Di seguito gli studenti troveranno il diario delle lezioni e materiale didattico per il corso di Analisi Matematica I. L'utilizzo personale di tale materiale per lo studio è libero. È invece VIETATO ogni altro utilizzo, ad esempio la distribuzione attraverso fotocopie o la pubblicazione su altri siti web o comunque la diffusione a fini commerciali. L'autrice non risponde del contenuto di materiale didattico relativo a questo o altri corsi da lei tenuti, eventualmente diffuso a fini commerciali. Tale tipo di utilizzo non è mai stato autorizzato.


Diario delle lezioni:

• Lezione del 23-09-2025 :Introduzione ai contenuti del corso, cenni di logica: esempi di utilizzo dei quantificatori. Richiami di insiemistica.Insiemi prodotto. Insiemi numerici (insieme dei numeri naturali, dei numeri interi, dei numeri razionali). L'insieme dei razionali è un campo ordinato. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 24-09-2025: Rappresentazione dei razionali come allineamenti decimali limitati o periodici propri. Proprietà di Archimede nei razionali e conseguenze. Dimostrazione per assurdo. Rappresentazione geometrica dei razionali sulla retta, Proprietà di densità. dimostrazioni per assurdo:√2 non è razionale. Definizione dei numeri reali. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 25-09-2025:Maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme di numeri reali. Intervalli. Proprietà di completezza dei reali. Caratterizzazione di supA e di infA, esempi. Generalità sulle funzioni: dominio, codominio,immagine, grafico, controimmagine, funzioni numeriche, funzioni iniettive, suriettive,esempi. Funzione inversa, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 26-09-2025:Generalità sulle funzioni: Composizione di funzioni, esempi. Funzione valore assoluto. Funzioni pari, dispari. Esempi Potenze ad esponente naturale. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 30-09-2025:Generalità sulle funzioni: Funzioni monotone e legame tra monotonia e iniettività (esempi e controesempi). Monotonia di funzioni composte e relazione tra monotonia e operazioni algebriche con funzioni. Potenze ad esponente intero, radici n-me, potenze ad esponente razionale ed irrazionale, Esempi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 01-10-2025:Generalità sulle funzioni: funzioni esponenziali e logaritmiche:proprietà, esempi. Esercizi Funzioni periodiche, richiamo sulle funzioni trigonometriche e definizione delle funzioni arcsin(x), arccos(x), arctan(x). Esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 02-10-2025:Estremo superiore ed inferiore di una funzione su un sottoinsieme del dominio, massimo, minimo. Disequazioni e applicazioni alla determinazione di domini di funzioni composte. Definizione di successione, successioni limitate, successioni monotone, esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 03-10-2025: Sommatorie:generalità ed esempi: la progressione geometrica e sua somma. Principio di induzione e applicazioni: Dis. di Bernoulli, calcolo della somma dei primi n naturali. Definizione di fattoriale, permutazioni, disposizioni e combinazioni di oggetti, coefficienti binomiali, formula del binomio di Newton. Esercizi su disequazioni. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 07-10-2025:Successioni: proprietà definitivamente vere, successioni monotone e definitivamente monotone, esempi,Definizione di intorno di un punto La retta reale estesa ed intorni di più o meno infinito. Definizione di limite per una successione, esempi di dimostrazione di limiti. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 08-10-2025:Limiti di successioni:successioni che non ammettono limite, unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, successioni convergenti sono limitate ma il viceversa non è vero in generale. Teoremi di confronto e applicazione al calcolo di lim n!/n^n. Esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 09-10-2025:Limiti di successioni: Algebra dei limiti, limite di n^\alpha,forme indeterminate.Limiti per eccesso e per difetto,limiti notevoli conseguenza della dis. di Bernoulli: lim(n^\alpha/a^n), lim (|log{n}|^alpha/n^beta). Criterio del rapporto per successioni e applicazione al limite di n!/a^n. Definizione di "o piccolo di 1". Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione dell' 10-10-2025:Limiti di successioni: limite di a^{1/n}, Dim. del criterio del rapporto per successioni. Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (con dim.). Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n (dim.). Definizione del numero di Nepero e=lim(1+1/n)^n. ulteriori limiti notevoli, Infiniti di ordine inferiore, infinitesimi di ordine superiore, catena degli infiniti, esempi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 14-10-2025:Limiti di successioni:uleriori limiti notevoli, definizione di ordine di infinito e di infinitesimo, esempi ed esercizi. Successioni asintoticamente equivalenti e proprietà. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 15-10-2025:Limiti di successioni:limiti notevoli di successioni trigonometriche Sottosuccessioni, ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente (Teorema di Bolzano-Weierstrass con dim.) esercizi su limiti di successioni, ordine di infinito/infinitesimo, Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 16-10-2025:Successioni fondamentali, Criterio di Cauchy (con dim.). Successioni definite per ricorrenza, esempi: algoritmo di Erone per approssimazione di radice quadrata. Esercizi su limite di successioni: esercizi sul corretto uso di "o piccolo" Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 17-10-2025:Elementi di topologia della retta: insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera, punti di accumulazione, punti isolati. Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizione nei vari casi, esempi. Teorema ponte (con dim.) e applicazione per la determinazione di alcuni limiti notevoli per funzioni. Scala degli infiniti.Esempi di funzioni che non ammettono limite (utilizzando teorema ponte).Infinitesimi e infiniti di ordine superiore o inferiore per x che tende a x_0. Unicità del limite per funzioni, permanenza del segno. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 21-10-2025:Limiti di funzioni reali di variabile reale: Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto. Proprietà dei limiti, teoremi di confronto. Limiti di funzioni composte (con dim.). Esempi e Controesempi. Esistenza di limite destro e sinistro per funzioni monotone (con dim.). Definizione di continuità in un punto, continuità delle funzioni composte, permanenza del segno per funzioni continue, continuità delle funzioni elementari, definizione di seno iperbolico e coseno iperbolico. Definizione di ordine di infinito e infinitesimo di funzioni rispetto ad un infinito o infinitesimo campione per x che tende a x_0, Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 22-10-2025:Esercizi su ordine di infinito e infinitesimo di funzioni rispetto ad un infinito o infinitesimo campione per x che tende a x_0. Esercizi su ordine di infinitesimo di successioni. Classificazione dei punti di discontinuità di una funzione, esempi. Discontinuità di funzioni monotone su intervalli (dim.) Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 23-10-2025:Definizione di asintoto verticale, orizzontale, obliquo. esempi. Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue su intervalli (dim.) e conseguenze: Teorema dei valori intermedi (con dim.), Esercizi su asintoti. Esercizi su limiti di funzioni. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 24-10-2025: Conseguenze del teorema degli zeri: monotonia e invertibilità (funzioni continue su intervalli sono iniettive se e solo se sono strettamente monotone (con dim.)).Continuità della funzione inversa di una funzione continua su un intervallo (con dim.), insiemi compatti, continuità della funzione inversa di una funzione continua su un compatto (senza dim.); Teorema di Weierstrass (con dim.) con esempi e controesempi. Esercizi su limiti e continuità. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 28-10-2025:Esercizi su funzioni continue. Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: definizione di derivata, retta tangente ed equivalenza tra esistenza di retta tangente non verticale al grafico di f in un punto e derivabilità di f. Una funzione derivabile in un punto è continua nello stesso punto ma il viceversa non è vero (dim.); punti del grafico a tangente verticale; derivata destra e sinistra, punti angolosi, cuspidi; derivate di funzioni elementari: x^a, radice di x, sinx, cosx, e^x, log(x). Algebra delle derivate (derivata della somma, del prodotto di funzioni (dim.), del quoziente di funzioni(dim.)) derivata della funzione composta (dim.), esempi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 29-10-2025:Esercizi su dominio e asintoti di funzioni, esercizi su limiti. Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: Differenziale di una funzione e legami con la derivata, invarianza di forma per il differenziale del primo ordine. Derivata della funzione inversa (dim) e applicazione al calcolo della derivata di arcsin(x), arcos(x),arctan(x); definizione di estremo relativo,definizione di punto critico, teorema di Fermat (sui punti critici) (dim.). Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 30-10-2025:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Teorema di Rolle(dim.) e del valor medio di Lagrange (dim), esempi e controesempi. Conseguenze del teorema di Lagrange: monotonia e segno della derivata; le funzioni con derivata prima nulla in un intervallo sono costanti ma se il dominio non è un intervallo può non essere vero. La derivata di una funzione derivabile non può avere discontinuità di salto. Studio della natura dei punti critici.Teorema di Cauchy (con dim.), esempi di funzioni derivabili ma con derivata non continua Disuguaglianze notevoli: e^x>=x+1;, log(1+x)<= x, |sin x|<=|x|, |arctan x|<=|x|. Funzioni costanti in un intervallo: arctanx+arctan(1/x) in (-\infty,0) ed in (0,+\infty); esercizio su massimi e minimi assoluti e relativi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 31-10-2025: Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: Esercizi su continuità e derivabilità, Funzioni convesse e concave, proprietà, esempi, significato geometrico, continuità delle funzioni convesse, funzioni convesse derivabili: caratterizzazione della convessità (concavità) con la derivata prima e con la derivata seconda. Definizione di punto di flesso. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 04-11-2025: Esercizi su continuità e derivabilità. Studio del grafico di una funzione: determinazione del dominio naturale, eventuali simmetrie, periodicità, ricerca degli asintoti orizzontali, verticali e obliqui, intervalli di monotonia, ricerca di estremi locali e assoluti, intervalli di concavità, convessità, ricerca dei punti di flesso. Esercizio sullo studio del grafico di una funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 05-11-2025:Funzioni uniformemente continue: definizione, esempi, controesempi. Teorema di Heine Cantor (dim.), funzioni Lipschitziane: definizione, esempi: |x|,x^2 sui limitati, sin(x), arctan (x).Esercizio sullo studio del grafico di una funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 06-11-2025: Funzioni Lipschitziane: √x in [a,+\infty) è Lipschitz per ogni a>0 ma in (0,+\infty) non lo è. Funzioni Holderiane: definizione, √x è Holderiana nel suo dominio e dunque uniformemente continua in [0,+\infty). Esercizi su limiti, Esercizio sullo studio del grafico di una funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 7-11-2025: Esercizi sullo studio del grafico di funzione e su limiti. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 11-11-2025:Funzioni iperboliche:definizione e proprietà, derivate, monotonia convessità/concavità, grafico, inverse delle funzioni iperboliche: definizione di settsinhx, settcoshx e loro derivate. Esercizi su continuità, derivabilità, invertibilità. Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Teorema di De L'Hopital e applicazioni, esempi e controesempi di applicazione, dim del teorema di de l'Hopital nel caso di funzioni infinitesime. Esercizi su ordinamento di infiniti Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 12-11-2025: Esercizi sullo studio del grafico di funzione e su limiti. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 13-11-2025:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:funzioni C^n(a,b), funzioni C^\infty (a,b), introduzione al polinomio di Taylor: definizione, esempi, polinomi di McLaurin, polinomi di McLaurin di e^x, sin(x), cos(x)) e^(x^2), e^(2x+3). Applicazione al calcolo di limiti. Studio del grafico di funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 14-11-2025:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Polinomio di Taylor di 1/(1+x) centrato in 1. Applicazione dello sviluppo di Taylor per la determinazione dell'ordine di infinitesimo di funzione. Polinomi di McLaurin di (1+x)^alpha con alpha reale;di 1/(1-x),1/(1+x) 1/(1+x^2);relazione tra pol. di Taylor di una funzione e della sua derivata e applicazione al calcolo del pol. di McLaurin di arctan(x), log(1+x). Natura dei punti critici mediante lo studio del segno delle derivate successive alla prima nel punto stesso, esempi x^4, x^3. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 18-11-2025:Dimostrazione della formula di Taylor con il resto di Peano, Definizione di primitiva e prime proprietà, Polinomio di McLaurin di ordine 6 di 1/√(1-x^2), di arcsin x e di tgx,polinomio di Mc Laurin di coshx, sinhx Esercizi su sviluppi di Taylor di funzioni composte e su limiti di funzioni.. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 19-11-2025: Polinomio di Taylor con resto di Lagrange, applicazione al calcolo di e^(1/2) con un errore inferiore a 10^(-6) e di √10, con errore inferiore a 10^-6. Esercizi su limiti di funzioni e studio del grafico di funzione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 20-11-2025: Esercizi su polinomi di Taylor, limiti di funzioni e di successioni. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 21-11-2025: Esercizi su limiti di funzioni e di successioni, ordini di infinitesimo/infinito. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 25-11-2025: Esercizi su limiti di funzioni e di successioni. Introduzione all'integrale di Riemann: il metodo di esaustione. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 26-11-2025:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Definizione di partizione (o decomposizione) di un intervallo, somme superiori e somme inferiori per una funzione limitata, andamento delle somme superiori e inferiori rispetto al raffinamento di partizioni (dim). Definizione di funzione integrabile secondo Riemann, esempio di funzione non integrabile (la funzione di Dirichlet).Proprietà dell'integrale di Riemann: significato geometrico, additività, linearità. Partizioni equispaziate, Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza dell'integrale di Riemann (con dim.) Esercizi su limiti e ordini di infinito/infinitesimo. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• 28-11-2025:Prima prova di verifica in itinere (esonero)

• Lezione del 02-12-2025:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Integrabilità di funzioni monotone (dim.), integrabilità di funzioni continue (dim.), e di funzioni limitate con un numero finito di punti di discontinuità, teorema della media integrale (dim.). Definizione di funzione integrale, proprietà delle funzioni integrali di funzioni integrabili (Lipschitzianità (dim.)). Derivabilità delle funzioni integrali nei punti di continuità della funzione integranda (primo teorema fondamentale del calcolo integrale con dim.). Richiamo su primitiva, proprietà,insieme delle primitive (integrale indefinito). II teorema fondamentale del calcolo integrale (Calcolo dell'integrale definito) (dim.) Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 03-12-2025:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: .Metodo di integrazione per parti, esempi. Formula di integrazione per sostituzione.Esempi ed esercizi. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 04-12-2025:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (discussione completa se il denominatore è un polinomio di secondo grado). Esempi di calcolo di integrali con i tre metodi di sostituzione, parti e fratti semplici. Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (con denominatore polinomio di grado n). Formule ricorsive per calcolo dell'integrale di 1/(x^2+1)^m. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 05-12-2025:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: decomposizione di Hermite per il calcolo di integrali di funzioni razionali con radici doppie del denominatore. Esempi. Integrali di funzioni del tipo: cos(ax)sin(bx), cos(ax)cos(bx), sin(ax)sin(bx). Integrazione di funzioni razionali negli argomenti sin(x), cos(x) (sostituzione t=tg(x/2)).Metodi di calcolo dei coefficienti dei fratti semplici per radici reali di molteplicità uno e due del denominatore. Alcune sostituzioni speciali per il calcolo di integrali con radici con particolare riguardo agli integrali di √(a^2-x^2), √(x^2+a^2), √(x^2-a^2), calcolo dell' area dell'ellisse. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 09-12-2025: Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Definizione di integrale improprio per funzioni non limitate su intervalli limitati. Integrabilità in senso improprio in (0,1) delle funzioni di tipo potenza ad esponente reale, Definizione di integrale improprio per funzioni su intervalli non limitati. Integrabilità in senso improprio delle funzioni di tipo potenza ad esponente reale, (in intervalli illimitati), teorema del confronto per funzioni definitivamente non negative, esempi. Criterio del confronto asintotico. Integrabilità di 1/x(|logx|)^beta e di 1/x^alpha(|logx|)^beta all'infinito.Esempi ed esercizi Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 10-12-2025:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Integrabilità di 1/x^a(|logx|)^beta vicino a zero. Esercizi.Assoluta integrabilità in senso improprio, esempio di funzione integrabile in senso improprio ma non assolutamente integrabile. Integrabilità all'infinito di funzioni tipo f(x)cos(x) o f(x)sin(x) con f non negativa, definitivamente decrescente all'infinito ed infinitesima all'infinito. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 11-12-2025:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: limiti (usando de L'Hopital), ordini di infinito/infinitesimo di funzioni integrali, esercizi di riepilogo su integrali impropri. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 12-12-2025:Derivate di funzioni composte con funzioni integrali, Polinomi di Mac Laurin di funzioni integrali. Esercizi di riepilogo su integrali e integrali impropri. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 15-12-2025 (Anticipo della lezione del 23-12-2025): Equazioni differenziali ordinarie: generalità, esempi: caduta di un grave nel vuoto, nell'aria, modello di Malthus e di Verhoulst. Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine: Struttura dell'integrale generale (dim.) (integrale generale dell'equazione omogenea, integrale particolare dell'equazione completa:metodo di variazione delle costanti). Esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy associato. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 16-12-2025:Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili, problema di Cauchy associato: Teorema di esistenza e unicità locale della soluzione del problema di Cauchy associato (senza dim.). Intervallo massimale di esistenza della soluzione. Esempi ed esercizi. Non unicità di soluzione per y'(t)=3/2 y^{1/3}(t); y(0)=0 Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 17-12-2025:Numeri complessi: definizione, forma cartesiana, somma e prodotto. Significato geometrico della somma, definizione di coniugato, modulo, argomento di un numero complesso, forma polare, significato geometrico del prodotto, definizione di esponenziale e^{it} e sua periodicità, definizione di quoziente, espressione di un numero complesso sia in forma cartesiana che polare (esempi di deduzione di una forma dall'altra), potenza intera di numero complesso e rappresentazione geometrica. Esempi. Formula di De Moivre, espressione di sinx.cos x in termini di e^{ix} e di e^{-ix}. Esponenziale complesso e^z definizione e prime proprietà Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 18-12-2025:Numeri complessi: disuguaglianza triangolare, radici n-me di un numero complesso, interpretazione geometrica delle radici n-me dell'unità, esempi ed esercizi, radici di polinomio del secondo ordine a coefficienti complessi: formula risolutiva ed esempi di calcolo. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim). Fattorizzazione di polinomi in campo complesso e deduzione della fattorizzazione di polinomi a coefficienti reali. Risoluzione di equazioni in campo complesso. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 19-12-2025:Esercizi su numeri complessi e su equazioni differenziali del primo ordine lineari. Esercizi di riepilogo su integrali impropri. Sulla piattaforma MSTeams si trova il file relativo alla lezione.

• Lezione del 23-12-2025:D'accordo con gli studenti la lezione non avrà luogo. È stata già recuperata il 15-12-2025.