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ARGOMENTO |
ESERCIZI |
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1 |
Presentazione del corso e delle modalità d'esame. Spazio
delle n-uple reali. Somma di vettori. Regola del parallelogramma. |
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2 |
Prodotto di un vettore per uno scalare. Interpretazione geometrica. Rette.
Lunghezza di un vettore. |
Libro di testo: Es. 1-12, pag. 21-22 |
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3 |
Lunghezza di un vettore (continuazione). Versori. Prodotto scalare. Interpretazione
geometrica. Angolo tra due vettori. Ortogonalita'. Equazione cartesiana di
rette nel piano.. |
Es. 1-24, pag.28-30 |
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4 |
Proiezioni ortogonali. Esercizi su argomenti precedenti. |
Es. 1.13. p.33-34 |
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5 |
Generazione di vettori. Spazio lineare generato da un
insieme di vettori. |
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6 |
Indipendenza lineare. Basi. |
Es. 1-20 p.41-42 |
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7 |
Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Basi
ortogonali. Basi ortonormali. Coordinate di un vettore rispetto ad una
base ortonormale. Esercizi su argomenti precedenti. |
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8 |
Rette. Rappresentazione di rette L(P;A). Rette parallele.
Retta per due punti. Esercizi su argomenti precedenti, |
Es. 1-8 p.54 |
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9 |
Rette (continuazione). Rette nel piano: equazione
cartesiana e vettore normale. Distanza di un punto da una retta. |
Es. 9-12 p.55 |
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10 |
Piani. Rappresentazione dei piani: { P+sA+tB| s,t in R }.
Piani paralleli. Piano per tre punti non allineati. |
Es.1.5 p.60 |
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11 |
Esercizi su rette e piani |
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12 |
Determinante di una matrice 2x2. Determinante di una
matrice 3x3. Prodotto vettoriale. |
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13 |
Proprieta' del prodotto vettoriale. Area di un
parallelogramma. Orientazione. Prodotto misto. Proprieta' del prodotto
misto. Volume di un parallelepipedo. |
Es. 1-15 p.66-67 Es. 1-16 p. 71-72 |
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14 |
Regola di Cramer |
Es. 17-20 p.72 |
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15 |
Vettori normali ai piani. Distanza di un punto da un
piano. Piani paralleli. Angolo tra due piani. Equazioni cartesiane. |
Es. 1-24 p.76-78 |
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16 |
Esercizi su argomenti precedenti |
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17 |
Coniche. Eccentricita' delle coniche. Equazione
fondamentale. equazione polare. |
Es. 1-13 p.84-85 |
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18 |
Coniche simmetriche rispetto all'origine. Equazioni
cartesiane standard di ellissi e iperboli. Asintoti. |
Es. 1-25 p.89-90, Es.7-13,15,18,20(a) p.91-92
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19 |
Equazioni cartesiane delle parabole. Numeri complessi:
rappresentazione a+ib. Numeri complessi coniugati. Modulo di un numero
complesso. Divisone di numeri complessi. Rappresentazione in coordinate
polari. Risoluzione di alcune equazioni polinomiali. |
Es. 26-38 p.90-91. Es. 7,815,23 p.91-93.
Es. 1-4 p.13
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20 |
Esercizi su argomenti precedenti. |
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21 |
Lo spazio delle n-uple di numeri complessi. Indipendenza
lineare e basi in tale spazio. Prodotto scalare e lunghezza di vettori
complessi. Sistemi lineari di due equazioni in due incognite a
coefficienti complessi. Esercizi su argomenti precedenti. |
Es. 1,2,9,10 p. 45-46 e esercizi svolti a lezione. |
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SECONDA PARTE |
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| 1 |
Risoluzione di sitemi lineari con
il metodo di eliminazione. |
Es.1-10 p.165. File di esercizi 3. |
| 2 |
Spazi lineari reali e complessi.
Sottospazi lineari. Combinazioni lineari. Spazi lineari generati da un
insieme. Indipendenza lineare. Basi e dimensione. |
Es.22-28 p.100. Es.1-10 p.105. Es.22,24 p.106 |
| 3 |
Esercizi ed esempi sul metodo di
eliminazione ed applicazioni a: (1) Estrazione di una base da un insieme
di generatori; (2) Passaggio dall'equazione parametrica vettoriale
ad un sistema di equazioni cartesiane per un arbitrario sottospazio
affine di Vn (cioe' un sottospazio della forma P+sA+tB+uC+..=P+L(A,B,C,.)
).. |
File di esercizi 3 |
| 4 |
Prodotti scalari. Norme. Disuguaglianza
di Cauchy-Schwartz. Angolo da due vettori. Ortogonalita'. Basi
ortogonali e ortonormali. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. |
Es.1 p.113. Es.1,2 p.123-124. Esercizi
dall'a.a.2006-'07 (Parte 2): "esercizi settimanali" Foglio 1 e
"Ulteriori esercizi" Esercizi 2, .1-7 e 11,12. |
| 5 |
Complemento ortogonale di un sottospazio
lineare. Proiezioni ortogonali. Distanza da un sottospazio lineare.
Distanza da un sottospazio affine. |
Foglio di esercizi 4 |
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6 |
Trasformazioni lineari. Esempi. In
particolare: rotazione, proiezione su un sottospazio lineare,
riflessione (simmetria rispetto a un sottospazio lineare. |
Es.1-19 p.129-130 |
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7 |
Richiami su iniettivita',
suriettivita', biettivita', invertibilita' di funzioni. Nucleo e
immagine di trasformazioni lineari. |
Es.1-23 p.130 |
| 8 |
Rango di una trasformazione
lineare. Teorema della nullita' + rango. Iniettivita', suriettivita',
biettivita', invertibilita; di una trasformazione lineare. |
Es.1-26 p.138 |
| 9 |
Prodotto di matrici e sue
proprieta'. Trasformazioni lineari con valori assegnati. |
Es.1-14 p.154 |
| 10 |
Rappresentazione di
trasformazioni lineari tramite matrici. Matrice rappresentativa di una
trasformazione lineare rispetto ad una base dello spazio di partenza e
una base dello spazio di arrivo. |
Es.1-10 p.146-147 (omettere
le domande 7(d) 8(c) 9(c) 10(c) |
| 11 |
Composizione di
trasformazioni lineari. Esercizi su argomenti precedenti. |
Foglio di esercizi 5 |
| 12 |
Matrici invertibili e matrici
inverse |
Es.1-16 p.165-166, Es.1-10 p.166-167 |
| 13 |
Esercizi su argomenti
precedenti |
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| 14 |
Determinante: assiomi e prime
proprieta'. Calcolo di determinati con l'algoritmo di eliminazione. |
Es. 1-5,9,10 p.177-178 |
| 15 |
Determinante di un prodotto
di matrici (Teorema di Binet) e applicazioni. Sviluppo del deperminante
secondo una riga o secondo una colonna. Matrice inversa e determinanti. |
Es.1-7 p.182-183. Es.1-6
p.192-193 |
| 16 |
Autovalori e autovettori.
Diagonalizzabilita'. Esempi. |
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| 17 |
Indipendenza lineare di
autovettori relativi ad autovalori distinti. |
Es. 1-4,11,12 p.200-201 |
| 18 |
Polinomio caratteristico e
determinazione degli autovalori e degli autospazi. Esempi. Traccia di
una matrice e sua relazione con gli autovalori. |
Es.1-3,5-14 p.207-208 |
| 19 |
Matrici simili. Molteplicita'
di un autovalore e sua relazione con la dimensione del corrispondente
autospazio. Esempi di calcolo degli autovalori senza calcolare il
polinomio caratteristico.Calcolo di potenze di matrici diagonalizzabili.
Diagonalizzazione su R e su C. |
Es.1-8 p.212-213 Foglio
esercizi 8 |
| 20 |
Matrici simmetriche (reali). Matrici ortogonali.
Tasformazioni lineari autoaggiunte e loro diagonalizzazione tramite una
base ortonormale di autovettori. Forme quadratiche e loro
diagonalizzazione.
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| 21 |
Forme quadratiche definite, senidefinite, indefinite e
studio degli autovalori della corrispondente trasformazione autoaggiunta.
Applicazione della diagonalizzazione di forme quadratiche allo studio
delle coniche. |
Es. 1-19 p.237 Foglio
esercizi 9 |
| 22 |
Esercizi su coniche e forme quadratiche |
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| 23 |
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