Settimana

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Settimana

(2 ore)-4/3/2025 – Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi di consolidamento sulle definizioni di base: Gruppi, Anelli e Campi (viste nella prima lezione)

* Esempi di sottoinsiemi di matrici quadrate che non formano un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne (e.g. non-unicità di elemento neutro, elemento neutro destro diverso da elemento neutro sinistro, ecc)

* Gruppo Simmetrico su tre elementi: sua cardinalità, sua tabella moltiplicativa completa; esempio di gruppo non-abeliano

* Gruppo degli invertibili di un campo. Campi con tabelle additiva e moltiplicativa astratte date.

FOGLIO 1 Esercizi (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-11/3/2025-Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi di calcolo di MCD tra due interi

* Interi coprimi

* Calcolo di tutte le soluzioni per l’identità di Bezout tra due interi.

* Esercizi sull’utilizzo dell’algoritmo di Euclide per la determinazione dell’espressione b-adica di un intero.

* Operazioni di addizione e moltiplicazione con espressione b-adica di interi

* Esercizi su equazioni diofantee: CNES per compatibilità di un’equazione diofantea e determinazione di tutte le sue soluzioni (intere) quando essa risulta essere compatibile

FOGLIO 2 Esercizi (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-17/3/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su interi definiti per ricorrenza e calcolo del loro MCD

* MCD fra più interi

* Calcolo di MCD fra più interi, calcolo di tutte le soluzioni per l’identità di Bezout tra più interi.

* Calcolo di mcm fra più interi

* Cardinalità di sottoinsiemi di interi positivi x coprimi con un fissato intero n e minori di n

FOGLIO 3 Esercizi(Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-18/3/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi su divisione euclidea, su calcolo di MCD fra due polinomi a coefficienti razionali e calcolo di un'identita' di Bezout

* Esercizi su polinomi irriducibili in Q[x]

* Esercizi su polinomi irriducibili in IR[x]

* Esercizi su polinomi irriducibili in C[x]

* Caratterizzazioni dei polinomi irriducibili negli anelli di polinomi IR[x] e C[x]

FOGLIO 4 Esercizi (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-25/3/2025-Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi di Combinatoria su sottoinsiemi finiti di interi

* Esercizi di Combinatoria su sottoinsiemi di permutazioni su n elementi

* Esercizi di Combinatoria su sottoinsiemi di applicazioni da un insieme X ad un insieme Y

FOGLIO 5 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 5 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-1/4/2025 – Aula 11

Lezione Prof. Flamini

* Esercizi di Combinatoria su sottoinsiemi di divisori di interi

* Esercizi di Combinatoria su cardinalità di sottoinsiemi del gruppo simmetrico su n elementi e numeri di Fibonacci

* Esercizi di Combinatoria su scacchiere

* Esercizi di Combinatoria su coefficienti bionomiali: induzione, simmetria di binomiali, binomi di Newton ed sottoinsiemi di insiemi

FOGLIO 6 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 6 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-9/4/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

Esercizi su relazioni d’ordine:

(i) ordinamenti parziali e raffinamento ad ordinamento totale con l’utilizzo dei diagrammi di Hasse

(ii) ordinamento prodotto e proiezioni sui fattori come morfismi suriettivi di insiemi ordinati

(iii) ordinamento lessicografico e proiezioni sui fattori non necessariamente morfismi suriettivi di insiemi ordinati

(iv) relazioni su insiemi di funzioni che non individuano relazioni d’ordine

(v) Insiemi ordinati in corrispondenza biunivoca ordinata ma che non sono isomorfi come insiemi ordinati

(vi) Ordinamento lessicografico su prodotto cartesiano n-esimo Y^n, n > 0, e sull’unione di tutti i prodotti cartesiani n-esimi per ogni n >0.

(vii) Ordinamento su IR compatibile con le operazioni di anello (IR, +, x). Il campo complesso C come prodotto cartesiano (piano di Argand-Gauss) e possibili ordinamenti su C: possono essere compatibili con le operazioni di anello (C, +, x) ?

(viii) Ordinamenti su sottoinsiemi finiti di numeri naturali per via della divisibilità in N: diagrammi di Hasse, deduzione di eventuali elementi massimali o elementi minimali dei sottoinsiemi dati rispetto alla relazione di divisibilità; tali elementi sono massimi o minimi?

FOGLIO 7 Esercizi (Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 7 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-16/4/2025-Aula 11

Lezione Prof. Flamini

Esercizi su relazioni d’equivalenza:

(i) relazioni d’equivalenza @ su insiemi di applicazioni Z^X da un insieme X ad un insieme Z ed applicazioni di valutazione ev_a: Z^X → Z che conservano o meno la relazione su Z^X.

(ii) Individuazione dell’unica applicazione definita sull’insieme quoziente Z^X/@ che renda commutativo il diagramma di applicazioni con la proiezione canonica sull’insieme quoziente

(iii) Relazioni d’equivalenza @ su Z, IR o C: determinazione delle classi di equivalenza e degli insiemi quozienti. In particolare, valutazione 2-adica di interi v_2(n)

(iv) Azione di un gruppo G su un insieme X: induce una relazione di equivalenza su X le cui classi sono le orbite degli elementi di X sotto l’azione di G

(v) Data f permutazione di S_5: sottogruppo G = <f> di S_n generato da f ed azione di G su {1,2,3,4,5}: determinazione delle orbite e dell’insieme quoziente

(vi) Azione di S_n su C^n come permutazione delle coordinate dei vettori complessi: calcolo della cardinalità delle orbite per l’azione di S_n

(vii) Determinazione di un modello dell’insieme quoziente (C^n/azione_{S__n}) come sottoinsieme dell’anello dei polinomi C[T], dove T indeterminata

(viii) Deduzione di (C^n/azione_{S__n}) = C^n

FOGLIO 8 Esercizi(Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 8 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)- 22/4/2025

FESTIVITA’ ACCADEMICA SU CALENDARIO ACCADEMICO

Settimana

(2 ore)-29/4/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

(i) Relazione di equivalenza di IR come retta affine e azione del gruppo (Z,+) per traslazione intera: calcolo delle classi di equivalenza, loro descrizione geometrica e descrizione di un modello dell’insieme quoziente

(ii) Relazioni d’equivalenza su IR^2 come piano affine per mezzo di o opportune traslazione intere oppure di moltiplicazione per uno scalare positivo sulla prima coordinata e dell’inverso dello scalare sulla seconda coordinata: calcolo delle classi di equivalenza, loro descrizione geometrica e descrizione di un modello dell’insieme quoziente

(iii) Relazioni d’equivalenza su IR^2 come spazio vettoriale: su IR^2 \ {O} relazione di proporzionalità tra i vettori: calcolo delle classi di equivalenza, loro descrizione geometrica e descrizione di un modello dell’insieme quoziente

(iv) Utilizzo delle congruenze per:

* criterio di divisibilità per 3 o per 9

* criterio di divisibilità per 2 o per 5

* criterio di divisibilità per 2^k

* criterio di divisibilità per 11

* determinazione del resto per la divisione per 10 di numeri interi della forma x^y, con x e y grandi

(v) Equazioni congruenziali ax congruo b (mod m): condizione di compatibilità dell’equazione congruenziale lineare e calcolo di tutte e sole le soluzioni incongruenti modulo m

(vi) Anelli quozienti (Z/nZ, + , ° ): per quali n risultano campi, quando domini di integrità, quando con zero-divisori, quando con elementi nilpotenti

(vii) Gruppo degli invertibili (o delle unità) (U(Z/nZ), °) dell’anello quoziente (Z/nZ, + , ° ) e sottoinsiemi nelle unità soddisfacenti condizioni congruenziali

FOGLIO 9 Esercizi(Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 9 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-6/5/2025 – Aula 11

Lezione Prof. Flamini

(i) Sistemi di congruenze lineari riconducibili a sistemi cinesi di congruenze; Teorema cinese dei resti

(ii) Sistemi di congruenze lineari non riconducibili a sistemi cinesi di congruenze ma compatibili;

(iii) Ideali nell’anello IK[x]: ideali principali

(iv) Ideali coprimi in IK[x], anello prodotto diretto IKxIK: non è un dominio di integrità ma è privo di nilpotenti

(v) IK[x]/(x^2) non è un dominio di integrità: tutti gli zero-divisori sono nilpotenti

FOGLIO 10 Esercizi(Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 10 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-15/5/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

(i) Ideali primi ed ideali massimali in IK[x,y] e struttura di anelli quozienti. Il dominio di integrità IK[x,y] è UFD ma non è PID

(ii) A differenza di IK[x], il dominio di integrità Z[x] non è PID ma è UFD. Ideali massimali non principali in Z[x], ideali principali primi, generati da polinomi irriducibili, ma non massimali in Z[x]

(iii) Contenuto di un polinomio e polinomi primitivi in Z[x]

(iv) Criterio di Eisenstein di irriducibilità di polinomi a coefficienti interi in Q[x] ed in Z[x]

(v) Applicazioni varie. Criterio di Eisenstein è condizione sufficiente ma non necessaria

NB: Spiegazione SENZA UTILIZZO DI TAYLOR FORMALE in IK[x,y] che dimostra che il nucleo del morfismo di anelli IK[x,y]→ IK dato dalla valutazione di polinomi f(x,y) nel punto (p_1,p_2) di IK^2 è l’ideale massimale M_P = (x-p_1, y-p_2)

FOGLIO 11 Esercizi(Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 11 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-26/5/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

(i) Dominio euclideo Z[i]= anello degli interi di Gauss:

* divisione euclidea, resto, calcolo di MCD tra due interi di Gauss e determinazione di un’identità di Bezout,

* ideali massimali generati da alcuni numeri primi di Z,

* anello quoziente Z[i]/(3) come campo con 9 elementi isomorfo al campo (Z/3Z)[x]/(x^2+1), determinazione di inversi di elementi non nulli nel campo quoziente,

(ii) Domini euclidei e non

* Z[1/2] è dominio euclideo; vale per ogni a in Z diverso da zero che Z[1/a] è dominio euclideo

* Z[radice(2)] è dominio euclideo; non vale per ogni a in Z che Z[radice(a)] è dominio euclideo. Controesempio: Z[radice(10)] non è DFU perciò non può essere euclideo

* Z[radice(- 2)] è dominio euclideo; non vale per ogni a in Z che Z[radice(- a)] è dominio euclideo. Controesempio: Z[radice(- 3)] non è DFU perciò non può essere euclideo

(iii) Dominio euclideo delle serie formali IK[[x]]:

* definizione di grado,

* è dominio integro,

* caratterizzazione degli elementi invertibili,

* caratterizzazione dei suoi ideali,

* IK[[x]] è PID con unico ideale massimo (x),

* per ogni n intero positivo IK[[x]]/(x^n) è isomorfo a IK[x]/(x^n),

* determinazione del campo delle frazioni IK((x)):= Q (IK[[x]]) come campo di serie di Laurent, IK[[x]]

* IK[[x]] è un dominio euclideo grazie alla valutazione deg data dal grado precedentemente definito

NB: specchietto di riepilogo posizionamento degli anelli incontrati in tutte le esercitazioni svolte fino a qui: distinzione tra campi, domini euclidei, PID, UFD, Domini integri, Anelli commutativi unitari

FOGLIO 12 Esercizi(Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 12 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-27/5/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

(i) Anello prodotto diretto ZxZ: determinazione del gruppo Aut(ZxZ)

(ii) Gruppo prodotto diretto ZxZ: determinazione del gruppo Aut(ZxZ)

(iii) Gruppi ciclici e non: determinazione di eventuali generatori e di tutti i sottogruppi

* U(Z/8Z) = gruppo invertibili dell’anello Z/8Z: non è ciclico, ha cardinalità 4, è isomorfo al prodotto diretto additivo Z/2Z x Z/2Z (gruppo di Klein) che a sua volta è isomorfo al gruppo di simmetrie di un quadrato od al sottogruppo di S_4 = Sym(4) dato da {Id, (1,4)(2,3), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4)}, esso ammette tre sottogruppi propri di ordine 2 ciclici

* U(Z/9Z): è ciclico, ha cardinalità 6, è isomorfo al gruppo additivo Z/6Z, il Teorema di Lagrange si inverte con unicità: in altri termini, per ogni divisore k di 6 esiste ed è unico il sottogruppo di U(Z/9Z) di ordine k ed inoltre ogni tale sottogruppo è pure ciclico

* U(Z/10Z): è ciclico, ha cardinalità 4, è isomorfo al gruppo additivo Z/4Z (ma non al gruppo di Klein anche se entrambi di cardinalità 4), il Teorema di Lagrange si inverte con unicità: in altri termini, l’unico sottogruppo proprio ha ordine 2 ed è ciclico

(iv) Gruppi di automorfismi e gruppi immagine omomorfa: determinazione della struttura a meno di isomorfismo di gruppi

* Determinazione (a meno di isomorfismo) del gruppo Aut((Z/12Z, +))= gruppo degli automorfismi del gruppo additivo (Z/12Z, +)

* il gruppo additivo (Z/12Z, +) è isomorfo al gruppo moltiplicativo U(Z/13Z)= gruppo invertibili dell’anello Z/13Z

* determinazione (a meno di isomorfismo) di tutti i gruppi immagine omomorfa del gruppo additivo (Z/12Z, +)

* determinazione (a meno di isomorfismo) di tutti i gruppi immagine omomorfa del gruppo moltiplicativo U(Z/12Z) = gruppo invertibili dell’anello Z/12Z

FOGLIO 13=12 STESSO FOGLIO DI PRIMA GUARDARE PIU AVANTI Esercizi(Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 13=12 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)

Settimana

(2 ore)-6/6/2025 -Aula 11

Lezione Prof. Flamini

(i) Dominio euclideo Z[i]= anello degli interi di Gauss:

* se a e b coprimi in Z, l’anello quoziente Z[i]/(a+ b i) viene isomorfo all’anello quoziente (Z/(a^2+b^2)Z) e pertanto è un campo se e solo se la norma di a+ib è un primo di Z

* Z[i]/(6+ 3 i ): ideali coprimi, calcolo della cardinalità e della caratteristica dell’anello quoziente

(ii) Q[x,y] e suoi domini quozienti B come DFU. Polinomio irriducibile in Q[x,y] che diventa elemento riducibile nel dominio quoziente B

(iii) Identità di Eulero in Z/nZ. Caso particolare di n=p primo.

* Utilizzo di Identità di Eulero per il calcolo mod p di b^k con b e k interi positivi molto grandi

* Equazioni congruenziali non-lineari (mod n); esponenziali (mod n)

(iv) Calcolo ed unicità di soluzioni intere di y^3 = x^2+1 con l’utilizzo di Z[i]= anello degli interi di Gauss

FOGLIO 14 Esercizi(Prof. Flamini)

EVENTUALE SCANSIONE SVOLGIMENTO FOGLIO 14 Esercizi SE NON FOSSE SUFFICIENTE 2 ORE (Prof. Flamini)