Il teorema di Liouville sulla preservazione del volume
nello spazio delle fasi.
Rif.: La dimostrazione presentata durante la lezione, ripercorre
quella riportata nel cap. 3 del libro di V.I. Arnold: "Metodi
matematici della meccanica classica". Alternativamente, si
può far riferimento alla sezione 12.5
degli Appunti
dalle lezioni di Meccanica Razionale, con particolare
riferimento al lemma 12.6 e al teorema 12.7.
Elementi di calcolo variazionale: definizione di
funzionale e di variazione di un funzionale. Esempio di
calcolo della variazione della lunghezza di una curva (nel
piano) che ha estremi fissati.
Discussione del punto (3) della prova scritta di luglio
2017, come ulteriore esempio di determinazione della
Hamiltoniana e delle equazioni di Hamilton, con conseguente
ricerca di alcune soluzioni particolari.
Rif.: il
testo
e la
soluzione
del tema d'esame della prova scritta di luglio 2017.
Lezione del 30/5
Prosecuzione della discussione del tema d'esame del
12/6/2012, riadattato in modo da includere anche il calcolo
dell'energia cinetica per un corpo rigido: calcolo delle
equazioni di Lagrange e studio completo della
stabilità dei punti di equilibrio al variare dei
parametri.
Rif.: il
testo
e la
soluzione
del tema d'esame del 12/6/2012.
Rif.: I video riguardanti gli esercizi di
meccanica lagrangiana (parte 7),
meccanica lagrangiana (parte 8)
e i relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Duplice trattazione del calcolo della Lagrangiana e delle
equazioni di Lagrange per il pendolo rotante: prima, in un
sistema di riferimento inerziale e, successivamente, in uno
solidale al piano verticale in cui ruota il pendolo.
Soluzione della parte finale del tema d'esame proposto in
occasione del secondo esonero dalla prova scritta nel corso
dell'a.a. 2015/16. Discussione del punto (3), come ulteriore
esempio di determinazione delle costanti del moto, con
conseguente riduzione del problema a un numero di gradi di
libertà inferiore; problemi di meccanica
unodimensionale "a massa variabile".
Rif.: il
testo
e la
soluzione
di quel problema.
Rif.: Il video riguardante la discussione di alcuni esercizi di
meccanica lagrangiana (parte 9)
e i relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Discussione del tema d'esame del 12/6/2012, riadattato in
modo da includere anche il calcolo dell'energia cinetica per
un corpo rigido e fino allo studio generale della
stabilità dei punti di equilibrio (eccezion fatta per
il "caso critico").
Rif.: il
testo
e la
soluzione
del tema d'esame del 12/6/2012.
Rif.: Il video riguardante gli esercizi di
meccanica lagrangiana (parte 6) e la prima ora della videoregistrazione a proposito
degli esercizi di
meccanica lagrangiana
(parte 7), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Tutorato del 23/5
Tema d'esame proposto in occasione del
secondo esonero dalla prova scritta nel corso
dell'a.a. 2015/16.
Rif.: il
testo
e la
soluzione
di quel problema.
Lezione del 23/5
Tema d'esame di febbraio 2003 (riadattato in modo da
includere anche il calcolo dell'energia per un corpo
rigido): trattazione completa della
biforcazione di un punto di equilibrio stabile (con
applicazione diretta del teorema di Lagrange-Dirichlet nel
caso critico).
Descrizione (con legge sia anolonoma che olonoma) del
vincolo cui è soggetto un corpo rigido di forma
circolare che rotola senza strisciare su una guida
rettilinea. Calcolo dell'energia cinetica per un tale
oggetto.
Rif.: La parte finale del video riguardante gli esercizi di
meccanica lagrangiana (parte 4), oltre a quello che si occupa della
meccanica lagrangiana
(parte 5) e i
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezioni del 18/5
Determinazione dei punti di equilibrio per sistemi
Lagrangiani e studio della loro stabilità:
teoria generale.
Linearizzazione delle
equazioni di Lagrange in prossimità di un punto di
equilibrio; diagonalizzazione simultanea della matrice
cinetica e dell'Hessiano del potenziale; modi normali di
oscillazione. Criteri sufficienti per determinare la
stabilità o l'instabilità di un punto di
equilibrio.
Rif.: sezione 3.9
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 3.
Rif.: la parte finale del video riguardante le
equazioni di
Lagrange (parte 7), tutta la videoregistrazione a
proposito delle
equazioni di Lagrange (parte 8)
e i relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Tema d'esame di febbraio 2003 (riadattato in modo da
includere anche il calcolo dell'energia per un corpo
rigido): primo esempio di studio della stabilità dei
punti di equilibrio al variare dei parametri.
Rif.: La prima ora della videoregistrazione a proposito
degli esercizi di
meccanica lagrangiana (parte 4)
e i relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezioni del 16/5
Lagrangiana del problema a due corpi: giustificazione
delle leggi di conservazione della quantità di moto
e del momento angolare totali, come applicazione del
teorema di Noether.
Conservazione dell'energia generalizzata nel formalismo
Lagrangiano; energia totale meccanica per sistemi
meccanici.
Struttura generale della Lagrangiana e delle equazioni
di Lagrange; matrice cinetica e sue proprietà.
Rif.: conclusione della sezione 3.3.1
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 3
Teorema di Lagrange-Dirichlet, come corollario del teorema
di Lyapunov.
Determinazione dei punti di equilibrio per sistemi
Lagrangiani e studio della loro stabilità:
teoria generale.
Inizio della discussione riguardo alla linearizzazione delle
equazioni di Lagrange in prossimità di un punto di
equilibrio.
Rif.: sezione 3.9
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 3.
Rif.: I video riguardanti le
equazioni di Lagrange (parte 5),
equazioni di Lagrange (parte 6) e la prima ora della videoregistrazione a proposito delle
equazioni di Lagrange (parte 7),
oltre i relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Tutorato del 11/5
Discussione della soluzione di un esercizio tratto dal
tema d'esame della prova scritta del 29/1/2018.
Rif.: il
testo
e la
soluzione
del corrispondente tema d'esame.
Lezione del 11/5
Un ulteriore esempio di calcolo della Lagrangiana e
delle equazioni di Lagrange: il pendolo sferico.
Variabili cicliche e conservazione dei momenti cinetici
ad esse coniugati. Teorema di Noether.
Conservazione dell'energia generalizzata nel formalismo
Lagrangiano; energia totale meccanica per sistemi
meccanici.
Rif.: sezione 3.7
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 3
Rif.: Il video riguardante le
equazioni di
Lagrange (parte 4), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezioni del 9/5
Discussione dell'equivalenza delle equazioni di Lagrange
rispetto a quelle di Newton per sistemi meccanici con
vincoli olonomi, bilateri e ideali.
Esempi di calcolo della Lagrangiana e
delle equazioni di Lagrange: il pendolo matematico e i moti
centrali.
Invarianza in forma delle equazioni di Lagrange.
Rif.: alcuni esempi in sezione 3.5
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 3
Rif.: I video riguardanti le
equazioni di
Lagrange (parte 3) e i primi 24 minuti del video a
proposito delle
equazioni di
Lagrange (parte 4), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezioni del 4/5
Ulteriori complementi riguardanti la trattazione del
corpo rigido: momento di inerzia rispetto a un'asse di
rotazione fisso. Pendolo composto e analogia delle sue
equazioni del moto con quelle del pendolo matematico,
esempio di calcolo del momento di inerzia rispetto a un asse
di rotazione fisso, l'asta rigida omogenea; teorema di
Huygens-Steiner.
Rivisitazione del problema del pendolo, come
esempio guida per comprendere l'introduzione delle
equazioni di Lagrange: equazioni del moto e calcolo
della reazione vincolare, in assenza di attrito.
Rif.: sezione 2.7.3 e proposizione 2.35
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 2
Rif.: Il video riguardante il
corpo rigido (parte 7)
e i
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Si tenga presente che non tutti gli argomenti discussi
nelle video-registrazioni sono stati trattati a lezione;
ci si limiti a quelli elencati qui sopra!
Sistemi vincolati di N punti materiali.
Vincoli olonomi e coordinate libere. Spostamenti virtuali
e velocità virtuali. Vincoli bilateri e
ideali. Cenni ai vincoli anolonomi e unilateri.
Deduzione delle equazioni di Lagrange.
Rif.: paragrafo 3.2 e prima parte della sezione 3.3.1
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 3
Rif.: I video riguardanti l'introduzione delle
equazioni di Lagrange (parte 1)
e equazioni di
Lagrange (parte 2), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezioni del 2/5
Complementi riguardanti la trattazione del corpo rigido:
ellissoide di inerzia, angoli di Eulero, formule di Poisson,
lavoro (nullo) delle forze interne che realizzano il vincolo
di rigidità.
Giroscopio sottoposto a un sistema di forze esterne a
momento totale nullo: soluzione esplicita delle equazioni di
Eulero e descrizione del moto con i coni di
Poinsot.
Richiami sulla dinamica dei sistemi formati da molti
punti materiali: baricentro, equazioni cardinali della
dinamica, momento angolare interno (=spin), teorema di
Konig.
Inizio della trattazione del corpo rigido: operatore di
inerzia e sue proprietà; assi principali di inerzia.
Alcuni ulteriori elementi di teoria della gravitazione:
cenni al teorema del flusso (o di Gauss) e al teorema della
divergenza.
Rif: vedasi la parte finale di appunti e video segnalati
come riferimento per le precedente lezione (quella del 6/4).
Moti centrali:
discussione delle correzioni alla III legge di Keplero nel
problema dei 2 corpi.
Rif: vedasi la parte finale di appunti e video segnalati
come riferimento per le precedente lezione (quella del 4/4).
Alcuni elementi di teoria della gravitazione:
dimostrazione del teorema del guscio sferico, cenni al
teorema del flusso (o di Gauss) e al teorema della
divergenza.
Problema dei 2 corpi: moto del baricentro, coordinate
eliocentriche, massa ridotta.
Rif: prima metà del paragrafo 2.4 (fino alla parte
riguardante l'energia)
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 2.
Studio qualitativo del moto del pendolo rotante,
discussione del fenomeno di biforcazione dei punti
di equilibrio stabili e instabili.
Rif.: I video riguardanti il
pendolo rotante
(parte 1) e il
pendolo rotante
(parte 2), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
È stata proposta la soluzione (individuale) del
primo esonero del 13/5/2008.
Rif.: il
testo
e la
soluzione manoscritta dell'esercizio proposto.
Lezione del 28/3
Esercizi 1, 2 del primo esonero del 7/4/1992 con
discussione accurata della strategia per effettuare la stima
del periodo (a proposito del punto 2).
Rif.: una raccolta di alcuni
"vecchi primi
esoneri" (dall'a.a. 1991/92 al 2001/02).
Rif.: Il video riguardante la
soluzione del
primo esonero del 1992 (parte 1), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura
(non si consideri la parte riguardante l'esercizio
3 di quell'esonero, per la cui soluzione sono richieste
opportune stime dell'energia dissipata).
Trattazione completa della stabilità asintotica
di un punto di minimo (stretto) del potenziale, per
problemi meccanici 1D in presenza di attrito.
Un'ulteriore versione del primo teorema di Lyapunov
in modo da garantire la stabilità asintotica
di un punto di minimo (stretto) del potenziale, per
problemi meccanici a più di un grado di
libertà e in presenza di attrito.
Esercizio di stime del periodo di librazione per il
pendolo (il calcolo esatto di tale periodo si può
effettuare valutando per serie un opportuno integrale
ellittico; per maggiori dettagli, si può procedere
facendo una specie di collage tra le prime pagine
di questo
vecchio temo d'esame del corso di LC1 e
di quest'altro).
Discussione della strategia per le stime del periodo di
oscillazione, in intervalli dove la derivata seconda del
potenziale cambia segno.
Ultime considerazioni sulle stime del periodo di
orbite (periodiche) di oscillazione: descrizione di
una tecnica estremamente semplice per ottenere delle
minorazioni del periodo.
Rif: note riguardanti i
"Complementi di meccanica uni-dimensionale".
Rif.: I video riguardanti le
stime di periodo (parte 3),
stime di periodo (parte 4)
e
stime di periodo (parte 5),
oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Caratterizzazione dell'oscillatore armonico, come
il sistema il cui potenziale è l'unico
tale che il periodo di oscillazione non
dipende dalle condizioni iniziali.
Rif.: sezione 4.4
degli Appunti
dalle lezioni di Meccanica Razionale, con particolare
riferimento all'enunciato della proposizione 4.7 (senza
dimostrazione).
Applicazione del primo teorema di Lyapunov a un semplice
modello di dinamica delle popolazioni: conclusione della
discussione del modello di Lotka-Volterra.
Rif: paragrafo 1.1.3, fine del par. 1.1.5, esercizio
1.5 (all'interno del par. 1.1.7) e un'osservazione
(precedente il corollario 1.2) all'interno del
paragrafo 1.1.8
degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
Alternativamente, il sistema di Lotka-Volterra è
trattato in modo meno esteso, ma senza interruzioni,
all'interno del paragrafo 4.2 (nel cap. 4) degli
"Appunti
di Fisica Matematica 1".
Rif.: I video riguardanti il
modello di
Lotka-Volterra (parte 1) e il
modello di
Lotka-Volterra (parte
2), oltre ai
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Stime del periodo di orbite (periodiche) di oscillazione:
enunciato e dimostrazione di un teorema che permette di
effettuare delle stime quando si hanno opportune condizioni
sulla derivata seconda del potenziale.
Teorema delle piccole oscillazioni (come immediato
corollario del precedente teorema).
Rif: note riguardanti i
"Complementi di meccanica uni-dimensionale".
Rif.: I video riguardanti le
stime di periodo (parte 1)
e
stime di periodo (parte 2),
oltre alla prima metà (circa) dei
relativi appunti
prodotti per mezzo di un programma di video-scrittura.
Lezioni del 14/3
Alcuni complementi riguardanti il metodo
d'indagine dell'analisi qualitativa per sistemi
meccanici conservativi e uni-dimensionali.
Rif.: Il breve video riguardante
i complementi
dell'analisi qualitativa e l'inizio degli
appunti relativi
alla quarta lezione prodotti per mezzo di un programma
di video-scrittura.
Punti di equilibrio stabili per sistemi autonomi e
funzioni di Lyapunov, definizioni; primo teorema di
Lyapunov, enunciato e dimostrazione.
Teorema di Lagrange-Dirichlet per per sistemi
meccanici conservativi e uni-dimensionali, come
corollario del primo teorema di Lyapunov.
Introduzione all'analisi qualitativa per problemi di
meccanica uni-dimensionali, soggetti a forze puramente
posizionali: il caso dell'oscillatore armonico.
Conservazione dell'energia per problemi di meccanica
uni-dimensionale con forze puramente posizionali: soluzione
generale con il metodo delle quadrature.
Introduzione all'analisi qualitativa per problemi di
meccanica uni-dimensionali, soggetti a forze puramente
posizionali: il caso del repulsore armonico.
Generalità sulle equazioni differenziali
ordinarie. Problema di Cauchy; teorema di esistenza,
unicità e dipendenza continua dai dati iniziali per
la soluzione del problema di Cauchy (solo enunciato e
discussione del suo significato).
Problema di Cauchy per la meccanica uni-dimensionale con
forze puramente posizionali; soluzioni nei casi semplici:
moto dei gravi, oscillatore armonico, oscillatore armonico
pesante, repulsore armonico.
Rif.: paragrafi 1.1.1, 1.1.4 e inizio del paragrafo
1.1.7 degli "Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
Conservazione dell'energia per problemi di meccanica
uni-dimensionale con forze puramente posizionali.
Inizio del paragrafo 1.1.7 degli
"Appunti di
Meccanica Razionale", cap. 1.
