Ulteriori complementi riguardanti la trattazione del
corpo rigido: momento di inerzia rispetto a un'asse di
rotazione fisso. Pendolo composto e analogia delle sue
equazioni del moto con quelle del pendolo matematico.
Rivisitazione del problema del pendolo, come
esempio guida per comprendere l'introduzione delle
equazioni di Lagrange: equazioni del moto e calcolo
della reazione vincolare, in assenza di attrito.
Rif.: I video riguardanti il
corpo rigido (parte 5)
e il
corpo rigido (parte 6),
oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Sistemi vincolati di N punti materiali. Vincoli olonomi
e coordinate libere. Spostamenti virtuali e velocità
virtuali. Vincoli bilateri e ideali. Cenni ai vincoli
anolonomi e unilateri. Principio di D'Alembert.
Rif.: paragrafo 3.2 e prima parte della sezione 3.3.1
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 3
Rif.: La prima metà del video riguardante l'introduzione delle
equazioni di Lagrange (parte 1), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezione del 17/4
Giroscopio sottoposto a un sistema di forze esterne a
momento totale nullo: soluzione esplicita delle equazioni di
Eulero e (cenni alla) descrizione del moto con i coni di
Poinsot. Cenni alla trattazione del caso di un corpo rigido
con momenti principali d'inerzia tutti diversi tra loro.
Rif.: Il video riguardante il
corpo rigido (parte 4)
e i
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezione del 15/4
Inizio della trattazione del corpo rigido: operatore di
inerzia e sue proprietà; assi principali di inerzia.
Equazioni di Eulero; angoli di Eulero.
Sistemi di forze equivalenti; dinamica di gravi
nel caso che siano corpi rigidi.
Rif.: sezioni 2.7.3 e 2.7.4, proposizione 2.25
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 2
Rif.: I video riguardanti il
corpo rigido (parte 2),
il
corpo rigido (parte 3)
e i
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Si tenga presente che non tutti gli argomenti discussi
nelle video-registrazioni sono stati trattati a lezione;
ci si limiti a quelli elencati qui sopra!
Lezione del 13/4
Richiami sulla dinamica dei sistemi formati da molti
punti materiali: seconda equazione cardinale della
dinamica, momento angolare interno (=spin), teorema di
Konig.
Alcuni elementi di teoria della gravitazione:
dimostrazione del teorema del guscio sferico, cenni al
teorema del flusso (o di Gauss) e al teorema della
divergenza.
Inizio della discussione sulla dinamica dei sistemi
formati da molti punti materiali: definizione di baricentro,
prima equazione cardinale della dinamica.
Lezione del 1/4
Teorema di Coriolis sulla composizione delle
accelerazioni. Dinamica dei moti relativi: forze apparenti
(di trascinamento, centrifuga e di Coriolis),
relatività Galileiana.
Cinematica dei moti relativi: teorema di composizione
delle velocità; introduzione della velocità
angolare.
Rif.: inizio della sezione 2.6
degli "Appunti di
Meccanica Razionale".
Rif.: Il video riguardante i
moti
relativi (parte 1) e i
corrispondenti appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Fine della discussione della stabilità asintotica
di un punto di minimo (stretto) del potenziale, per
problemi meccanici 1D in presenza di attrito.
Un'ulteriore versione del teorema di Lyapunov (relativo al
secondo criterio di stabilità) che garantisce la
stabilità asintotica di un punto di minimo (stretto)
del potenziale, per problemi meccanici a più di un
grado di libertà e in presenza di attrito.
Discussione della strategia per le stime del periodo di
oscillazione, in intervalli dove la derivata seconda del
potenziale cambia segno.
Ultime considerazioni sulle stime del periodo di orbite
(periodiche) di oscillazione: descrizione (giusto accennata)
di una tecnica estremamente semplice per ottenere delle
minorazioni del periodo.
Rif: note riguardanti i
"Complementi di meccanica uni-dimensionale".
Rif.: I video riguardanti le
stime di periodo (parte 3),
stime di periodo (parte 4)
e
stime di periodo (parte 5),
oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Moto dell'oscillatore armonico smorzato (in condizioni
di smorzamento grande, piccolo, critico). Descrizione di
un semplice modello matematico di orologio.
Rif: inizio del paragrafo 1.1.2
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
Rif.: almeno metà del video riguardante
il modello di
orologio e
degli appunti
corrispondenti, prodotti per mezzo di un
programma di video-scrittura.
Stime del periodo di orbite (periodiche) di oscillazione:
enunciato e dimostrazione di un teorema che permette di
effettuare delle stime quando si hanno opportune condizioni
sulla derivata seconda del potenziale.
Teorema delle piccole oscillazioni (come immediato
corollario del precedente teorema).
Caratterizzazione dell'oscillatore armonico, come
il sistema il cui potenziale è l'unico
tale che il periodo di oscillazione non
dipende dalle condizioni iniziali.
Rif.: sezione 4.4
degli Appunti
dalle lezioni di Meccanica Razionale, con particolare
riferimento all'enunciato della proposizione 4.7 (senza
dimostrazione).
Lezione del 9/3
Fine della dimostrazione del teorema di Lyapunov (relativo
al secondo criterio di Lyapunov) per quanto riguarda la
stabilità asintotica.
Discussione completa del modello di Lotka-Volterra.
Rif: paragrafo 1.1.3, fine del par. 1.1.5, esercizio
1.5 (all'interno del par. 1.1.7) e un'osservazione
(precedente il corollario 1.2) all'interno del
paragrafo 1.1.8
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
Alternativamente, il sistema di Lotka-Volterra è
trattato in modo meno esteso, ma senza interruzioni,
all'interno del paragrafo 4.2 (nel cap. 4) degli
"Appunti
di Fisica Matematica 1".
Rif.: i video riguardanti il
modello di
Lotka-Volterra (parte 1) e il
modello di
Lotka-Volterra (parte 2), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezione del 6/3
Alcuni complementi riguardanti il metodo
d'indagine dell'analisi qualitativa per sistemi
meccanici conservativi e uni-dimensionali.
Rif.: Il breve video riguardante
i complementi
dell'analisi qualitativa e l'inizio degli
appunti
corrispondenti, prodotti per mezzo di un programma di
video-scrittura.
Punti di equilibrio stabili per sistemi autonomi e
funzioni di Lyapunov, definizioni; teorema di Lyapunov
(relativo al secondo criterio di stabilità di
Lyapunov), enunciato e dimostrazione.
Rif.: paragrafi 1.1.6 e 1.1.8
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
Rif.: I video riguardanti il
Teorema di Lyapunov,
oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezione del 4/3
Introduzione all'analisi qualitativa per problemi di
meccanica uni-dimensionali, soggetti a forze puramente
posizionali: il caso dell'oscillatore armonico.
Conservazione dell'energia per problemi di meccanica
uni-dimensionale con forze puramente posizionali: soluzione
generale con il metodo delle quadrature.
Introduzione all'analisi qualitativa per problemi di
meccanica uni-dimensionali, soggetti a forze puramente
posizionali: il caso del repulsore armonico.
Generalità sulle equazioni differenziali
ordinarie. Problema di Cauchy; teorema di esistenza,
unicità e dipendenza continua dai dati iniziali per
la soluzione del problema di Cauchy (solo enunciato e
discussione del suo significato).
Problema di Cauchy per la meccanica uni-dimensionale con
forze puramente posizionali; soluzioni nei casi semplici:
moto dei gravi, oscillatore armonico, oscillatore armonico
pesante, repulsore armonico.
Rif.: paragrafi 1.1.1, 1.1.4 e inizio del paragrafo
1.1.7 degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
Conservazione dell'energia per problemi di meccanica
uni-dimensionale con forze puramente posizionali.
Inizio del paragrafo 1.1.7 degli
"Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
