Lezione del 24/9/2021: Continuità delle funzioni elementari nel loro dominio. Limiti infiniti, o al tendere delle variabili a infinito. Teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili (con dim.). Teorema di Heine-Cantor (senza dim.). Insiemi compatti. Funzioni di due variabili, esempi di grafici.

Lezione del 27/9/2021:
Insiemi di livello di una funzione, esempi. Gli insiemi di livello di una funzione continua definiti da disuguaglianze strette (non strette) sono insiemi aperti (chiusi). Esempi di non esistenza di limiti. L'esistenza di un unico limite lungo tutte le rette per un punto è condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza del limite in due variabili.

Lezione dell'1/10/2021:
Derivate parziali e derivate direzionali, definizione ed esempi. Le funzioni di classe C¹ sono continue e differenziabili (teorema del differenziale totale), senza dim.

Lezione del 4/10/2021:
Cenno di dim. del teorema del differenziale totale. Esercizi su piano tangente e derivate direzionali. Derivate seconde. Teorema di Schwarz (senza dim., solo un cenno).

Lezione del 5/10/2021: Matrice hessiana. Richiami su matrici simmetriche e forme quadratiche. Legami tra le proprietà di una forma quadratica e gli autovalori della matrice associata. Formula di Taylor del secondo ordine. Massimi e minimi locali. Condizione necessaria del primo ordine (teorema di Fermat). Punti critici.

Lezione del 7/10/2021: Condizione necessaria e condizione sufficiente per un massimo o minimo locale a seconda delle proprietà del gradiente e dell'hessiano (con dim.). Criterio per il segno di una matrice simmetrica 2x2 in base al determinante e la traccia. Esercizi su massimi e minimi locali.

Lezione dell'8/10/2021:
Criterio affinché una matrice sia definita positiva in dimensione generale. Esempio di ricerca di massimi e minimi in tre variabili. Studio di punti critici con hessiano a determinante nullo.

Lezione dell'11/10/2021:
Studio di punti critici con hessiano a determinante nullo (continuazione). Un punto può essere di minimo per le restrizioni su tutte le rette senza essere di minimo locale per la funzione. Esercizi su massimi e minimi di funzioni in due variabili.

Lezione del 12/10/2021:
Esercizi su massimi e minimi di funzioni in due variabili.

Lezione del 15/10/2021:
Formula di derivazione per funzione composta in più variabili (con dim.). Restrizione lungo una retta di una funzione a più variabili: calcolo della derivata prima e seconda (con dim.). Insiemi convessi e funzioni convesse in più variabili, definizione e caratterizzazione con le proprietà dell'hessiano. Funzioni a valori vettoriali. Matrice jacobiana.

Lezione del 18/10/2021:
Funzioni implicite, teorema di Dini in due variabili (senza dim). Insiemi di livello di una funzione di due variabili. Curve cartesiane nel piano, punti regolari, retta tangente.

Lezione del 19/10/2021:
Esercizi su curve cartesiane. Massimi e minimi vincolati. Criterio dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili (con dim.). Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi compatti definiti da vincoli di uguaglianza.

Lezione del 22/10/2021:
Estensione al caso di vincoli di disuguaglianza. Esercizi.

Lezione del 25/10/2021:
Massimi/minimi vincolati in tre variabili, criterio dei moltiplicatori di Lagrange nel caso di uno e di due vincoli (senza dim.). Esercizi su massimi e minimi vincolati.

Lezione del 26/10/2021:
Esercizi su massimi e minimi vincolati. Integrale di Riemann in due variabili per funzioni limitate su un rettangolo: definizione.

Lezione del 29/10/2021:
Esempio di funzione non integrabile. Formule di riduzione per integrali su un rettangolo. Giustificazione (non rigorosa) delle formule di riduzione. Esempi di calcolo con le formule di riduzione. Definizione dell'integrale su insiemi limitati generali. Misura di Peano-Jordan di insiemi piani. Esempi di insiemi misurabili.

Lezione del 2/11/2021:
Esempio di insieme non misurabile. Proprietà degli integrali doppi: linearità, additività rispetto al dominio (senza dimostrazione). Integrabilità di funzioni continue su insiemi misurabili. (senza dimostrazione) Domini normali, esempi. Formule di riduzione per integrali su domini normali. Esercizi.

Lezione del 5/11/2021:
Formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Giusitifcazione intuitiva della formula: il determinante di una matrice 2x2 dà l'area del parallelogramma avente per lati le righe della matrice, il determinante dello jacobiano rappresenta il fattore di proporzionalità tra le aree. Coordinate polari nel piano.

Lezione dell'8/11/2021:
Uso delle di coordinate polari per il calcolo di integrali doppi. Esercizi su integrali doppi.

Lezione del 9/11/2021:
Esercizi su integrali doppi. Baricentro di un insieme piano.

Lezione del 12/11/2021:
Integrale di Riemann e misura di Peano-Jordan in tre variabili, definizioni e proprietà(cenni). Insiemi normali in R³, formule di riduzione "per fili" e "per strati". Esempi.

Lezione del 15/11/2021:
Cambiamento di variabli negli integrali tripli. Coordinate sferiche e cilindriche in R³. Esempi.

Lezione del 16/11/2021:
Massa, centro di massa e momento di inerzia di un solido rispetto a una densità assegnata. Esercizi su integrali tripli in coordinate sferiche e cilindriche.

Lezione del 19/11/2021:
Esercizi su integrali tripli. Semplificazioni negli integrali in presenza di simmetrie nel dominio e nella funzione integranda, esempi.

Lezione del 22/11/2021:
Esempi di integrali impropri: proprietà di convergenza dell'integrale di una potenza negativa della norma in un intorno dell'origine e nel suo complementare. Curve parametriche in Rⁿ, esempi. Curve di Jordan. Curve regolari, retta tangente.

Lezione del 23/11/2021:
Lunghezza di un arco di curva. La lunghezza definita come integrale della norma del vettore velocità coincide con l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte alla curva (senza dim.). Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di funzione (o di prima specie). Esempi ed esercizi.

Lezione del 26/11/2021:
Curve equivalenti, orientazione. Campi vettoriali e forme differenziali. Integrale curvilineo di un campo vettoriale (o di seconda specie). Interpretazione fisica degli integrali di campi vettoriali come lavoro di una forza. Campi conservativi, potenziale. L'integrale di un campo conservativo è pari alla differenza di potenziale agli estremi (con dimostrazione).

Lezione del 29/11/2021:
L'integrale di un campo conservativo dipende solo dagli estremi della curva, ed è nullo su una curva chiusa. Campi vettoriali irrotazionali. Un campo conservativo è irrotazionale (con dimostrazione). Un campo irrotazionale definito su tutto il piano è conservativo (con dim.). Calcolo del potenziale di un campo conservativo.

Lezione del 30/11/2021:
Esempio di un campo irrotazionale ma non conservativo. Esercizi su campi conservativi e loro integrali calcolati usando il potenziale.

Lezione del 3/12/2021:
Formule di Gauss-Green nel piano (con dim.). Teorema della divergenza nel piano (con dim.).

Lezione del 6/12/2021: Teorema di Stokes (con dim.). Esempi. Superfici parametriche in R³, esempi. Richiami sul prodotto vettoriale. Punti regolari, piano tangente e versore normale. Orientazione di una superficie.

Lezione del 7/12/2021: Area di una superficie, integrali di superficie di funzioni. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Formule di Gauss-Green e teorema della divergenza in R³ (senza dim.). Rotore di campi vettoriali in R³. Bordo di una superficie.

Lezione del 10/12/2021: Orientazione del bordo di una superficie. Teorema di Stokes in R³. (senza dim.). Esempi. Applicazioni del teorema della divergenza.

Lezione del 13/12/2021: Identità soddisfatte da gradiente, rotore e divergenza. Un campo solenoidale possiede localmente potenziale vettore (senza dim.). Esempio di un campo solenoidale che non possiede un potenziale vettore su tutto il dominio. Laplaciano e funzioni armoniche: definizione ed esempi. Equazioni differenziali ordinarie, esempi. Teorema di esistenza e unicità di Cauchy (senza dim).

Lezione del 14/12/2021: Esempio di soluzione non definita globalmente. Esempio di non unicità per il problema di Cauchy. Equazioni del primo ordine a variabili separabili: metodo risolutivo ed esempi. Equazioni lineari del primo ordine, metodo risolutivo ed esempi.

Lezione del 17/12/2021: Equazioni lineari di ordine generale. Il primo membro di un'equazione differenziale pensato come operatore lineare in uno spazio vettoriale di funzioni. L'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale linerare omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione pari all'ordine dell'equazione (con dim.). Descrizione dell'integrale generale di un'equazione differenziale lineare nel caso omogeneo e in quello non omogeneo. Calcolo esplicito dell'integrale generale nel caso di un'equazione del secono ordine omogenea a coefficienti costanti. Equazione caratteristica.

Lezione del 20/12/2021: Esercizi su equazioni del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Estensione al caso di ordine qualunque, esempi. Metodo di calcolo esplicito dell'integrale particolare nel caso non omogeneo (inizio).

Lezione del 21/12/2021: Metodo di calcolo esplicito dell'integrale particolare nel caso non omogeneo (continuazione). Esempi ed esercizi. L'equazione dell'oscillatore armonico: comportamento delle soluzioni a seconda del valore dei parametri fisici. Oscillatore armonico forzato, risonanza.

Lezione del 10/1/2022:
Serie numeriche. Somme parziali, definizione di convergenza. Serie geometrica, studio della convergenza (con dim.) Serie armonica e serie armonica generalizzata, studio della convergenza mediante il legame con gli integrali impropri (con dim.)

Lezione dell'11/1/2022:
Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini positivi. Il criterio del confronto. e il criterio del confronto asintotico (con dim.). Il criterio del rapporto (con dim.) e della radice (senza dim.). Serie con termini di segno generale: criterio di convergenza assoluta e criterio di Leibniz (senza dim.). Esempi.