Inizio del corso: 25 settembre
Fine del corso: 20 gennaio
Orario di ricevimento:Giovedì ore 14:00-15:00
Aula 2
Programma
previsto del corso
1. Sommatorie e serie numeriche
2. Successioni e serie di funzioni
3. Equazioni differenziali
4. Limiti e
continuità in Rn 5. Calcolo differenziale in Rn 6. Curve e integrali
curvilinei; forme differenziali
7. Integrali doppi e formula di Green
8. Integrali tripli e superficiali e collegamenti tra
loro
Distinta delle lezioni
(ogni lezione è di due ore):
1 (25
settembre). Serie numeriche: esempi e motivazioni.
Sommatorie e loro proprietà. Esempi: somma dei primi n interi,
somma delle prime n potenze di z. Definizione di serie formale
e di somma di una serie. Carattere di una serie: convergente,
divergente, indeterminata. La serie geometrica e la sua somma
(quando convergente). Esempi di calcolo di somme di serie.
Criterio necessario di convergenza: convergenza a zero della
successione di cui si fa la serie. Esempio: divergenza della
serie armonica (non-sufficienza della convergenza a zero).
Serie telescopiche. La serie di Mengoli.
2 (26 settembre). Il carattere di una serie "non
dipende dai primi termini". Serie a termini positivi e legami
con i teoremi su successioni monotone. Non indeterminatezza
del carattere di una serie a termini positivi. Criterio del
confronto. Esempio: confronto della serie di 1/n2 con la serie di Mengoli. Criterio di
condensazione. Applicazione: convergenza delle serie armoniche
generalizzate. Esercizi di determinazione del carattere
tramite confronto.
3 (28 settembre). Esercizi sul criterio del confronto.
Criterio del confronto asintotico. Esempi ed esercizi. Analisi
di serie con termini polinomiali ed esponenziali. Il criterio
della radice n-ima. Esempi. Non-applicabilità del criterio
quando il limite della radine n-ima è 1.
4. (2 ottobre). Criterio del rapporto. Esempi di
applicazione. Criteri per serie a segni qualunque: criterio
della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz per serie con
termini a segno alterno*. Esempio di serie semplicemente ma
non assolutamente convergente. Esempi ed esercizi.
5. (3 ottobre). Riordinamenti. Invarianza della somma
di una serie assolutamente convergente per riordinamento.
Teorema sul riordinamento delle serie semplicemente ma non
assolutamente convergenti (con cenno di dimostrazione).
Esercizi su serie dipendenti da un parametro. Serie di
potenze. Caratterizzazione dell'insieme di convergenza. Raggio
di convergenza.
6. (5 ottobre). Esempi di comportamento agli estremi
dell'intervallo di convergenza. Determinazione del raggio di
convergenza tramite il criterio del rapporto.
Caratterizzazione del raggio di convergenza tramite un limite
superiore (con definizione relativa). Serie esponenziale.
Esercizi. Serie del seno e coseno.
7. (9 ottobre). Teorema di derivazione per serie.
Esempi. La serie dell'arcotangente. Infinita derivabilità
delle serie di potenze all'interno dell'intervallo di
esistenza. Serie di Taylor. Serie del seno e coseno
iperbolico. Funzioni analitiche. Esempi di funzioni
infinitamente derivabili ma non analitiche. Teorema di
integrazione per serie. Esempi. La serie del logaritmo di 1+x.
Serie numeriche e di potenze complesse (cenno). La serie
esponenziale in campo complesso. Verifica dell'identità eix = cos x+ i sin x
tramite le relative serie.
8. (10 ottobre). Analiticità delle serie di potenze.
Successioni di funzioni: convergenza puntuale. Esempi di
successioni che convergono puntualmente per cui si perde la
continuità, l'integrabilità, o l'integrale non commuta con il
limite. Convergenza uniforme e sua interpretazione tramite i
grafici. Norma uniforme (o norma del sup, o norma infinito) e
sue proprietà. Il limite uniforme di funzioni integrabili
secondo Riemann è integrabile secondo Riemann e gli integrali
convergono all'integrale del limite. Limite uniforme di
funzioni continue è una funzione continua*.
9. (12 ottobre). La convergenza uniforme implica
la convergenza puntuale. Esercizi sulla convergenza puntuale e
uniforme di successioni di funzioni. Convergenza di
serie di funzioni. Criterio di Cauchy uniforme*. Convergenza
totale di una serie di funzioni.
10. (16 ottobre). Esercizi su convergenza
puntuale ed uniforme. Convergenza uniforme delle serie di
potenze. Lo spazio metrico delle funzioni continue su un
intervallo. Il lemma delle contrazioni*.
11. (17 ottobre). Un'applicazione del lemma delle
contrazioni: il teorema di esistenza locale di Cauchy per le
equazioni differenziali ordinarie in forma normale*. Il
teorema di Ascoli-Arzelà (solo enunciato). Esercizi su
convergenza di funzioni.
12. (19 ottobre). Esempi in cui si deve fare attenzione
a non usare in modo improprio il criterio del confronto
asintotico. Esercizi su convergenza puntuale e uniforme di
funzioni.
13. (23 ottobre). Esercizi su criteri di convergenza e
calcolo di somme di serie
14. (24 ottobre). Esercizi su serie di potenze e serie
di Taylor. Esempi di serie di funzioni che convergomo
uniformemente ma non totalmente.
15. (26 ottobre). Esercizi su serie e successioni di
funzioni. Esercizi di ripasso.
16. (27 ottobre). Primo test intermedio
17. (30 ottobre). Conseguenze del teorema di esistenza
locale per le equazioni differenziali ordinarie: esistenza
globale, esistenza massimale, esistenza per sistemi di
equazioni differenziali e per equazioni differenziali di
qualsiasi ordine.
18. (31 ottobre). Introduzione alle funzioni scalari e
vettoriali di una o più variabili reali. Norma e distanza
(euclidea) in Rn. Insiemi limitati. Prodotto scalare e
coseno dell'angolo tra due vettori. Palla (aperta) di centro x
e raggio r. Insiemi aperti e insiemi chiusi.
Frontiera e chiusura di un insieme. Esempi.
19. (2 novembre). Esempi di insiemi nel piano e
nello spazio determinati da sistemi di ugiaglianze e
diseguaglianze. Simmetrie di insiemi rispetto ad assi e
all'origine. Insiemi ottenuti per rotazione attorno ad un asse
nello spazio. Convergenza e divergenza di successioni in Rn.
20. (6 novembre). Teoremi sulle successioni in Rn: limite di una somma e prodotto per
uno scalare, limitatezza delle successioni convergenti,
teorema di Bolzano-Weierstrass, completezza, caratterizzazione
dei chiusi per successioni. Insiemi compatti. Punto di
accumulazione di un insieme. Limiti di una funzione in un
punto di accumulazione del dominio. Esempi. Criterio
necessario per l'esistenza: il limite deve essere lo stesso
lungo ogni curva che passa per il
punto in cui si calcola il limite. Esempi di
applicazione per dimostrare la non-esistenza di un
limite.
21. (7 novembre). Esempi di non-esistenza di
limiti nonostante esista il limite lungo ogni retta.
Calcolo di limiti usando le coordinate polari. Esempi ed
esercizi. Funzioni continue. Continuità delle
componenti. Teorema di Weierstass e alcune sue varianti
per funzioni definite su tuttolo spazio.
22. (9 novembre). Introduzione al calcolo
differenziale in Rn (per funzioni scalari). Derivata
dirazionale, derivate parziali, gradiente. Esempi.
Differenziabilità. Esempio di funzione con tutte le derivare
direzionali ma non continua. Teorema: la differenziabilità
implica l'esistenza di tutte le derivate direzionale, e la
derivata in direzione v è uguale al prodotto scalare di v e
del gradiente. Esempio di funzione le cui derivate non
si esprimono in tal modo (e quindi non è differenziabile).
Equazione dell'(iper)piano tangente al grafico di una funzione
differenziabile. Esempi. Direzione di massima pendenza.
23. (13 novembre). Teorema del differenziale totale*.
Funzioni C1 Punti stazionari. Ricerca
dei punti di massimo/minimo locali.
Punti stazionari. Derivate parziali seconde. Teorema di
Schwarz. Matrice hessiana (Hessiano). Simmetria della matrice
hessiana. Polinomio di Taylor di ordine 2. Caratterizzazione
dei punti di estremo locale in termini dell'Hessiano in un
punto stazionario.
24 (14 novembre). Esempi di comportamento in punti
stazionario con Hessiano semi-definito. Esempi di calcolo di
massimi, minimi e classificazione di pinti stazionari. Esempi
di calcolo di massimi e minimi per funzioni definite su
insiemi chiusi e liitati.
25 (16 novembre). Esercizi su massimi e minimi su
insiemi chiusi e limitati, e tramite lo studio delle linee di
livello. Curve parametrizzate, e loro sostegno. Vettore
tangente o velocità, versore tangente, punto regolare.
Equazione parametrica della retta tangente al sostegno in un
punto regolare di una curva.
26 (20 novembre). Esempi di curve parametrizzate. La
cardioide. Il teorema della funzione implicita in due
variabili (o di Dini)*.
Retta tangente ad un insieme definito implicitamente.
Necessità della condizione di non annullamento del
gradiente.
27 (21 novembre). Derivate successive di funzioni
definite implicitamente. Esempio: determinazione del
polinomio di Taylor di ordine due di una funzione
definita implicitamente. Massimi e minimi vincolati. Il
teorema dei Moltiplicatori di Lagrange. Esempi.
28 (23 novembre). Esercizi su moltiplicatori di
Lagrange. Lunghezza di una curva. Integrali di prima
specie. Invarianza per cambiamento di parametrizzazione.
Esempi.
29 (27 novembre). Esercizi su integrali
curvilinei di prima specie e lunghezza di una curva.
Lunghezza di un grafico, esempi in coordinate polari,
esempi in tre dimensioni
30 (28 novembre). Esercizi di riepilogo su limiti,
calcolo differenziale e massimi e minimi di funzioni di
più variabili.
31 (30 novembre). Esercizi di riepilogo su curve
definite implicitamente, moltiplicatori di Lagrange,
curve, loro lunghezza e integrali di prima specie.
32 (1 dicembre). Secondo test intermedio
33 (4 dicembre). Forme
differenziali e campi vettoriali. Integrali di seconda
specie. Invarianza per riparametrizzazione a meno di
segno. Esempi. Forme esatte e loro potenziale. Integrale
di una forma esatta (teorema fondamentale del calcolo
per integrali su curve). Condizioni necessarie per
l'esattezza. Forme chiuse. Le forme esatte sono chiuse.
Esempi di forme differenziali in campo complesso: la
forma (1/z)dz
34 (5 dicembre). Metodo generale per il calcolo
del potenziale. Esempi ed esercizi. Condizioni
equivalenti all'esattezza in un aperto connesso*.
35 (7 dicembre). Curve omotope. Uguaglianza di
integrali di forme chiuse su curve omotope. Aperti semplicementi connessi.
Esattezza delle forme chiuse su aperti semplicementi
connessi. Esempi. Potenziale della forma (1/z)dz nel piano
meno un semiasse. Esercizi.
36 (11 dicembre). Integrali doppi.
Definizione di integrale secondo
Peano-Jordan su un dominio rettangolaree
analogie con l'integrale di Riemann.
Riduzione all'integrazione uni-dimensionale
su intervalli. Esempi. Integrali su insiemi
qualsiasi. Insiemi misurabili e loro misura.
Insiemi normali e relative formule di
integrazione. Esempi.
37 (12 dicembre). Proprietà
dell'integrale. Integrazione su insiemi
generali. Esempi ed esercizi.
38 (14 dicembre). Esempi di
semplificazione per insiemi e funzioni con
simmetrie. Formula di cambiamento di
variabile negli integrali doppi. Il
determinante Jacobiano. Esempi. Cambiamenti
di variabili per trasformazioni lineari e
coordinate polari.
39 (18 dicembre). Esempio di calcolo
di misura di un insieme in coordinate
polari. Integrale della Gaussiana. Formule
di Green. Esempi di applicazioni: formule
per il calcolo dell'area. Esercizi. Teorema
della divergenza.
40 (19 dicembre). Dimostrazione
dell'esattezza delle forme chiuse usando le
formule di Green. Esercizi di calcolo di
integrali di seconda specie mediante le
formule di Green. Integrali tripli. Formule
di riduzione: integrazione per fili e per
sezioni. Volume dei solidi di rotazione.
41 (21 dicembre). Esempi di calcolo
di integrali tripli usando simmetrie di
dominio e funzione integranda. Formula di
cambiamento di variabile. Coordinate
cilindriche e coordinate sferiche. Esempi ed
esercizi.
42 (8 gennaio). Esercizi su integrali
tripli. Superfici nello spazio
tre-dimensionale. Parametrizzazione di sfera
e toro. Superfici cartesiane. Piano tangente
e versori normali. Superfici orientabili.
Non-orientabilità del nastro di Möbius. Area
di una superficie cartesiana. Integrale su
una superficie cartesiana.
43 (9 gennaio). Area e integrale su
una superficie (caso generale). Esempi ed
esercizi. Flusso attraverso una superficie
orientata.
44 (11 gennaio). Teorema del
gradiente e della divergenza in dimensione
tre. Esempi. Teorema del rotore. Esempi.
45 (15 gennaio). Esercizi su
integrali di superficie.
46 (16 gennaio). Esercizi di
ripasso sulla terza parte del corso (forme
differenziali, integrali doppi e tripli)
47 (18 gennaio). Esercizi di
ripasso sulla terza parte del corso
(integrali di superficie, teorema della
divergenza e del rotore)
48 (19 gennaio). Terza prova
intermedia
* = risultati la cui dimostrazione si
ritiene particolarmente importante
PROVE INTERMEDIE Prova del 27/10/2017 -testo Prova
del 1/12/2017 - testo
Prova del 19/1/2018 - testo
ESAMI Primo appello: 24 gennaio 2018 - testo
Secondo appello: 13 febbraio 2018 - testo
Terzo appello: 25 giugno 2018 - testo
Quarto
appello: 9 luglio 2018 - testo
Quinto
appello: 29 agosto 2018 - testo
Sesto appello: 12 settembre 2018 - testo
Testo
di riferimento
M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli, "Analisi
Matematica" (McGraw Hill)
(ma vanno bene anche altri testi, dato che il programma e le
notazioni sono standard)
MODALITÀ
D'ESAME
1) Esame finale: esame scritto (10 esercizi di cui viene
richiesta un breve svolgimento) + esame orale
(obbligatorio). L'esame orale può venire dato anche
nell'appello successivo della medesima sessione.
2) Prove intermedie. Verranno organizzate tre prove
intermedie. Alla seconda prova si è ammessi se si ha ottenuto
un voto sufficente (18) alla prima, e alla terza se si è
ottenuto un voto sufficente alla seconda. Se si avrà ottenuto
una votazione sufficente a tutte le tre prove verrà proposto
un voto. A seconda della valutazione delle tre prove potrà
essere richiesta una prova orale. Chi partecipa alle prove
intermedie e non deve sostenere una prova orale dovrà
verbalizzare il voto nella sessione di febbraio.
REGOLE
PER GLI ESAMI Durante gli esami non si possono usare libri, appunti,
formulari, calcolatrici o altri strumenti elettronici, e i
cellulari devono essere rigorosamente spenti. Si deve
portare sufficienta carta per la brutta e il libretto o un
documento di riconoscimento.
