Geometria   canale G-O

05/03/2024: Definizione di R^n; somma e prodotto per scalare in R^n e loro proprietà; lo zero di R^n e sue proprietà. Ripasso su linguaggio e formalizzazione (quali frasi si traducono in "per ogni" o in "esiste" o in uguaglianza; uguaglianza di insiemi equivale a una doppia inclusione). Intuizione geometrica di R^2 e R^3. Definizione di rette in R^n: forma parametrica L(P_0,v), criterio di uguaglianza per le rette, esempi di intersezione di due rette, definizione di parallelismo
08/03/2024: Esercizi su rette affini: uguaglianza fra rette (riparametrizzando e equivalentemente con la doppia inclusione), appartenenza dello 0 a una retta. Piani in R^3 in forma parametrica. Definizione del prodotto scalare e della norma in R^n; in R^2 il prodotto scalare tra due vettori è zero se e solo se i vettori sono ortogonali oppure un vettore è nullo ("dimostrazione"). In R^2 il prodotto scalare dà l'angolo; generalizzazione a R^n: Teorema di Cauchy-Schwarz e definizione di angolo e ortogonalità in R^n.
12/03/2024: Multilinearità del prodotto scalare; Disuguaglianza triangolare; Proiezione di un vettore lungo un altro vettore non-nullo. Teorema di Pitagora e di Carnot. Forma cartesiana delle rette in R^2 e R^3. Angolo fra due rette.
15/03/2024: Uguaglianza e parallelismo fra rette in forma cartesiana in R^2. Piani in R^3 in forma cartesiana. Esempio di passaggio da una forma all'altra. Definizione di spazio vettoriale su R e su C. Esempi astratti con insiemi di funzioni e di polinomi.
19/03/2024: Definizione di sottospazio di uno spazio vettoriale e primi esempi ({0}, V, rette passanti per l'origine, sottospazio di R^3 definito da un equazione x_1=0). Span: sottospazio generato da un insieme di vettori. Dipendenza lineare.
22/03/2024: Dipendenza e indipendenza lineare di n vettori. Se 0 è nell'insieme, allora sono dipendenti. Dato un insieme di n vettori, se un sottoinsieme contiene vettori dipendenti, anche tutti gli n vettori sono dipendenti. Se n=2: due vettori sono dipendenti se e solo se uno di loro è multiplo dell'altro (sono multipli) e sono indipendenti se e solo se non sono multiplo. Se n è almeno 3 non basta: affinché n vettori siano indipendenti devono essere non-multipli a coppie, ma non è sufficiente. Definizione di insieme di generatori e di base. Esempi. Coordinate di un vettore rispetto a una base
26/03/2024: Base canonica di R^n e C^n e verifica che sono di una base. Teorema (senza dimostrazione): tutte le basi di uno spazio vettoriali V hanno lo sgtesso numero di elementi. Definzione di dimensione di uno spazio vettoriale. Algoritmo di estrazione di una base da un insieme di generatori.
29/03/2024: NO LEZIONE
02/04/2024: NO LEZIONE
05/04/2024: (Algoritmo di) estensione di un insieme indipendente ad una base. Primi corollari: se V ha r generatori allora dim(V) ≤ r, se V contiene s vettori linearmente dipendenti allora dim(V) ≥ s. Altri corollari: se dim(V) ha dimensione n, allora: 1) non bastano meno di n vettori per generare 2) se prendiamo più di n vettori non possono essere lin. indipendenti 3) affinchè n vettori siano una base basta controllare che generino o basta controllare che siano indipendenti. I sottospazi di uno spazio vettoriali V sono a loro volta spazi vettoriali. Se V ha dimensione finita, anch'essi hanno una dimensione finita. Intersezione di sottospazi è un sottospazio. L'unione non è sempre un sottospazio. Somma di sottospazi: definizione e verifica che è un sottospazio.
09/04/2024: Formula di Grassmann: dimostrazione e esempi. Esempi di non sottospazi. Se W è un sottospazio di uno spazio V di dimensione finita, si ha dim(W)=dim(V) se e solo se W=V.
11/04/2024: Definizione di somma diretta e esempi (polinomi pari e dispari in dimensione infinita). Dati sottospazi A e B in somma diretta, ogni vettore della somma si scrive in modo unico come somma di un vettore di A e un vettore di B. Matrici: definizione e struttura di uno spazio vettoriale dell'insieme delle matrici r×c.
12/04/2024: Esercizi. Matrici simmetriche e antisimmetriche formano sottospazi vettoriali di R^{n×n} in somma diretta e la loro somma è tutto R^{n×n} (calcolo della dimensione di questi sottospazi con il trucco di Gauss :). Trasposta di una matrice; la trasposizione è lineare.
16/04/2024: Definizione di sistemi lineari, omogenei e non omogenei, e esempi. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio lineare di R^n (o C^n). Matrice completa associata ad un sistema lineare. Mosse di Gauss.
19/04/2024: Le mosse di Gauss sulla matrice completa di un sistema non cambiano le soluzioni del sistema. Definizione di matrici ridotte a scala. I sistemi la cui matrice completa associata è ridotta a scala sono facili da risolvere; in particolare il sistema ammette soluzioni se e solo se l'ultima colonna non contiene pivot.
23/04/2024: Algoritmo di Gauss-Jordan e matrici fortemente ridotte a scala. Usare l'algoritmo di Gauss-Jordan per risolvere sistemi (ma non è l'unico modo). Rango: definizione, idea intuitiva in relazione ai sistemi. Rango per righe = rango per colonne (senza dimostrazione). L'algoritmo di Gauss permette di calcolare il rango: le mosse non cambiano il rango e il rango di una matrice a scala è uguale al numero di pivot.
26/04/2024: NO LEZIONE
30/04/2024: Uso dell'algoritmo di Gauss per trovare una base di un sottospazio, dati i generatori. Sottospazi affini. L'insieme di soluzioni di un sistema disomogeneo è vuoto oppure un sottospazio affine di R^n (o C^n) (una soluzione particolare più tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato). Teorema di Rouché-Capelli.
03/05/2024: Applicazione dei sistemi alla statica. Esercizi. Un possibile modo per trovare una soluzione particolare di un sistema e una base dell'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato scegliendo valori per delle variabili libere. Notazione matriciale di un sistema, prodotto matrice per vettore e matrice per matrice.
07/05/2024: Equazioni cartesiane e parametriche di un sottospazio vettoriale. Algoritmi passare da uno all'altro. Posizioni reciproche di rette e piani.
10/05/2024: Definizione di applicazioni lineari. Esempi, anche la derivazione sugli spazio dei polinomi o su spazi di funzioni infinitamente derivabili. Applicazione lineare indotta da una matrice. Definizione di Kernel e Immagine.
14/05/2024: Teorema della dimensione e applicazioni. Una mappa lineare è iniettiva se e solo se il suo Kernel è zero e, se il codominio ha dimensione finita, è surgettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del codominio. Isomorfimi: Una mappa lineare tra spazi della stessa dimensione è iniettiva se e solo se è suriettiva, se e solo se è biettiva. In tal caso l'inversa (insiemistica) è lineare.
17/05/2024: Composizione di funzioni lineari è lineare. Prodotto fra matrici. Il prodotto tra matrici è associativo, distributivo rispetto alla somma ma non commutativo. Un'applicazione lineare è determinata dall'immagine di una base.
21/05/2024: Invertibilità di matrici: una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se ammette una inversa, ovvero una matrice quadrata B tale che AB = BA = Identità (basta solo AB=Identità oppure solo BA=Identità). Se A è invertibile, il sistema Ax = b ha soluzione x = A^{-1}b. Data un'applicazione lineare F e due basi, B del dominio e D del codominio, definizione della matrice rappresentativa di F nelle basi, che denotiamo [F]_{DB}. Calcolo delle colonne della matrice rappresentative, ovvero sono le coordinate di F(b_i) al variare di b_i in B. Composizione: date F:V→W e G: W→Z, e basi B,C,D di V,W,Z, si ha [G]_{DC}[F]_{CB} = [G∘F]_{BD}. Formula di cambio base con le matrici rappresentative dell'identità: [F]_{C'B'} = [Id]_{C; C} [F]_{CB} [Id]_{B B'}. Le matrici [Id]_{B B'} sono matrici di cambio base e sono quelle usate in fisica per il cambio di coordinate (quando non c'è traslazione). [Id]_{BC} = [Id]_{CB}^{-1}. Applicazione al calcolo di una riflessione
24/05/2024: Definizione del Determinante come unica funzione multilineare sulle righe, alternante sulle righe e tale che det(Id)=1. Conseguenze della definizione e come cambia il determinante con le mosse di Gauss. Data A matrice quadrata, det(A)≠0 se e solo se rango(A) è massimo. Determinante di matrice triangolare superiore/inferiore. Calcolo del determinante 2x2 attraverso le proprietà del determinante e verifica della formula con le permutazioni di S_2. Calcolo del determinante 3x3 con la formula con le permutazioni di S_3. Regola di Sarrus. Formula del calcolo del determinante con le permutazioni di S_n (no dimostrazione). Conseguenze: Determinante è anche l'unica funzione multilineare sulle colonne e alternante sulle colonne tale che det(Id)=1. Definizione di Complemento Algebrico e Sviluppo di Laplace rispetto ad una riga o ad una colonna. Esempi. Formula per il calcolo di A^{-1} utilizzando i complementi algebrici.
28/05/2024: Complessità computazionale del calcolo del determinante usando Gauss VS Laplace. |Determinante| è un volume: il modulo del determinante di una matrice 3x3 è il volume del parallelepipedo in R^3 individuato dalle colonne; il modulo del determinante di una matrice 2x2 è l'area del parallelogramma in R^2 individuato dalle colonne. Teorema di Binet: esempi e interpretazione con volumi e trasformazioni di R^3. Una matrice nxk Una matrice ha rango almeno r se e solo se contiene una sottomatrice r x r invertibile.
31/05/2024 Teorema degli Orlati e uso per il calcolo del rango. Esempi di soluzione di sistemi parametrici usando il teorema degli orlati e il teorema di Cramer. Definizione ed esempi di endomorfismi.
04/06/2024 Data una matrice A , L_A è diagonalizzabile se e solo se esiste una matrice invertibile M (la giusta matrice di cambio base) tale che M^{-1}AM é diagonale. Definizione di autovalori, autovettori e autospazi. Definizione del polinomio caratteristico per matrici e per endomorfismi astratti (ben definito per Binet). Esempi di endomorfismi di spazi vettoriali reali che siano diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Esempi di endomorfismi di spazi vettoriali complessi che siano diagonalizzabili e non diagonalizzabili.
07/06/2024 Polinomio caratteristico per matrici e per endomorfismi astratti: per un endomorfismo astratto è il polinomio caratteristico di una matrice rappresentativa in una base, e dipende dalla scelta della base. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. La molteplicità algebrica è maggiore o uguale alla molteplicità geometrica. Gli autospazi di un endomorfismo sono in somma diretta (senza dimostrazione) (warning: somma diretta per 3 o più sottospazi non è equivalente a avere intersezione banale). Teorema: un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita è diagonalizzabil se e solo se la somma delle dimensioni degli autospazi è dim(V), se e solo se il polinomio caratteristico ha tutte le radici nel campo (sempre vero se il campo è C, non sempre vero se siamo sui reali) e inoltre per tutti gli autovalori la molpeplicità geomeetrica è uguale a quella algebrica. Esempi.
11/06/2024 Definizione di prodotto scalare astratto. Lunghezze (norma), Teorema di Cauchy-Schwarz, e definizione dell'angolo fra vettori non nulli. Definizione di base ortogonale e ortonormale. Teorema: ogni spazio vettoriale (reale) di dimensione finita, con un prodotto scalare ammette una base ortogonale, quindi ammette una base ortonormale, quindi è isomorfo a R^n con il prodotto scalare standard. Definizione del complemento ortogonale a un sottospazio. Teorema: Se V ha dimensione finita, un sottospazio di V e il suo ortogonale sono in somma diretta, e la loro somma è tutto V. Esempio di calcolo dell'ortogonale.
14/06/2024 Dato V di dimensione finita e un sottospazio W, duale del duale di W = W. Basi ortogonali e ortonormali con l'algoritmo di Gram Schmidt. Teorema spettrale.