1. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Lemma
delle contrazioni. Teorema di esistenza e unicità di Cauchy.
Applicazioni a equazioni lineari e sistemi.
2. Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, richiami su
convergenza uniforme e sulle serie di potenze, integrazione in
campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative
conseguenze, funzioni analitiche e principali proprietà,
singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei
residui e applicazione al calcolo di integrali impropri, cenni su
trasformazioni conformi.
3. Trasformata di Laplace e principali proprietà. Convoluzione.
Formula di inversione. Applicazioni alla soluzione di equazioni
differenziali ordinarie.
4. Cenni su integrale e misura di Lebesgue. Elementi di analisi
funzionale: spazi vettoriali reali e complessi, spazi normati,
spazi di Banach. Lo spazio L^1 e lo spazio L^infinito. Lemma di
Riemann-Lebesgue. Cenni sulla teoria delle
distribuzioni: funzioni test, distribuzioni indotte da funzioni
localmente sommabili, limiti nel senso delle distribuzioni, la
delta di Dirac come distribuzione.
5. Spazi di Hilbert, teorema della proiezione, sistemi ortonormali
in L^2. Serie di Fourier: convergenza in L^2, puntuale
ed uniforme, fenomeno di Gibbs.
6. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di
L^2 e proprietà principali, formula di inversione.
Applicazione delle trasformate di Fourier alla soluzione di
equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali,
proprietà del nucleo del calore.
Testo consigliato: G.C. Barozzi. Matematica per l'Ingegneria
dell'Informazione. Zanichelli.
(per la parte di sistemi ed equazioni differenziali si veda il
testo di Analisi 2)
Inizio del corso: 4 marzo 2013
Fine del corso: 29 giugno 2013
Orario di ricevimento: mercoledì ore
9:30-11:30 in studio (fino a fine corso)
Distinta delle lezioni
(ogni lezione è di due ore)
Sono contrassegnati con (D) i teoremi le cui dimostrazioni che si
ritengono particolarmente sigificative.
1. Convergenza uniforme. Norma uniforme. Completezza dello spazio
delle funzioni continue rispetto alla convergenza uniforme.
Criteri necessari e sufficienti per la convergenza uniforme:
continuità del limite uniforme di funzioni continue e convegenza
uniforme di serie di funzioni. Applicazione alla convergenza
uniforme di serie di potenze.
2. Sottospazi di funzioni continue. Esempi. Insiemi chiusi.
Esempio di una successioni di funzioni C^1 che convergono
uniformemente a una funzione non C^1. Applicazioni continue tra
spazi normati. Esempi. Funzionale di valutazione in un punto;
funzionali integrali. Criterio di continuità per
applicazioni lineari.
3. Lemma delle contrazioni (D). Il problema di Cauchy per sistemi
di equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza ed
unicità locale per sistemi di equazioni differenziali ordinarie
(D). Esistenza massimale (intervallo massimale di esistenza).
Esistenza globale.
4. Esempi di non esistenza o non unicità in mancanza di continuità
o Lipschitzianità. Applicazione alle equazioni alle variabili
separabili. Esempi ed esercizi su intervalli massimali di
esistenza.
5. Applicazione ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Esistenza globale e struttura delle soluzioni per sistemi lineari.
Sistemi a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Esempi
di soluzioni per sistemi 2x2.
6. Applicazioni alle equazioni differenziali lineari di ordine n a
coefficienti costanti. Equazione caratteristica e struttura delle
soluzioni.
7. Derivata in senso complesso. Differenziabilità delle funzioni
derivabili. Condizioni di Cauchy-Riemann (D). Cenni sulle
trasformazioni conformi.
8. Sufficienza delle condizioni di Cauchy-Riemann. La funzione
esponenziale. Condizioni di CR in coordinate polari. Funzione
argomento principale. Logaritmo principale e radice principale.
Loro derivabilità fuori dal semiasse reale negativo. Derivabilità
e analiticità delle serie di potenze.
9. Integrazione in campo complesso. Sua interpretazione come
integrale di seconda specie e relative proprietà. Primitiva
complessa. Funzioni olomorfe e funzioni intere. Dimostrazione che
le forme differenziali lineari relative all'integrale di una
funzione olomorfa sono chiuse (D). Esistenza della primitiva di
una funzione olomorfa. Formula di Cauchy (D). Estensione della
formula di Cauchy al calcolo della derivata n-ima
10. Analiticità delle funzioni olomorfe. Proprietà delle funzioni
analitiche; zeri isolati. Esempi di funzioni C^\infinito ma non
analitiche. Diseguaglianza di Cauchy (D). Teorema di Liouville
(D). Teorema Fondamentale dell'Algebra (D).
11. Esempi di calcolo tramite la formla di Cauchy. Punti
singolari. Loro classificazione. Residui e loro calcolo (nel caso
di poli di ordine n). Esempi
12. Serie bilatere e serie di laurent. Caratterizzazione dei punti
singolari isolati tramite la serie di Laurent. Teorema dei residui
(D). Esempi di applicazione al calcolo di integrali impropri.
Lemma del grande cerchio.
13. Esercizi. Teorema dell'indicatore logaritmico.
14. Lemmi di Jordan. Esercizi su calcolo di integrali impropri.
15. Esercizi di ripasso su analisi complessa
16. Esercizi di ripasso sulla prima parte del corso
17. Prima prova intermedia
18. Funzioni Laplace-trasformabili. Ascissa di convergenza.
Trasformate di Laplace. Esempi. Proprietà. Funzione di Heaviside.
19. Trasformata della derivata. Applicazioni alla soluzione di
equazioni differenziali. Soluzioni di equazioni lineari con
secondo membro discontinuo.
20. La delta di Dirac. Trasformata della delta di Dirac. Soluzioni
di equazioni lineari con secondo membro una delta di Dirac.
Esempi. Convoluzione. Trasformata di una convoluzione.
21. Esempi: equazioni integro-differenziali. Soluzione impulsiva e
soluzioni di equazioni differenziali tramite convoluzione con la
soluzione impulsiva La funzione Gamma di Eulero. Sue proprietà.
Trasformata di una potenza non intera.
22. Una formula per l'antitrasformata tramite un integrale
complesso. Calcolo dell'antistrasformata di F come somma dei
residui di F(s) e^{st}. Esempi.
23. Cenni su misura e integrale di Lebesgue. Insiemi misurabili.
Proprietà della misura (in particolare numerabile
additività). Funzioni semplici. Integrale di una funzione positiva
come limite di itegrali di funzioni semplici. Funzioni sommabili.
Differenze con l'integrale improprio secondo Riemann (funzione sin
x/x). Proprietà vere quasi ovunque (in particolare convergenza
q.o.). Teoremi principali: Beppo Levi, Lebesgue, Fubini.
24. Lo spazio L^1. Norma sullo spazio L^1. Convergenza in L^1 e
sua completezza (L^1 è spazio di Banach). Esempi di
concentrazione. Esempi di oscillazione. Lemma di Riemann- Lebesgue
per una successione di funzioni oscillanti (D).
25. Teoria delle distribuzioni. Spazio delle funzioni test
C^infinito a supporto compatto (ed esistenza di tali funzioni) e
convergenza in tale spazio. Definizione di distribuzione. Esempi.
Identificazione delle funzioni sommabili con distribuzioni di
forma integrale. La delta di Dirac come distribuzione. Derivata
nel senso delle distribuzioni. Derivata di una funzione continua e
C^1 a tratti. Derivata della delta.
26. Derivate di ordine superiore nel senso delle distribuzioni.
Soluzioni di equazioni differenziali nel senso delle
distribuzioni. Convergenza di distribuzioni. Concentrazione e
oscillazioni. Legame con il lemma di Riemann-Lebesgue.
27. La distribuzione valor proprio di 1/x. Derivata di log|x| nel
senso delle distribuzioni. Operazioni su distribuzioni. Esempi.
28. Esercizi di ripasso su trasformata di Laplace
29. Esercizi di ripasso su distribuzioni
30. Seconda prova intermedia
31. Spazi vettoriali con prodotto scalare. Norma Hilbertiana.
Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Identità del parallelogramma
(esempi di norme non hilbertiane). Lo spazio l^2. Lo spazio di
Lebesgue L^2. Ortogonalità. Teorema di Pitagora.
32. Insiemi ortogonali e ortonormali. Lineare indipendenza di
insiemi ortogonali. Esempi (funzioni esponenziali e funzioni
trigonometriche). Spazi di Hilbert. Teorema delle
proiezioni. Diseguaglianza di Bessel. Esempi ed esercizi.
33. Il metodo di Gram-Schmidt. Esercizi.
34. Polinomi di Fourier. Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier
(forma esponenziale e forma trigonometrica). Convergenza della
serie di Fourier in L^2 (enunciato) e Identità di Parseval.
Esempio: la serie di Fourier della funzione segno. Calcolo di
serie numeriche tramite l'identità di Parseval. Convergenza
puntuale della serie di Fourier per funzioni C^1 a tratti (o
monotone a tratti). Nucleo di Dirichlet e sua convergenza nel
senso delle distribuzioni.
35. Esempi di convergenza puntuale: le serie di Fourier di x e
|x|. Calcolo di serie numeriche tramite l'identità tra funzione e
serie di Fourier in un punto. Fenomeno di Gibbs. Serie di Fourier
della derivata. Convergenza uniforme di serie di Fourier di
funzioni con derivata nel senso delle distribuzioni una funzione
L^2 (D). Polinomi di Fejer e loro convergenza uniforme.
36. Uso delle serie di Fourier nella soluzione di equazioni
differenziali. Convergenza di serie di Fourier in L^2 (D). Serie
di Fourier di funzioni di periodo T; forma dei coefficienti e
identità di Parseval.
37. Introduzione alla trasformata di Fourier come "limite" di
serie di Fourier. Trasformata di Fourier di una funzione L^1.
Proprietà ed esempi.
38. Trasformata di Fourier e derivazione. Esempi. Trasformata di
Fourier di funzioni a decrescenza rapida. Trasformata di Fourier
delle Gaussiane. Formula di inversione. Trasformata di Fourier in
L^2 e sua compatibilità con il prodotto scalare. Identità di
Plancherel. Trasformata di una convoluzione.
39. Convoluzioni di gaussiane e loro limiti. Famiglie ortogonali
che si ottengono tramite trasformate di famiglie ortogonali.
Calcolo di integrali tramite l'identità di Plancherel.
Applicazioni alla soluzione di equazioni alle derivate parziali:
l'equazione del calore e l'equazione delle onde.
40. Distribuzioni temperate. Funzioni a crescenza lenta come
distribuzioni temperate. Le funzioni L^1, L^2, L^infinito e i
polinomi sono a crescenza lenta. Trasformate di Fourier di
distribuzioni temperate. Esempi: trasformate della delta, 1, x,
x^n, 1/x, sign(x).
41. Proprietà delle trasformate di Fourier di distribuzioni
temperate. Esercizi
42. Esercizi di ripasso su teorema delle proiezioni e sistemi
ortogonali in spazi di Hilbert.
43. Esercizi di ripasso su serie di Fourier.
44. Esercizi di ripasso su trasformate di Fourier.
45. Terza prova intermedia.
MODALITÀ
D'ESAME
Esame scritto + esame orale (obbligatorio). Allo scritto si può usare il
testo ma non gli appunti, ne' calcolatrici o altro. Portate
fogli per la brutta.
