Università di Roma “Tor Vergata”

Dipartimento di Matematica

Algebra 1

Docente: Prof. René Schoof          Tutore: Prof. Laura Geatti

Corso chiuso

Esami

• Mercoledì 27 novembre 2019: primo esonero, compito corretto.
• Martedì 28 gennaio 2020: secondo esonero, compito corretto.
• Martedì 28 gennaio 2020: primo appello, compito corretto.
• Martedì 11 febbraio 2020: secondo appello, compito corretto.
• Lunedì 15 giugno 2020: terzo appello, compito corretto.
• Lunedì 13 Luglio 2020: quarto appello, compito corretto.
• Lunedì 8 settembre 2020: quinto appello, compito corretto.
• Lunedì 23 settembre 2020: sesto appello, compito corretto.

Programma

• Insiemi
  • Insiemi in Wikipedia.
  • Funzioni iniettive, suriettive e biiettive.
  • Insiemi numerabili.
  • Relazioni.
  • Relazioni di equivalenza.
  • I numeri interi.
  • I numeri razionali.
  • I numeri reali.
  • I numeri complessi.
• Teoria dei numeri
  • Teoria dei numeri in Wikipedia.
  • Massimo comun divisore in Wikipedia.
  • Algoritmo (esteso) di Euclide.
  • Identità di Bézout.
  • Modular arithmetic.
  • Teorema cinese del resto.
  • La funzione φ di Euler.
  • Radici primitive modulo p (tabella).
  • Somme di due quadrati.
  • Somme di quattro quadrati (pdf).
• Gruppi
  • Gruppi in Wikipedia.
  • Omomorfismi di gruppi.
  • Automorfismi di gruppi.
  • Ordine di un elemento di un gruppo.
  • Prodotto (diretto) di gruppi.
  • Centro e sottogruppo dei commutatori.
  • Classi laterali in Wikipedia.
  • Il gruppo quoziente. Math Doctor Bob explains.
  • Il gruppo circolare.
  • Il gruppo di Klein.
  • I gruppi Z_n^*.
  • Il gruppo diedrale D_n.
  • Il gruppo simmetrico S_n.
  • Il gruppo alterno o alternante A_n.
  • Teorema di Lagrange.
  • Teoremi di Euler e di Fermat.
  • Il gruppo dei quaternioni Q₄.
• Anelli
  • Anelli in Wikipedia.
  • Campi in Wikipedia.
  • Omomorfismi di anelli.
  • Anelli di polinomi.
  • Anelli di matrici.
  • Domini e divisori dello zero.
  • Campo delle frazioni.
  • Ideali.
  • L'anello quoziente.
  • L'anello degli interi di Gauss.
  • Domini euclidei.
  • Domini ad ideali principali (PID).
  • Un PID non euclideo.
  • Il corpo dei quaternioni di Hamilton.

Materiale

• Artin, M. : Abstract Algebra, 2nd ed, Addison-Wesley, 2010.
• Dummit, D. and Foote, R.: Abstract Algebra, 3rd ed, 2003.
• Schoof, R. and Van Geemen, B.: Dispense di Algebra, Pavia 2001.
• Diario.

Esercizi

• 2 ottobre 2019: Foglio 1.
• 9 ottobre 2019: Foglio 2.
• 16 ottobre 2019: Foglio 3.
• 23 ottobre 2019: Foglio 4.
• 31 ottobre 2019: Foglio 5.
• 6 novembre 2019: Foglio 6.
• 13 novembre 2019: Foglio 7.
• 20 novembre 2019: Foglio 8.
• 30 novembre 2019: Foglio 9.
• 4 dicembre 2019: Foglio 10.
• 11 dicembre 2019: Foglio 11.
• 24 dicembre 2019: Foglio 12.
• 1 gennaio 2020: Foglio 13.
• 1 gennaio 2020: Foglio 14. (ultimo foglio)

Ulteriori

• Il forum www.matematicamente.it.
• Il forum math.stackexchange.com.
• Georg Cantor.
• Dimostrazione del Teorema di Cantor-Bernstein-Schröder.
• Fattorizzare numeri online.
• La sfera magica.
• Numeri di Mersenne
• Il quinto numero di Fermat F₅ è divisibile per 641: dimostratio. (Euler, Leonhard: Theoremata circa divisores numerorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1 (1747/48), 1750, pp. 20-48. Available online at EulerArchive.org).
• GIMPS: cercare numeri primi grandi.
• Sam Loyd's 15 puzzle.
• Quaternioni: il ponte di Brougham e le animazioni di Tomb Raider.
• Il CRT-clock di Antonella Perucca.
• Espansione decimale di 1/n.
• Il gruppo di Rubik.
• Pagine web su RSA, fattorizzazione e primalità.
• Record (2019).
• GIMPS: cercare numeri primi grandi.