereografica di una circonferenza in IE^2 su una retta;

(i) schermi affini di IP^1(IR) in A^2(IR);

(ii) carte affini di IP^1(IR);

(iii) IP^1(IR) come completamento di una retta affine reale

* Modello geometrico per IP^1(C): proiezione strereografica di una sfera (sfera di Riemann) in IE^3 su un piano coordinato;

(i) schermi affini di IP^1(C) in A^2(C);

(ii) carte affini di IP^1(C);

(iii) IP^1(C) come completamento di una retta affine complessa

* Modello geometrico per IP^n(IR) con n >1: relazione antipodale su ipersfera in IE^{n+1}

* Modello geometrico per IP^2( C )

FOGLIO 8 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 8 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana 10

(2 ore)-14 Maggio-Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Punti e rette in posizione generale in IP^2; formula di Grassmann proiettiva

* rette affini traccia in carte affini di rette proiettive, punti impropri di rette affini in date carte affini

* retta impropria di un piano affine in uno spazio affine e parallelismo con una retta per mezzo di elementi impropri

FOGLIO 9 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 9 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana 11

(2 ore)-22 Maggio– Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Proiezioni di centro un punto di IP^3(IR) su un piano sghembo in IP^3 ed interpretazione con le proiezioni canoniche di spazi vettoriali quozienti

* Dualità proiettiva:corrispondenza iperpiani-punti, stelle di rette e fasci di piani in IP^3

* Teorema fondamentale proiettività

* Proiettività ed affinità nella carta affine A^2_0

FOGLIO 10 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 10 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana 12

(2 ore)-28 Maggio-Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Coniche proiettive reali e complesse

* Tracce di coniche proiettive complesse nelle tre carte affini: conica affine a centro o parabola

* Tracce di coniche proiettive reali nelle tre carte affini: ellisse, iperbole o parabola

* Classificazione affine delle coniche affini dallo studio dei punti impropri

* Determinazione del centro di simmetria (o vertice) e di eventuali asintoti

FOGLIO 11 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 11 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana 13

(2 ore)-4 Giugno-Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Riduzione a forma canonica metrica delle coniche euclidee: isometria tra i due riferimenti

* Riduzione a forma canonica affine reale: affinità tra i due riferimenti

* Classificazione affine delle quadriche euclidee

* Coniche sezioni piane di quadriche affini

FOGLIO 12 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 12 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)