Analisi Matematica II per Ing. Edilizia, Ing. Edile-Architettura, A.A. 2022-23

Testi consigliati

Come testo per la teoria, con un livello di approfondimento adatto a questo corso, si suggerisce:
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori (2001).

Per una trattazione più dettagliata della materia, si suggeriscono:
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica II, Liguori (2001) oppure Zanichelli (2020) (versione più ampia del testo indicato sopra)
C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli, prima ed. (1990), oppure seconda ed. (2016)
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill (2011).

Testi consigliati per gli esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, volume II, parte 1 e 2 (due libri distinti), Liguori Editore, oppure nuova edizione ampliata edita da Zanichelli (2017).
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 2, Zanichelli, 2011.
Il testo di Bertsch-Dal Passo-Giacomelli di teoria contiene anche numerosi esercizi.

E' disponibile il diario delle lezioni svolte.

Raccolte di esercizi

Le raccolte di esercizi qui sotto forniscono esempi delle tipologie rilevanti per l'esame scritto.
Per ulteriori esercizi, oltre ai testi segnalati sopra, si possono consultare raccolte pubblicate da altri docenti, ad es. i proff. Isola , Braides e Tauraso.

Esercizi su equazioni differenziali del primo ordine e risposte .
Esercizi su equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e risposte .
Esercizi su massimi e minimi per funzioni a più variabili e risposte .
Esercizi su topologia e proprietà generali di funzioni a più variabili e risposte .
Esercizi su curve di livello e massimi/minimi vincolati e risposte .
Esercizi su integrali doppi e risposte .
Esercizi su integrali tripli e risposte .
Esercizi su curve e campi vettoriali e risposte .

Testi di esame

Testo della prova scritta di esame del 3 febbraio 2023 .
Testo della prova scritta di esame del 22 febbraio 2023 .

Non verranno pubblicati gli svolgimenti degli esercizi di esame. Il numero e la tipologia degli esercizi possono variare da un appello all'altro.

Programma dettagliato del corso per l'A.A. 2022/23

Nota Per gli argomenti viene indicato il riferimento al testo di Fusco-Marcellini-Sbordone [FMS], salvo per la parte sugli integrali multipli, dove ci si riferisce invece al testo di Bertsch-Dal Passo-Giacomelli [BDG].
Dove espressamente indicato, va studiata la dimostrazione del teorema, per gli altri teoremi è richiesto solo l'enunciato.

1) Equazioni differenziali ordinarie

Il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria: formulazione del problema ed esempi [FMS par.21]. Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale [FMS, pag. 118, pagg. 124-125]. Intervallo massimale di esistenza e sue proprietà (non presente in [FMS]). Esistenza in grande per equazioni lineari (il teor. a pag 126 di [FMS] dà un enunciato più generale). Metodo risolutivo per equazioni del primo ordine a variabili separabili [FMS pagg. 131-32] e del primo oridne lineari [FMS, par. 23]. Equazioni lineari di ordine generale: descrizione dell'integrale generale come spazio vettoriale generato da n soluzioni indipendenti nel caso omogeneo, estensione al caso non omogeneo (con dimostrazione) e metodo risolutivo nel caso di coefficienti costanti [FMS par. 24, 25 e 33].

2) Funzioni di più variabili

Prodotto scalare, norma e distanza in Rⁿ [FMS par. 8]. Intorni sferici. Punti interni, di frontiera, di accumulazione. Insiemi aperti, chiusi. Parte interna e chiusura di un insieme. Insiemi limitati. [FMS par. 9] Limiti e continuità per funzioni a più variabili. Teorema di Weierstrass [FMS par. 10]. Derivate parziali prime, gradiente. Esempio di funzione derivabile ma non continua. Differenziabilità e piano tangente al grafico. Proprietà delle funzioni differenziabili, teorema del differenziale totale, funzioni di classe C¹. [FMS, par. 11 e 13]. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz [FMS, par. 12]. Derivazione di funzione composta (con dimostrazione) [FMS par. 14] Derivate direzionali. Il gradiente individua la direzione di massima crescita della funzione [FMS, par. 15] Sviluppo di Taylor di ordine due [FMS par. 16]. Richiami di algebra lineare: matrici simmetriche, forme quadratiche, autovalori. Forme quadratiche definite/semidefinite positive/negative o indefinite in dimensione generale: definizione e legame col segno degli autovalori. Caratterizzazione in base a determinante e traccia in dimensione due. (argomenti non presenti in [FMS], si possono trovare nei testi di geometria). Caratterizzazione in dimensione generale con criterio di Sylvester dei minori principali (non presente in [FMS]). Massimi e minimi relativi: condizione necessaria del primo ordine e del secondo ordine (con dimostrazione), condizione sufficiente (con dimostrazione) [FMS par. 18 e 19]. funzioni convesse: definizioni e proprietà (non trattato in [FMS]). Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana (non trattato in [FMS]).

3) Funzioni implicite, estremi vincolati.

Teorema di Dini (delle funzioni implicite) in R² [FMS par. 53]. Punti regolari e retta tangente agli insiemi di livello di una funzione di due variabili (curva cartesiana) [FMS, pagg. 272-73 e 296-97]. Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange in due variabili (con dimostrazione) [FMS par. 58] Estensione al caso in tre variabili [FMS, par. 55 e 59].

4) Integrali doppi e tripli.

Integrale di Riemann, definizione e proprietà. Esempio di funzione non integrabile. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione. Misura di Peano-Jordan. Esempio di insieme non misurabile. Proprietà della misura, equivalenza tra misurabilità e misura nulla della frontiera. Esempi di insiemi di misura nulla e di insiemi misurabili [BDG, 14.1 e 14.2]. Integrabilità di funzioni continue su un insieme misurabile [BDG, Teor. 14.13]. Domini semplici (insiemi normali) e formule di riduzione [BDG, 14.2.1]. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari piane. [BDG, 14.3]. Integrali tripli, definizione e tecniche di calcolo. Formule di riduzione, integrazione "per fili" e "per strati", coordinate cilindriche e coordinate sferiche. [BDG, 14.5, 14.5.1, 14.5.2]. Teorema di Guldino per solidi di rotazione (esercizio 20 della lista 7 degli esercizi sul canale Teams). Esempio di integrali impropri: studio della convergenza delle potenze negative della norma in un intorno dell'origine. [BDG, 14.4]. Calcolo dell'integrale improprio della gaussiana in una variabile mediante gli integrali doppi (esercizio 11 della lista 6 degli esercizi sul canale Teams).

5) Curve, superfici e campi vettoriali.

Curve parametriche, definizione. Curve regolari, regolari a tratti, retta tangente [FMS par.34]. Lunghezza di una curva: definizione e caratterizzazione con l'approssimazione mediante poligonali [FMS par. 35]. Curve equivalenti, verso di percorrenza [FMS par. 36]. Integrale curvilineo di funzione [FMS par. 37]. Forme differenziali e loro integrali curvilinei [FMS par. 38] (NB a lezione è stata utilizzata la terminologia equivalente dei campi vettorali anziché quella delle forme differenziali usata in [FMS]). Forme differenziali esatte e loro primitive: teorema di integrazione di una forma differenziale esatta (con dim.) e sue conseguenze sull'integrale su una curva chiusa o su due curve con gli stessi estremi [FMS par. 39]. Forme differenziali chiuse. Una forma esatta è anche chiusa (con dim.). Esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta. Una forma chiusa definita in un rettangolo è anche esatta. Cenno sugli insiemi semplicemente connessi. [FMS par. 40]. Generalizzazione a tre dimensioni [FMS par. 42]. Richiami sul prodotto vettoriale (non presenti in [FMS]). Superfici parametriche in R³, piano tangente e versore normale [FMS par. 48-49]. Area di una superficie, integrali di superficie di funzioni, flusso di un campo vattoriale, definizioni [FMS par. 50]. Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Teorema della divergenza e teorema di Stokes in in R³ [FMS par. 51].

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