Analisi Matematica II per Ing. Edilizia, Ing. Edile-Architettura, A.A. 2021-22

Testi consigliati

Testi di riferimento per la teoria:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica, McGraw Hill (2011)
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori (2001)
C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica, Analisi Matematica 2, Zanichelli, prima ed. (1990), oppure seconda ed. (2016)

Testi consigliati per gli esercizi
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, volume II, parte 1 e 2, Liguori Editore, oppure nuova edizione ampliata edita da Zanichelli (2017).
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 2, Zanichelli, 2011.
Il testo [BDG] segnalato per la teoria contiene anche numerosi esercizi.

E' disponibile il diario delle lezioni svolte.

Raccolte di esercizi

Qui sotto sono alcune raccolte di esercizi a cura del docente, che forniscono esempi di tutte le tipologie rilevanti per l'esame scritto.

Per ulteriori esercizi, oltre ai testi segnalati sopra, si possono consultare raccolte pubblicate da altri docenti, ad es. i proff. Isola , Braides e Tauraso.

Esercizi su massimi e minimi per funzioni a più variabili e risposte .
Esercizi su topologia e proprietà generali di funzioni a più variabili e risposte .
Esercizi su curve cartesiane e massimi/minimi vincolati e risposte .
Esercizi su integrali doppi e risposte .
Esercizi su integrali tripli e risposte .
Esercizi su curve e campi vettoriali e risposte .
Esercizi su equazioni differenziali e risposte .

Testo della prova scritta di esame del 28 gennaio 2022 .
Testo della prova scritta di esame del 17 febbraio 2022 .
Testo della prova scritta di esame del 17 giugno 2022 .
Testo della prova scritta di esame del 5 luglio 2022 .
Testo della prova scritta di esame del 2 settembre 2022 .
Testo della prova scritta di esame del 14 settembre 2022 .

Non verranno pubblicati gli svolgimenti degli esercizi di esame. Il numero e la tipologia degli esercizi possono variare da un appello all'altro.

Programma dettagliato del corso per l'A.A. 2021/22

Nota Nel seguito sono riportati gli argomenti del corso con i riferimenti al testo [BDG]. Si può utilizzare qualunque altro testo che includa gli argomenti, e/o gli appunti del corso. Per quanto riguarda le dimostrazioni dei teoremi:
-- dove nel programma è indicato "con dim.", sono da studiare obbligatoriamente,
-- deove è indicato "dim. fac.", sono facoltative (lo studio è apprezzato, ma non indispensabile per una votazione sufficiente),
-- se non ci sono indicazioni (ad es. teorema del differenziale totale, formula di Taylor, teorema di Dini, ecc.), non sono richieste.
E' sottinteso che dimostrazioni brevi di corollari o osservazioni sono da sapere anche se non esplicitamente indicato qui sotto.

1) Funzioni di più variabili

Prodotto scalare, norma e distanza in Rⁿ, intorni sferici. Punti interni, di frontiera, di accumulazione. Insiemi limitati. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Insiemi aperti, chiusi. Parte interna e chiusura di un insieme. [BDG, 10.2.2]. Limiti e continuità per funzioni a più variabili [BDG, 10.3]. Successioni in Rⁿ, insiemi compatti [BDG, 10.3.1] Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass (dim. fac.) e di Heine-Cantor [BDG, 10.3.2]. Relazione tra limiti in due variabili e limiti lungo le rette [BDG, esempi 10.19 e 10.20 a pagg. 323-4].

Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente, regole di derivazione [BDG, 11.1]. Esempio di funzione derivabile ma non continua. Differenziabilità e piano tangente al grafico. Proprietà delle funzioni differenziabili, teorema del differenziale totale, funzioni di classe C¹. [BDG, 11.2]. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz [BDG, 11.3]. Sviluppo di Taylor di ordine due [BDG 11.4]. Funzioni convesse, definizioni e proprietà [BDG, 11.5].

Richiami di algebra lineare: matrici simmetriche, forme quadratiche, autovalori. Forme quadratiche definite/semidefinite positive/negative o indefinite in dimensione generale: definizione e legame col segno degli autovalori. Caratterizzazione in base a determinante e traccia in dimensione due. (NB questi argomenti fanno parte del programma di Geometria, ma sono da sapere anche per questo corso in quanto utilizzati nello studio dei massimi e minimi). Punti di estremo libero, punti critici, condizioni necessarie e sufficienti per un massimo o minimo in base alle proprietà del gradiente ed hessiano (con dim.) [BDG, 11.6]. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali. Derivazione di funzione composta (dim. fac.) [BDG, 11.7].

2) Funzioni implicite, estremi vincolati.

Teorema di Dini (delle funzioni implicite) in R² [BDG 13.1.4]. Punti regolari e retta tangente agli insiemi di livello di una funzione di due variabili (curva cartesiana) [BDG 13.1.4]. Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange in due variabili (dim. fac.) [BDG 13.2.1, 13.2.3] e cenno al caso in tre variabili [BDG 13.4]. Applicazione allo studio di massimi e minimi assoluti di una funzione su un insieme compatto definito da vincoli di disuguaglianza [BDG 13.3].

3) Integrali doppi e tripli.

Integrale di Riemann su rettangoli e su insiemi generali, definizione e proprietà. Esempio di funzione non integrabile. Integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione. [BDG 14.1]. Integrale di Riemann su insiemi generali. Misura di Peano-Jordan. Esempio di insieme non misurabile. Proprietà della misura, equivalenza tra misurabilità e misura nulla della frontiera. Esempi di insiemi di misura nulla e di insiemi misurabili [BDG, 14.2]. Integrabilità di funzioni continue su un insieme misurabile [BDG, Teor. 14.13]. Domini semplici (insiemi normali) e formule di riduzione [BDG, 14.2.1]. Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Coordinate polari piane. [BDG, 14.3]. Integrali tripli, definizione e tecniche di calcolo. Formule di riduzione, integrazione "per fili" e "per strati", coordinate cilindriche e coordinate sferiche. [BDG, 14.5, 14.5.1, 14.5.2]. Esempio di integrali impropri: studio della convergenza delle potenze negative della norma in un intorno dell'origine. [BDG, 14.4].

4) Curve, superfici e campi vettoriali.

Curve parametriche, definizioni. Curve di Jordan, curve regolari, regolari a tratti, retta tangente. Cambio di parametro, curve equivalenti, orientazione. [BDG, 10.3.3, 12.1, 12.1.1]. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea [BDG, 12.2]. Integrali curvilinei di funzioni (di prima specie) [BDG 12.3]. Campi vettoriali, forme differenziali e loro integrali curvilinei (di seconda specie) [BDG 12.4]. Campi vettoriali conservativi (forme differenziali esatte), potenziale. L'integrale di un campo conservativo è pari alla differenza di potenziale agli estremi della curva (con dim.). Campi vettoriali irrotazionali (forme differenziali chiuse). Ogni campo conservativo è irrotazionale (con dim.). [BDG 12.4.1] Un campo irrotazionale deifinito ovunque è anche conservativo (dim. fac., è stata fatta a lezione, non presente nel libro). Formule di Gauss-Green nel piano (con dim.). Teorema del rotore (di Stokes) nel piano (con dim.). Teorema della divergenza nel piano (con dim.) [BDG 16.2].
Superfici parametriche in R³, piano tangente e versore normale [BDG 15.1]. Richiami sul prodotto vettoriale (noti dalla geometria). Area di una superficie, integrali di superficie di funzioni [BDG 15.2]. Orientazione di una superficie, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie [BDG 15.3]. Analisi vettoriale in R³, rotore e divergenza [BDG 16.1]. Formule di Gauss-Green, teorema della divergenza e teorema di Stokes in in R³ [BDG 16.3, 16.4].

5) Equazioni differenziali ordinarie

Il problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria: teorema di esistenza e unicità [BDG, Teor. 17.4 e paragrafo 17.2.3]. Metodi risolutivi per equazioni del primo ordine lineari [BDG 17.1] ed equazioni a variabili separabili [BDG 17.2.1]. Equazioni lineari di ordine generale: caratterizzazione dell'integrale generale come spazio vettoriale nel caso omogeneo e in quello non omogeneo (con dim., cf. [BDG Teor. 17.10] nel caso n=2 e par. 17.4). Metodi risolutivi per equazioni lineari a coefficienti costanti, equazione caratteristica associata [BDG 17.3.1 e il "metodo ad hoc" nel par. 17.3.2]. Equazione dell'oscillatore armonico: proprietà delle soluzioni al variare dei parametri fisici. Oscillatore armonico forzato, risonanza (fatto a lezione, non presente in [BDG]).

6) Serie numeriche e serie di potenze.

Serie numeriche, definizione di convergenza e proprietà elementari. Condizione necessaria di convergenza (con dim.). La serie geometrica e le sue proprietà. (con dim.). [BDG 4.7] Criterio integrale di convergenza e applicazione alla convergenza della serie armonica (dim. fac.) [BDG 9.1]. Serie a termini positivi: criterio del confronto, del confronto asintotico, criterio del rapporto (tutti con dim.) e della radice [BDG 4.8, 4.8.1, 4.8.3]. Serie a termini di segno variabile, criterio di convergenza assoluta [BDG 4.9.1], criterio di Leibniz [BDG 4.9.2]. Serie di potenze: raggio di convergenza, proprietà (dim. fac.) [BDG 9.3]. Integrazione e derivazione termine a termine di una serie di potenze, infinita derivabilità all'interno dell'intervallo di convergenza [BDG 9.3]. Serie di Taylor. Proprietà di convergenza delle serie di Taylor di esponenziale, seno, coseno, logaritmo e arcotangente (dim. fac.). [BDG 9.4].

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