Laurea Triennale in Matematica
a.a. 2019-2020
semestre 1.
Diario delle lezioni di Algebra

LINEE GUIDA PER L'ESAME

Il compito scritto verte sul programma svolto in classe durante il corso: teoria ed esercizi, come specificato nel programma dettagliato qui sotto.
Il compito consiste in un certo numero di esercizi. Possono essere richieste anche definizioni e semplici dimostrazioni.
Lo svolgimento degli esercizi deve contenere spiegazioni CHIARE, SINTETICHE, e COMPLETE: non sara' dato punteggio a risposte non motivate, anche se corrette.





PRIMA SETTIMANA :


• (30/9/19) Insiemi, P(A) l'insieme delle parti di A. Se #A = n allora #P(A) = 2ⁿ.
  Applicazioni (=mappe=funzioni) fra insiemi. Se #A=n, e #B = m, allora #Map(A,B) = mⁿ.
  
• (1/10) Mappe iniettive, suriettive, biietive.
  Se f:A --> B e' iniettiva, suriettiva, biettiva, allora #A ≤ #B, #A ≥ #B, #A=#B, rispettivamente.
  #{mappe iniettive A --> B} = m(m-1)(m-2)...(m-(n-1)) = m!/(m-n)!
  # {mappe suriettive} e' difficile (numeri di Stirling del secondo tipo).
  #{biezioni} = 0 se n < m oppure n>m, ed e' uguale n! se n=m.
  
• (2/10) Funzioni: dominio, codiminio, immagine, controimmagine.
  Esistenza inversa se f e' biiettiva. Cardinalita': metodo diagonale di Cantor. #P(A) > #A .
  Menzionato Cantor-Bernstein Schroeder e #P(N) = #R
• (4/10) Divisone con resto. Relazione di equivalenza, partizioni. Z_n.
  
SECONDA SETTIMANA :

• (7/10) Esercizi.
• (8/10) p primo: p divide ab ==> p divide a oppure p divide b.
  Unicita' della decomposizione in fattori primi.
  L'algoritmo euclideo (esteso) e la sua complessita'.
  Numeri scritti in basi diverse: 10, 2, 16... Conversione da una base all'altra.
  
• (9/10) La prova del 9.
  Gruppi. Esempi di gruppi additivi: Z, Q, R, C, Z_n, spazi vettoriali.
  Esempi di gruppi moltiplicativi: {1,-1}, Q^*, R^*.
• (11/10) C^*, gruppo simmetrico, gruppo diedrale.
  
TERZA SETTIMANA :

• (14/10) Esercizi.
• (15/10) Gruppo diedrale.
• (16/10) Sottogruppi.
• (18/10) Gruppi simmetrici, cicli, moltiplicare cicli.
  
QUARTA SETTIMANA :

• (21/10) Esercizi.
• (22/10) Omomorfismi, immagine, nucleo.
• (23/10) Coniugio. Isomorfismi, gruppo ciclico = Z oppure Z _n.
• (25/10) Gruppi di cardinalita' < 5.
  
QUINTA SETTIMANA :

• (28/10) Esercizi.
• (29/10) Teorema cinese del resto.
• (30/10) Funzione φ di Eulero.
• (1/11) FESTA
  
SESTA SETTIMANA :

• (4/11) Formula di Gauss. Numeri di Mersenne e di Fermat. Numeri della forma n²+1 e i loro divisori primi.
• (5/11) Esercizi.
• (6/11) Quozienti di gruppi abeliani e classi laterali.
• (8/11) Sottogruppi normali. Quozienti di gruppi arbitrari e classi laterali. #G = #H*#G/H
  
SETTIMA SETTIMANA :

• (11/11) Esercizi.
• (12/11) Centro di un gruppo, commutatori.
• (13/11) Il gruppo delle permutazioni S_n.
• (15/11) Teorema di isomorfismo/omomorfismo.
  
OTTAVA SETTIMANA :

• (18/11) Esercizi.
• (19/11) Anelli.
• (20/11) Omomorfismi di anelli.
• (22/11) Quaternioni.
  
NONA SETTIMANA :

• (2/12) Esercizi.
• (3/12) Divisori di zero. Domini di integrita'. Polinomi. Grado di un polinomio. Il numero degli zeri e' minore uguale del grado.
• (4/12) Ciclicita' del gruppo Z_p^* (per p primo).
• (6/12) Ideali di un anello.
  
DECIMA SETTIMANA :

• (9/12) Esercizi.
• (10/12) Teorema di omomorfismo/isomorfismo per anelli.
• (11/12) Teorema cinese del resto.
• (13/12) Conseguenze.
  
UNDICESIMA SETTIMANA :

• (16/12) Anelli quozienti.
• (17/12) Quozienti di anelli per passi successivi.
• (18/12) Esercizi.
• (20/12) Polinomi simmetrici.