Di seguito gli studenti troveranno il diario delle
lezioni e materiale
didattico per il corso di Analisi Matematica I.
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Lezione del 26-09-2023 :Richiami di insiemistica.Insiemi prodotto.
Insiemi numerici (insieme dei numeri naturali, dei numeri interi,
dei numeri razionali). L'insieme dei razionali è un campo ordinato.
Rappresentazione dei razionali come allineamenti decimali limitati o
periodici propri. Proprietà di Archimede nei razionali e conseguenze.
Dimostrazione per assurdo.
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Diario delle lezioni:
Lezione del 27-09-2023: Rappresentazione geometrica dei razionali sulla retta, Proprietà di densità. dimostrazioni per assurdo:√2 non è razionale. Definizione dei numeri reali, maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme di numeri reali. Caratterizzazione di supA e di infA. Intervalli. Proprietà di completezza dei reali Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 28-09-2023:Generalità sulle funzioni: dominio, codominio,immagine, grafico, controimmagine, funzioni numeriche, funzioni iniettive, suriettive,esempi. Funzione inversa, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 29-09-2023:Generalità sulle funzioni: Composizione di funzioni, esempi. Funzioni monotone e legame tra monotonia e iniettività (esempi e controesempi). Funzione valore assoluto. Potenze ad esponente naturale. Esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 03-10-2023:Generalità sulle funzioni: potenze ad esponente intero, radici n-me, potenze ad esponente razionale ed irrazionale, funzioni esponenziali, monotonia di funzioni composte e relazione tra monotonia e operazioni algebriche con funzioni. Funzioni pari, dispari. Esempi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 04-10-2023:Generalità sulle funzioni: funzioni esponenziali e logaritmiche:proprietà. Disequazioni e applicazioni alla determinazione di domini di funzioni composte. Esercizi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 05-10-2023:Generalità sulle funzioni: funzioni periodiche, richiamo sulle funzioni trigonometriche e definizione delle funzioni arcsin(x), arccos(x), arctan(x). Esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 06-10-2023: Principio di induzione e applicazioni alla dis. di Bernoulli, al calcolo della somma dei primi n naturali, dei loro quadrati, progressione geometrica. Definizione di fattoriale, permutazioni, disposizioni e combinazioni di oggetti, coefficienti binomiali, formula del binomio di Newton (dim.utilizzando principio di induzione). Funzioni limitate. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 10-10-2023:Estremo superiore ed inferiore di una funzione su un sottoinsieme del dominio, massimo, minimo, definizione di successione, successioni limitate, proprietà definitivamente vere, successioni monotone e definitivamente monotone, esempi,Definizione di intorno di un punto La retta reale estesa ed intorni di più o meno infinito. Definizione di limite per una successione, esempi di dimostrazione di limiti. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione dell' 11-10-2023:Limiti di successioni: limite infinito per successioni, successioni che non ammettono limite, unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, successioni convergenti sono limitate ma il viceversa non è vero in generale. Algebra dei limiti, prime forme indeterminate. Teoremi di confronto e applicazione al calcolo di lim n!/n^n. Esempi, limite di n^\alpha e di a^n Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 12-10-2023:Limiti di successioni: Limiti per eccesso e per difetto,Forme indeterminate, conseguenza della disuguaglianza di Bernoulli: limite di a^{1/n}, soluzione di alcune forme indeterminate: lim(n^\alpha/a^n), lim (|log{n}|^alpha/n^beta). Criterio del rapporto per successioni (con dim.) applicazione al limite di n!/a^n. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (con dim.). Monotonia della successione (1+1/n)^n (dim.). Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 13-10-2023:Limiti di successioni: Limitatezza della successione (1+1/n)^n (dim.). Definizione del numero di Nepero e=lim(1+1/n)^n. ulteriori limiti notevoli, definizione di "o piccolo" ed "O grande" (infiniti di ordine inferiore, infinitesimi di ordine superiore), catena degli infiniti, esempi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 17-10-2023:Limiti di successioni:uleriori limiti notevoli, limiti notevoli di successioni trigonometriche definizione di ordine di infinito e di infinitesimo, esempi ed esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 18-10-2023:Limiti di successioni:Sottosuccessioni, ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente (Teorema di Bolzano-Weierstrass con dim.) esercizi su limiti di successioni, ordine di infinito/infinitesimo, esercizi sul corretto uso di "o piccolo" ed "O grande" Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 19-10-2023:Successioni fondamentali, Criterio di Cauchy (con dim.). Successioni definite per ricorrenza, esempi: algoritmo di Erone per approssimazione di radice quadrata. Esercizi su ordine di infinito/infinitesimo di successioni Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 20-10-2023:Elementi di topologia della retta: insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera, punti di accumulazione, punti isolati. Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizione nei vari casi, esempi. Teorema ponte (con dim.) e applicazione per la determinazione di alcuni limiti notevoli per funzioni. Scala degli infiniti.Esempi di funzioni che non ammettono limite (utilizzando teorema ponte). Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 23-10-2023 (recupero della lezione del 27/10 che non avrà luogo):Limiti di funzioni reali di variabile reale: unicità del limite per funzioni, permanenza del segno. Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto. Proprietà dei limiti, teoremi di confronto. Limiti di funzioni composte (con dim.). esempi e controesempi. esistenza di limite destro e sinistro per funzioni monotone (con dim.) , esempi, Definizione di continuità in un punto, continuità delle funzioni composte, permanenza del segno per funzioni continue, continuità delle funzioni elementari, definizione di seno iperbolico e coseno iperbolico. Infinitesimi e infiniti di ordine superiore o inferiore per x che tende a x_0. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 24-10-2023:ordine di infinito e infinitesimo di funzioni rispetto ad un infinito o infinitesimo campione per x che tende a x_0, esempi,esercizi. Classificazione dei punti di discontinuità di una funzione, esempi. Esercizi sui limiti. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 25-10-2023:Discontinuità di funzioni monotone su intervalli (dim.).Definizione di asintoto verticale, orizzontale, obliquo. esempi. Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue su intervalli (dim.). Operazioni con le funzioni: grafico di |f(x)|, f(|x|), f(x+c), f(x)+c, f(cx), cf(x).Esercizi su asintoti. Esercizi su limiti di funzioni, ordine di infinito e infinitesimo. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 26-10-2023: Conseguenze del teorema degli zeri:Teorema dei valori intermedi (con dim.), monotonia e invertibilità (funzioni continue su intervalli sono iniettive se e solo se sono strettamente monotone (con dim.)).Continuità della funzione inversa di una funzione continua su un intervallo (con dim.), insiemi compatti, continuità della funzione inversa di una funzione continua su un compatto (senza dim.); Teorema di Weierstrass (con dim.) con esempi e controesempi. Esercizi su dominio e asintoti di funzioni, esercizi su limiti. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 27-10-2023: Non c'è lezione (recupero effettuato il 23/10/23)
Lezione del 31-10-2023:Esercizi su funzioni continue. Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: definizione di derivata, retta tangente ed equivalenza tra esistenza di retta tangente non verticale al grafico di f in un punto e derivabilità di f. Una funzione derivabile in un punto è continua nello stesso punto ma il viceversa non è vero (dim.); punti del grafico a tangente verticale; derivata destra e sinistra, derivate di funzioni elementari: x^a, radice di x, sinx, cosx. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 02-11-2023:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: punti angolosi, cuspidi; derivata di funzioni elementari:e^x,logx,, algebra delle derivate (derivata della somma, del prodotto di funzioni (dim.), del quoziente di funzioni(dim.)) derivata della funzione composta (dim.), esempi. Derivata della funzione inversa (dim) e applicazione al calcolo della derivata di arcsin(x), arcos(x),arctan(x); definizione di estremo relativo, Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 03-11-2023:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: definizione di punto critico, teorema di Fermat (sui punti critici) (dim.), teorema di Rolle(dim.) e del valor medio di Lagrange (dim), esempi e controesempi. Conseguenze del teorema di Lagrange: monotonia e segno della derivata; le funzioni con derivata prima nulla in un intervallo sono costanti ma se il dominio non è un intervallo può non essere vero. Studio della natura dei punti critici.Teorema di Cauchy (con dim.), esempi di funzioni derivabili ma con derivata non continua Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 07-11-2023:Non ha avuto luogo causa indisposizione della docente (verrà recuperata lunedi 20/11 ore 09:30 aula A2)
Lezione dell'08-11-2023:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Conseguenze del teorema del valor medio: La derivata di una funzione derivabile non può avere discontinuità di salto.Disuguaglianze notevoli: e^x>=x+1;, log(1+x)≤ x, |sin x|≤ |x|, |arctan x|≤ |x|. Funzioni costanti in un intervallo: arctanx+arctan(1/x) in (-\infty,0) ed in (0,+\infty); comportamento di funzioni derivabili f, g in un intervallo vhe si toccano in un punto e la cui derivata verifica f'>=g' etc Esercizi su continuità e derivabilità, esercizi su massimi e minimi assoluti e relativi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 09-11-2023:Funzioni uniformemente continue: definizione, esempi, controesempi. Teorema di Heine Cantor (dim.), funzioni Lipschitziane: definizione, esempi: |x|,x^2 sui limitati, sin(x), arctan (x),√x in [1,+\infty). Funzioni Holderiane: definizione, √x è Holderiana nel suo dominio e dunque uniformemente continua in [0,+\infty).Esercizi su continuità, derivabilità. Limiti. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 10-11-2023: Funzioni convesse e concave, proprietà, esempi, significato geometrico, continuità delle funzioni convesse, caratterizzazione della convessità (concavità) con la derivata prima e con la derivata seconda. Funzioni convesse derivabili e proprietà, definizione di punto di flesso. Studio del grafico di una funzione: determinazione del dominio naturale, eventuali simmetrie, periodicità, ricerca degli asintoti orizzontali, verticali e obliqui, intervalli di monotonia, ricerca di estremi locali e assoluti, intervalli di concavità e convessità, ricerca dei punti di flesso. Esercizio sullo studio del grafico di una funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 14-11-2023: Esercizi sullo studio del grafico di funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 16-11-2023:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:funzioni C^n(a,b), funzioni C^\infty (a,b), introduzione al polinomio di Taylor: definizione, esempi, polinomi di McLaurin, polinomi di McLaurin di e^x, sin(x), cos(x)) Enunciato del teorema di Peano e applicazioni:polinomio di McLaurin di e^(x^2), di e^(2x+3). Pol. di Taylor di 1/(1+x) centrato in 1. Applicazione al calcolo di limiti. Applicazione dello sviluppo di Taylor per la determinazione dell'ordine di infinitesimo di funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 17-11-2023:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Polinomio di Taylor:Polinomi di McLaurin di (1+x)^alpha con alpha reale;di 1/(1-x),1/(1+x) 1/(1+x^2);relazione tra pol. di Taylor di una funzione e della sua derivata e applicazione al calcolo del pol. di McLaurin di arctan(x), log(1+x).Natura dei punti critici mediante lo studio del segno delle derivate successive alla prima nel punto stesso, esempi x^4, x^3. Polinomio di McLaurin di ordine 6 di 1/√(1-x^2), di arcsin x e di tgx. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 20-11-2023:(recupero lezione del 07-11-23) Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Teorema di De L'Hopital e applicazioni, esempi e controesempi di applicazione, dim del teorema di de l'Hopital nel caso di funzioni infinitesime. Dimostrazione dello sviluppo di Taylor con resto di Peano. Come applicare gli svuluppi di Taylor o teorema di de l'Hopital a limiti di successioni. Esercizi su applicazione di sviluppi di Taylor e limiti di successioni. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 21-11-2023: Esercizi su studio del grafico di funzioni, polinomi di Taylor, limiti di funzioni e di successioni. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 22-11-2023: Polinomio di Taylor con resto di Lagrange, applicazione al calcolo di e^(1/2) con un errore inferiore a 10^(-6) e di √10, con errore inferiore a 10^-6. Esercizi su limiti di funzioni e studio del grafico di funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 23-11-2023:Funzioni iperboliche:definizione e proprietà, derivate, monotonia convessità/concavità, grafico, polinomio di Mc Laurin, inverse delle funzioni iperboliche: definizione di settsinhx, settcoshx e loro derivate. Esercizi su continuità, derivabilità, invertibilità. Limiti di funzioni e successioni, studio del grafico. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 24-11-2023:Esercizi su limiti con Taylor e cambiamento di variabile, polinomi di Taylor, ordini di infinitesimo/infinito. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 28-11-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Definizione di partizione (o decomposizione) di un intervallo, somme superiori e somme inferiori per una funzione limitata, andamento delle somme superiori e inferiori rispetto al raffinamento di partizioni (dim). Definizione di funzione integrabile secondo Riemann, esempio di funzione non integrabile (la funzione di Dirichlet).Proprietà dell'integrale di Riemann: significato geometrico, additività, linearità. Partizioni equispaziate, Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza dell'integrale di Riemann (con dim.) Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 29-11-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Integrabilità di funzioni monotone (dim.), integrabilità di funzioni continue (dim.), e di funzioni limitate con un numero finito di punti di discontinuità, teorema della media integrale (dim.). Definizione di funzione integrale, proprietà delle funzioni integrali di funzioni integrabili (Lipschitzianità (dim.)). Derivabilità delle funzioni integrali nei punti di continuità della funzione integranda (primo teorema fondamentale del calcolo integrale con dim.). Definizione di primitiva, proprietà,insieme delle primitive (integrale indefinito). Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 30-11-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:II teorema fondamentale del calcolo integrale (Calcolo dell'integrale definito) (dim.).Metodo di integrazione per parti, esempi. Formula di integrazione per sostituzione.Esempi ed esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 01-12-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (discussione completa se il denominatore è un polinomio di secondo grado). Esempi di calcolo di integrali con i tre metodi di sostituzione, parti e fratti semplici, formule ricorsive per il calcolo di integrale di (sin x)^m.Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (con denominatore polinomio di grado n). Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 05-12-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Formule ricorsive per calcolo dell'integrale di 1/(x^2+1)^m, decomposizione di Hermite per il calcolo di integrali di funzioni razionali con radici doppie del denominatore. Esempi. Integrali di funzioni del tipo: cos(ax)sin(bx), cos(ax)cos(bx), sin(ax)sin(bx). Integrazione di funzioni razionali negli argomenti sin(x), cos(x) (sostituzione t=tg(x/2)).Metodi di calcolo dei coefficienti dei fratti nel caso di radici reali singole o doppie Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 06-12-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Alcune sostituzioni speciali per il calcolo di integrali con radici con particolare riguardo agli integrali di √(a^2-x^2), √(x^2+a^2), √(x^2-a^2), calcolo dell' area dell'ellisse. Definizione di integrale improprio per funzioni non limitate su intervalli limitati. Integrabilità in senso improprio in (0,1) delle funzioni di tipo potenza ad esponente reale, Esercizi su integrali. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 07-12-2023: Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Definizione di integrale improprio per funzioni su intervalli non limitati. Integrabilità in senso improprio delle funzioni di tipo potenza ad esponente reale, (in intervalli illimitati), teorema del confronto per funzioni definitivamente non negative, esempi. Criterio del confronto asintotico. Integrabilità di 1/x(|logx|)^beta e di 1/x^alpha(|logx|)^beta all'infinito.Esempi ed esercizi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 12-12-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: assoluta integrabilità in senso improprio, esempio di funzione integrabile in senso improprio ma non assolutamente integrabile. Integrabilità di 1/x^a(|logx|)^beta vicino a zero. Esercizi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 13-12-2023:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:integrabilità all'infinito di funzioni tipo f(x)cos(x) o f(x)sin(x) con f non negativa, definitivamente decrescente all'infinito ed infinitesima all'infinito. Derivate di funzioni composte con funzioni integrali, limiti (usando de L'Hopital), ordini di infinito/infinitesimo di funzioni integrali, polinomi di Mac Laurin, esercizi di riepilogo su integrali impropri. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 14-12-2023:Esercizi di riepilogo su integrali e integrali impropri.Equazioni differenziali ordinarie: generalità, esempi: caduta di un grave nel vuoto, nell'aria, modello di Malthus e di Verhoulst. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 15-12-2023:Esercizi di riepilogo su integrali impropri.Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine: Struttura dell'integrale generale (dim.)(integrale generale dell'equazione omogenea, integrale particolare dell'equazione completa:metodo di variazione delle costanti). Esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy associato. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 19-12-2023:Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili, problema di Cauchy associato: Teorema di esistenza e unicità locale della soluzione del problema di Cauchy associato (senza dim.). Intervallo massimale di esistenza della soluzione. Esempi ed esercizi. Non unicità di soluzione per y'(t)=3/2 y^{1/3}(t); y(0)=0 Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 20-12-2023:Numeri complessi: definizione, forma cartesiana, somma e prodotto. Significato geometrico della somma, definizione di coniugato, modulo, argomento di un numero complesso, forma polare, significato geometrico del prodotto, definizione di esponenziale e^{it} e sua periodicità, definizione di quoziente, espressione di un numero complesso sia in forma cartesiana che polare (esempi di deduzione di una forma dall'altra), potenza intera di numero complesso e rappresentazione geometrica. esempi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 21-12-2023:Numeri complessi: disuguaglianza triangolare, formula di De Moivre, espressione di sinx.cos x in termini di e^{ix} e di e^{-ix}, esponenziale complesso e^z definizione e prime proprietà, radici n-me di un numero complesso, interpretazione geometrica delle radici n-me dell'unità, esempi ed esercizi, radici di polinomio del secondo ordine a coefficienti complessi: formula risolutiva ed esempi di calcolo. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 22-12-2023:Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim). Fattorizzazione di polinomi in campo complesso e deduzione della fattorizzazione di polinomi a coefficienti reali. Risoluzione di equazioni in campo complesso. Esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 09-01-2024:Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: Integrale generale dell'equazione omogenea; struttura dell'integrale generale dell'equazione completa, metodo di somiglianza per determinare la soluzione particolare dell'equazione completa con termine forzante:polinomio, esponenziale, polinomio per esponenziale. Problema di Cauchy associato. Esempi, esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 10-01-2024:Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: metodo di somiglianza per determinare la soluzione particolare dell'equazione completa con termine forzante: funzioni trigonometriche, polinomio per esponenziale per funzioni trigonometriche, somma di funzioni di questo tipo. Il moto armonico: oscillazioni libere, smorzate, forzate:fenomeno di risonanza. Esempi ed esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione dell' 11-01-2024:Esercizi di riepilogo su integrali impropri ed equazioni differenziali. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 12-01-2024:Esercizi di riepilogo su equazioni differenziali. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 16-01-2024:Esercizi di riepilogo su tutto il programma. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 17-01-2024:Esercizi di riepilogo su tutto il programma. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 18-01-2024:Esercizi di riepilogo su tutto il programma. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
Lezione del 19-01-2024:Esercizi di riepilogo su tutto il programma. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.
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