Lezione del 30/9/2022 (S):
Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Esistenza locale e globale, esempi. Comportamento della soluzione agli estremi dell'intervallo massimale di esistenza. Esistenza in grande per equazioni lineari. Eqauzioni del primo ordine a variabili separabili, metodo risolutivo. Esempi.

Lezione del 3/10/2022 (L):
Esercizi su equazioni a variabili separabili.

Lezione del 4/10/2022 (S):
Equazioni lineari del primo ordine, metodo risolutivo. Esercizi. Equazioni lineari di ordine generale. Gli operatori differenziali lineari sono applicazioni lineari tra spazi di funzioni.

Lezione del 7/10/2022 (S):
L'integrale generale di un'equazione omogenea è un sottospazio di dimensione pari all'ordine dell'equazione (con dim.). Wronskiano e sue proprietà (senza dim.). Rappresentazione dell'integrale generale di un'equazione lineare nel caso non omogeneo. Metodo per la ricerca esplicita dell'integrale generale nel caso di un'equazione del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. Equazione caratteristica, soluzioni nel caso di radici reali.

Lezione del 10/10/2022 (S):
Caso di radici complesse. Estensione al caso di ordine maggiore di due. Esempi ed esercizi. Equazioni non omogenee, metodo "di similitudine" per la ricerca di un integrale particolare.

Lezione dell'11/10/2022 (S):
Metodo di similitudine (continuazione). Esercizi. Metodo della variazine delle costanti per la ricerca di un integrale particolare. Esempi.

Lezione del 14/10/2022 (S):
Applicazione dei metodi generali al caso delle equazioni lineari del primo ordine. Esempi di problemi non di Cauchy. Esercizi.

Lezione del 17/10/2022 (L):
Esercizi su equazioni differenziali

Lezione del 18/10/2022 (S):
Richiami sul prodotto scalare e la norma in Rⁿ. Distanza e intorni sferici. Punti interni, esterni e frontiera di un insieme. Insiemi aperti e chiusi, esempi.

Lezione del 21/10/2022 (S):
Punti di accumulazione e punti isolati. Parte interna e chiusura di un insieme. Insiemi limitati. Limiti e continuità per funzioni tra spazi a più dimensioni, definizioni ed esempi.

Lezione del 24/10/2022 (L):
Esercizi su insiemi aperti/chiusi e su equazioni differenziali.

Lezione del 25/10/2022 (S):
Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili (senza dim.). Derivate parziali, definizione ed esempi. Funzioni di classe C¹. Differenziabilità e piano tangente al grafico. Le funzioni di classe C¹ sono differenziabili (teorema del differenziale totale), con cenno di dim. Esempio di funzione derivabile ma non continua.

Lezione del 28/10/2022 (S):
Differenziabilità in dimensione qualunque. Il linguaggio degli infinitesimi. Esempio di calcolo dell'equazione del piano tangente. Formula di derivazione di funzione composta (con dim.). Derivate direzionali, definizione e legame con le derivate parziali Il gradiente descrive la direzione di massima crescita.

Lezione del 31/10/2022 (L):
Richiami su matrici simmetriche e forme quadratiche. Forme quadratiche definite, semidefinite e indefinite, legame con le proprietà degli autovalori. Criteri per il segno di una forma quadratica.

Lezione del 4/11/2022 (S):
Derivate seconde. Teorema di Schwarz (senza dim). Calcolo della derivata prima e seconda della restrizione di una funzione lungo una retta. Condizione necessaria per un massimo/minimmo locale (con dim.) Condizione sufficiente per un massimo/minomo locale (dim. rinviata alla lezione successiva). Esempio di ricerca di estremi locali.

Lezione del 7/11/2022 (S):
Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (senza dim.). Dimostrazione della condizione sufficiente per un massimo/minimo locale. Criterio per il segno di una matrice simmetrica 2x2 in base al determinante e la traccia. Criterio generale nel caso nxn in base al segno dei minori principali. Esempi.

Lezione dell'8/11/2022 (S):
Insiemi convessi e funzioni convesse in più variabili, definizione e caratterizzazione con le proprietà del gradiente e dell'hessiano. Funzioni a valori vettoriali. Matrice jacobiana. Esercizi su massimi e minimi.

Lezione dell'11/11/2022 (S):
Insiemi di livello e funzioni implicite. Esempi. Teorema di Dini in due variabili (senza dim). Punti regolari e retta tangente a un insieme di livello nel piano. Massimi e minimi vincolati. Criterio dei moltiplicatori di Lagrange nel piano. Esempio.

Lezione del 14/11/2022 (L):
Esercizi su massimi e minimi.

Lezione del 15/11/2022 (S):
Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi compatti definiti da vincoli di uguaglianza. Studio degli estremi vincolati mediante parametrizzazione del vincolo. Estensione al caso di vincoli di disuguaglianza. Esempi.

Lezione del 18/11/2022 (S):
Dimostrazione del criterio dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili. Criterio dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di tre variabili nel caso di un vincolo e nel caso di due vincoli (senza dim.). Esercizi su massimi e minimi vincolati su un insieme compatto definito da due vincoli di disuguaglianza.

Lezione del 21/11/2022 (L):
Esercizi su insiemi di livello e massimi e minimi vincolati.

Lezione del 22/11/2022 (S):
Esercizi su massimi e minimi vincolati. Costruzione e proprietà dell'integrale di Riemann per funzioni di due variabili (senza dim).

Lezione del 25/11/2022 (S):
Formule di riduzione per integrali doppi definiti su rettangoli (senza dim.). Esempi. Domini normali. Domini normali, esempi. Formule di riduzione per integrali su domini normali (senza dim.). Esercizi.

Lezione del 28/11/2022 (L):
Esercizi su integrali doppi in domini normali. Legame tra il determinante e l'area del parallelogramma.

Lezione del 29/11/2022 (S):
Misura di insiemi piani e integrali. Esempi. Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili (senza dim.). Formula di cambio di variabile negli integrali doppi (senza dim) motivazione intuitiva e interpretazione del determinante jacobiano come fattore di proporzionalità tra le aree.

Lezione del 2/12/2022 (S):
Coordinate polari nel piano. Baricentro di insiemi. Esempi ed esercizi.

Lezione del 5/12/2022 (S):
Esercizi su integrali doppi.

Lezione del 5/12/2022 (L):
Esercizi su integrali doppi.

Lezione del 6/12/2022 (S):
Esempio di funzione non integrabile e di insieme misurabile. Integrali tripli e misura di insiemi in R³. Formule di riduzione per fili e per strati. Esempi.

Lezione del 12/12/2022 (L):
Esercizi su integrali doppi e tripli.

Lezione del 13/12/2022 (S):
Esercizi su integrali tripli.

Lezione del 16/12/2022 (S):
Esercizi su integrali tripli.

Lezione del 19/12/2022 (L): Esercizi su integrali tripli. Semplificazioni negli integrali in presenza di simmetrie nel dominio e nella funzione integranda, esempi.

Lezione del 20/12/2022 (S):
Integrali impropri in più variabili (cenni). Integrale di una potenza negativa della norma in un intorno dell'origine. Calcolo dell'integrale della gaussiana sulla retta mediante gli integrali doppi. Teorema di Gulidno sul volume dei solidi di rotazione (con dim.).

Lezione del 9/1/2023 (L):
Esercizi su integrali tripli.

Lezione del 10/1/2023 (S):
Curve parametriche, definizione ed esempi. Curve regolari, retta tangente. Curve equivalenti. Lunghezza di un arco di curva, definizione e legame con l'approssimazione mediante poligonali.

Lezione del 13/1/2023 (S):
Esempio di calcolo di retta tangente e lunghezza. Campi vettoriali. Campi conservativi, potenziale. Cami irrotazionali. Un campo conservativo è irrotazionale (con dim.). Un coampo irrotazionale definito ovunque, o su un rettangolo, è conservativo (con dim.). Metodo di calcolo del potenziale. Integrali curvilinei di campi vettoriali. L'integrale di un campo conservativo è pari alla differenza di potenziale agli estremi (dim. rinviata alla lezione successiva).

Lezione del 16/1/2023 (L):
Esercizi su curve e campi vettoriali.

Lezione del 17/1/2023 (S):
L'integrale di un campo conservativo è pari alla differenza di potenziale agli estremi (dimostrazione). Corollario: l'integrale di un campo conservativo dipende solo dal punto iniziale e finale, ed è nullo su una curva chiusa. Esempio di campo irrotazionale non conservativo. Integrale curvilineo di funzioni, definizione. Invarianze degli integrali curvilinei rispetto a curve equivalenti. Esercizi.

Lezione del 20/1/2023 (S):
Richiami sul prodotto vettoriale. Superfici paramteriche in R³, definizione. Punti regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie, integrali di superficie di funzioni. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R³ (senza dim.). Teorema di Stokes in R³. (senza dim.).