Analisi Matematica 2

Nr.	Giorno	Argomento
--	Lu 5/3/18	Sospensione di tutte le attivita' didattiche deliberata dal Senato Accademico per consentire agli studenti dell'Ateneo di esercitare il diritto di voto in occasione delle elezioni politiche nazionali del 4 marzo 2018.
L01	Me 7/3/18	Descrizione del corso. Definizioni di insieme convesso e di funzione convessa in un intervallo con esempi. La convessita' come la crescenza del rapporto incrementale x->R_f(x_0,x). Ogni funzioni convessa in un intervallo e' continua e ammette derivata destra e sinistra nei punti interni di tale intervallo. Criteri di convessita': f' crescente, f'' non negativa.
L02	Ve 9/3/18	Una funzioni derivabile in un intervallo e' convessa se e solo se il grafico di f sta sopra le sue rette tangenti. Un punto di minimo relativo di una funzione convessa e' anche un punto di minimo assoluto. Disuguaglianza della media aritmetica e della media geometrica. Definizione di punto di flesso. Un esempio di studio della convessita'-concavita'. Definizione di polinomio di Taylor. Formule dei polinomi di Taylor in 0 di exp(x), ln(1+x), sin(x), cos(x), (1+x)^a. Formula di Taylor con il resto di Peano.
L03	Lu 12/3/18	Formula di Taylor con il resto di Lagrange. Per ogni x, la successione dei polinomi di Taylor di exp(x) di ordine n tende a exp(x). Irrazionalita' del numero di Nepero e. Calcolo di un limite con i polinomi di Taylor e l'uso dell'o-piccolo. Definizioni di uniforme continuita' e Lipschitzianita'. Condizioni sufficienti per l'uniforme continuita': Lipschitzianita', limitatezza della derivata.
L04	Me 14/3/18	Pi-Day: calcolo del limite della successione n\|sin(pi n! e)\|. Teorema di Heine-Cantor. Teorema di estensione per continuita' delle funzioni uniformemente continue. Una funzione continua in [a,+infinito) con asintoto lineare a +infinito e' uniformemente continua in [a,+infinito).
T01	Me 14/3/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L05	Ve 16/3/18	Una funzione uniformemente continua in due intervalli I e J con intersezione non vuota e' uniformemente continua sull'unione di I e J. Studio dell'uniforme continuita' per la funzione x^a. Una funzione uniformemente continua in [a,+infinito) ha crescita al piu' lineare.
L06	Lu 19/3/18	Studio dell'uniforme continuita' per le funzioni x^asin(1/x^b) e sin(x^2). Introduzione al calcolo integrale. Metodo di esaustione per il calcolo dell'area del cerchio e dell'area di un segmento parabolico.
L07	Me 21/3/18	Definizione di funzione integrabile (secondo Riemann-Darboux con somme superiori e inferiori) e di integrale definito. La funzione di Dirichlet non e' integrabile in [a,b]. Criterio di integrabilita'. Le funzioni monotone in [a,b] sono integrabili in [a,b]. Le funzioni continue in [a,b] sono integrabili in [a,b].
T02	Me 21/3/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L08	Ve 23/3/18	Proprieta' delle funzioni integrabili: linearita', monotonia, il valore assoluto di un integrale e' minore o uguale dell'integrale del valore assoluto. Definizioni di integrale indefinito, funzione integrale e primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di alcune funzioni elementari. Tecniche di integrazione: integrazione per sostituzione e integrazione per parti.
L09	Lu 26/3/18	Vari esempi di calcolo di una primitiva mediante l'integrazione per sostituzione e l'integrazione per parti. Se una funzione e' integrabile in [a,b] e (sigma_n) e' una successione di suddivisioni di [a,b] tali che \|sigma_n\| tende a zero allora le corrispondenti somme di Riemann tendono all'integrale di f in [a,b].
L10	Me 28/3/18	Decomposizione di una funzione razionale. Algoritmo per l'integrazione delle funzioni razionali con esempi svolti.
T03	Me 28/3/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L11	Ve 30/3/18	Teorema della media integrale. Se una funzione e' limitata in [a,b] ed e' integrabile in [c,b] per ogni c in (a,b) allora e' integrabile in [a,b]. Le funzioni limitate e continue a tratti in [a,b] sono integrabili. Se due funzioni sono integrabili in [a,b] e coincidono a meno di un numero finito di punti allora hanno lo stesso integrale. Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Altri esempi svolti di integrali indefiniti.
--	Lu 2/4/18	Lunedi' dell'Angelo.
L12	Me 4/4/18	Alcuni esempi svolti di integrali definiti. L'integrale di (sin(x))^n in [0,pi] e il prodotto di Wallis. Studio asintotico del fattoriale: la formula di Stirling.
L13	Ve 6/4/18	Definizione di integrale improprio su intervalli non limitati e su intervalli limitati per funzioni non limitate. Teorema del confronto. Integrali impropri delle funzioni 1/(x^a\|ln(x)\|^b).
L14	Lu 9/4/18	Nozione di funzioni asintoticamente equivalenti. Teorema del confronto asintotico con esempi. L' integrabilita' assoluta implica l'integrabilita' semplice.
L15	Me 11/4/18	Qualche esempio di studio dell'integrabilita'. La funzione sin(x)/x e' integrabile, ma non assolutamente integrabile, in senso improprio in (0,+infinito). L' integrale di Gauss: l'integrale di exp(-x^2) in R vale sqrt(Pi) (via prodotto di Wallis).
T04	Me 11/4/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L16	Ve 13/4/18	Le serie numeriche: definizioni, esempi elementari, prime proprieta'. Le serie telescopiche e la serie geometrica. Un'applicazione della formula della somma della serie geometrica: ogni numero decimale periodico e' un numero razionale. Criteri di convergenza per serie a termini non negativi (prima parte): del confronto e del confronto asintotico. Condizione necessaria per la convergenza: se una serie e' convergente allora il suo termine generico tende a zero. Esempio di una funzione il cui integrale improprio in [0,+infinito) e' convergente, ma tale che non tende a zero all'infinito.
L17	Lu 16/4/18	Criteri di convergenza per serie a termini non negativi (seconda parte): dell'integrale, della radice n-esima e del rapporto. Definizione e prime proprieta' del limite superiore e limite inferiore. Alcuni esempi svolti di studio della convergenza di serie a termini non negativi.
L18	Me 18/4/18	Criteri di convergenza per serie a termini di segno qualunque (prima parte): dell'assoluta convergenza, di Leibniz e di Dirichlet. La somma parziale di sen(n) e' limitata.
T05	Me 18/4/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L19	Ve 20/4/18	La convergenza assoluta implica la convergenza di ogni riordinamento alla stessa somma. Cenno al teorema di Riemann sul riordino delle serie non assolutamente convergenti. Studio asintotico dei numeri armonici: H_N=ln(N)+ gamma +o(1). Discussione di un esempio esplicito di riordinamento di una serie: 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7+...->ln(2) e 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+...->3ln(2)/2.
L20	Lu 23/4/18	Vari esempi di studio di convergenza di serie. La serie dei reciproci dei numeri primi diverge
--	Me 25/4/18	Anniversario della Liberazione
L21	Gi 26/4/18	(11-13 in aula 17) Definizioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme per una successione di funzioni con esempi. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale ma non viceversa. Se una successione di funzioni continue f_n converge uniformente in A ad una funzione f allora f e' continua in A. Se una successione di funzioni integrabili f_n converge uniformente in [a,b] ad una funzione f allora f e' integrabile in [a,b] e il limite dell'integrale di f_n in [a,b] e' uguale all'integrale di f in [a,b].
L22	Ve 27/4/18	(11-13 in aula G2A) Vari esempi di studio della convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Alcuni esempi svolti di limiti di successioni di integrali.
L23	Lu 30/4/18	Altri esempi svolti di limiti di successioni di integrali quando l'intervallo di integrazione e' non limitato.
L24	Me 2/5/18	Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Risoluzione di y'(x)=x-y(x) con il metodo grafico (isocline) e analitico. Equazioni differenziali lineari del primo ordine : fattore integrante, soluzione generale, esistenza e unicita' del problema di Cauchy, alcuni esempi svolti.
T06	Me 2/5/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L25	Ve 4/5/18	Esempio di equazione differenziale non-lineare riducibile a lineare: l' equazione differenziale di Bernoulli. Struttura delle soluzioni di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Wronskiano e indipendenza lineare di un insieme di funzioni. Le soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti di ordine 2 formano uno spazio vettoriale di dimensione 2.
L26	Lu 7/5/18	Cenno all' esponenziale di una matrice. Due esempi di calcolo di exp(At) in dimensione 2 (diagonalizzabile e non). Un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine 2 e' equivalente ad un sistema di equazioni differenziali omogenee del primo ordine X'(t)=AX(t) la cui soluzione si scrive come X(t)=exp(At)X(0). Determinazione di una soluzione particolare di una equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti di ordine 2 con il metodo delle variazioni delle costanti e con il metodo della somiglianza.
L27	Me 9/5/18	Equazione differenziale lineari di ordine n a coefficienti costanti: la soluzione generale e' la somma della soluzione omogenea (combinazione lineare di n funzioni linearmente indipendenti) e della soluzione particolare (formula esplicita ottenuta con il metodo della variazione delle costanti). Un sistema di n equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti si riduce allo studio di un'equazione differenziale lineare di ordine n a coefficienti costanti. Cenno alle ricorsioni lineari omogenee con un esempio del secondo ordine, i numeri di Fibonacci.
T07	Me 9/5/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L28	Ve 11/5/18	Un esempio svolto di sistema di 2 equazioni differenziali lineari del primo ordine. Risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili y'(x)=a(x)b(y(x)) (NON-lineari). Esempi svolti con discussione grafica delle soluzioni e del loro intervallo di esistenza al variare del punto iniziale.
L29	Lu 14/5/18	Esempio di un problema di Cauchy per un' equazione differenziale a variabili separabili con infinite soluzioni. Se b(y) e' lipschitziana in un intorno di y_0 allora il problema di Cauchy y'(x)=a(x)b(y(x)) con y(x_0)=y_0 ha un'unica soluzione locale. Altri esempi svolti con discussione grafica delle soluzioni. L' equazione differenziale logistica ( dinamica delle popolazioni).
L30	Me 16/5/18	Esempi svolti di equazioni differenziali tratti dalla fisica: l' oscillatore armonico forzato e il fenomeno della risonanza, la caduta libera-frenata, il tempo di svuotamento di un serbatoio, legge di raffreddamento-riscaldamento.
T08	Me 16/5/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L31	Ve 18/5/18	Definizioni di distanza e spazio metrico con esempi. Definizioni di norma e spazio vettoriale normato con esempi. Ogni spazio metrico e' uno spazio topologico: definizione di insieme aperto, di insieme chiuso, di frontiera di un insieme e di successione convergente. Ogni spazio normato e' metrico. La norma p in R^N e forma delle palle unitarie. Spazi vettoriali con prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
L32	Lu 21/5/18	Definizione di insieme compatto (per successioni). Teorema di Weierstrass (nel caso di uno spazio metrico): ogni funzione reale e continua su un compatto ammette massimo e minimo. Teorema di Heine-Borel: in R^N, rispetto alla norma 2 (euclidea), un insieme e' compatto se e solo se e' un insieme chiuso e limitato. In C([0,1]) con la norma della convergenza uniforme, la palla unitaria chiusa non e' compatta. Cenno al fatto che in R^N tutte le norme inducono la stessa topologia.
L33	Me 23/5/18	Definizioni di successione di Cauchy e di spazio metrico completo. Ogni successione convergente e' di Cauchy. R^N con qualunque norma e C([a,b]) con la norma uniforme sono spazi completi (sono spazi di Banach).
T09	Me 23/5/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L34	Ve 25/5/18	Il teorema delle contrazioni o di punto fisso di Banach- Caccioppoli. Un metodo per approssimare la radice quadrata (positiva di un numero reale positivo). Cenno al teorema di esistenza e unicita' per un problema di Cauchy del primo ordine.
L35	Lu 28/5/18	Pi greco e' irrazionale : lettura della dimostrazione di Ivan Niven - A simple proof that Pi is irrational, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509 .
L36	Me 30/5/18	Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
T10	Me 30/5/18	Tutorato - Problemi: Soluzioni:
L37	Ve 1/6/18	Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
L38	Lu 4/6/18	Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
L39	Me 6/6/18	Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.
--	Me 6/6/18	Incontro con il tutore
L40	Ve 8/6/18	Qualche esercizio di riepilogo tratto dalle prove d'esame degli anni precedenti.

Lunedi'	Mercoledi'	Mercoledi'	Venerdi'
11-13	11-13	14-16	11-13
Aula 5 (ed. PP2)	Aula 5 (ed. PP2)	Aula 5 (ed. PP2)	Aula 5 (ed. PP2)
Lezione (Tauraso)	Lezione (Tauraso)	Tutorato (D'Addezio)	Lezione (Tauraso)