La risposta è dentro di voi
(ma è sbagliata).
(C. Guzzanti)

Metodi Matematici per l'Ingegneria 2023-2024 (per Ingegneria Medica)
(Prof. Braides e Sorrentino)

Programma del corso

1. Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, richiami su convergenza uniforme e sulle serie di potenze, integrazione in campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative conseguenze, funzioni analitiche e principali proprietà, singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei residui e applicazione al calcolo di integrali impropri, cenni su trasformazioni conformi.

2. Trasformata di Laplace e principali proprietà. Convoluzione. Formula di inversione. Applicazioni alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie.

3. Cenni su integrale e misura di Lebesgue. Gli spazi L¹, L^p e L^∞. Cenni sulla teoria delle distribuzioni: funzioni test, distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili, limiti nel senso delle distribuzioni, la delta di Dirac come distribuzione. Il Lemma di Riemann-Lebesgue* nel senso delle distribuzioni. Derivate ed equazioni differenziali nel senso delle distribuzioni.

4. Spazi di Hilbert, teorema della proiezione, sistemi ortonormali in L². Serie di Fourier: convergenza in L², puntuale ed uniforme, fenomeno di Gibbs

5. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di L² e proprietà principali, formula di inversione. Applicazione delle trasformate di Fourier alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, proprietà del nucleo del calore. Distribuzioni temperate e trasformate di Fourier.

Testo consigliato: G.C. Barozzi. Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione. Zanichelli.

Prerequisiti: Analisi 2
(prerequisiti = nozioni necessarie per comprendere gli argomenti del corso)
(propedeuticità = ... se vi riuscite ad iscrivere alle prove su Delphi vuol dire che avete le necessarie propedeuticità...)


Distinta delle lezioni di teoria (ogni lezione è di quattro ore):

Lezione 1 (8 marzo): Funzioni affini in campo complesso. Esempi di funzioni complesse. Esponenziale, seno e coseno complessi. Logaritmo complesso. Convergenza e topologia nel piano complesso.

Definizione di derivata complessa e sua equivalenza con la differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann*. Sufficienza delle condizioni di Cauchy-Riemann per funzioni di classe C¹. Funzioni olomorfe. Proprietà delle parti reale e complessa di una funzione olomorfa: funzioni armoniche.

Serie di potenze in campo complesso. Caratterizzazione del cerchio di convergenza. Raggio di convergenza e suo calcolo. Esempi. Derivabilità (di ogni ordine) delle serie di potenze all'interno del cerchio di convergenza. Serie esponenziali e trigonometriche.

Lezione 2 (15 marzo): Integrazione di funzioni su curve in campo complesso. Interpretazione come integrali di forme differenziali e relative proprietà. Integrazione di 1/z e z^k (k intero) su una circonferenza centrata nell'origine.

Primitiva di una funzione complessa. Teorema fondamentale del calcolo per funzioni complesse. Integrale nullo su un circuito di una funzione che ammette primitiva. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in un aperto semplicemente connesso.

Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy*. Indice di una curva. Esempi di calcolo di integrali tramite la formula di Cauchy. Formula di Cauchy per le derivate di ordine superiore. Analiticità delle funzioni olomorfe. Funzioni intere. Teorema di Liouville*. Teorema fondamentale dell'Algebra*.

Lezione 3 (22 marzo): Zeri di una funzione olomorfa. Caratterizzazione degli zeri di ordine n. L'insieme degli zeri di una funzione olomorfa non nulla non ha punti di accumulazione (nel dominio di definizione). Conseguenze. Punti singolari e punti singolari isolati. Classificazione delle singolarità: eliminabili, poli di ordine n, essenziali. Esempi.

Serie di Laurent per funzioni olomorfe in un anello. Esempi di calcolo di serie di Laurent.

Residuo. Teorema dei residui. Caratterizzazione del residuo come coefficiente della serie di Laurent. Formula di calcolo per poli di ordine minore o uguale ad n. Esempi di calcolo tramite residui

Lezione 4 (29 marzo): Sospensione dell'attività didattica.

Lezione 5 (5 aprile): Calcolo tramite residui: integrali di funzioni razionali di funzioni trigonometriche sul periodo. Lemmi di Jordan. Calcolo di integrali tramite il teorema dei residui: integrali impropri di funzioni razionali, integrali impropri con funzioni oscillanti. Calcolo dell'integrale improprio di sin x/x sulla retta.

Segnali. Funzione di Heaviside. Funzione caratteristica di un insieme. Funzioni trasformabili secondo Laplace. Ascissa di convergenza. Esempi. Trasformata di Laplace. Esempi. Trasformata di esponenziali. Funzione impulso e sua trasformata. Linearità. Trasformata di seno e coseno. Trasformata di t^n. Trasformata di una derivata. Esempio di soluzione di una equazione differenziale ordinaria usando la trasformata di Laplace.

Lezione 6 (12 aprile): Proprietà della trasformata di Laplace: analiticità, limitatezza, andamento all'infinito. Altre proprietà: cambi di variabile lineari, traslazioni, moltiplicazione per una funzione esponenziale. Formula della trasformata di una funzione periodica. Trasformata delle derivate di ordine successivo. Delta di Dirac. Soluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari con secondo termine contenente Delta e discontinuità tramite la trasformata di Laplace. Prodotto di convoluzione e sua trasformata di Laplace.

Lezione 7 (19 aprile): Soluzioni di equazioni integrali e integro-differenziali. Soluzione impulsiva. Risoluzione di equazioni ordinarie tramite convoluzione con la soluzione impulsiva. Antitrasformata. Formula per l'antitrasformata. Antitrasformate di funzioni razionali. Funzione Gamma di Eulero e trasformata delle potenze non intere. Applicazioni della trasformata di Laplace.

Lezione 8 (26 aprile): Sospensione dell'attività didattica.

Lezione 9 (2 maggio): Primo test intermedio

Lezione 10 (3 maggio): Cenni sulla misura di Lebesgue. Misura esterna. Insiemi misurabili e misura di Lebesgue. Misurabilità degli insiemi di misura esterna nulla e in particolare dell'insieme dei razionali. Funzioni semplici e funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Relazione con misura e integrale secondo Riemann e secondo Peano-Jordan. Integrabilità della funzione di Dirichlet e non integrabilità di sinx/x. Integrabilità delle funzioni positive integrabili in senso improprio. Proprietà valide quasi ovunque (in particolare, definizione di convergenza q.o.). Teorema di Beppo Levi. Teorema di Lebesgue o della convergenza dominata. Teorema di Fubini. Spazi di funzioni sommabili. La relazione di equivalenza "uguaglianza q.o.". Gli spazi L¹, L^p e L^∞. Norma e distanza. Esempi di successioni convergenti e non convergenti in L¹. Successioni limitate in L¹ che non convergono: concentrazione e oscillazione.

Teoria delle distribuzioni. Motivazioni. Definizione di funzioni test e loro convergenza. Definizione di distribuzione. Identificazione di funzioni localmente sommabili come distribuzioni. Delta di Dirac. Altri esempi. Derivata nel senso delle distribuzioni. Derivata della funzione di Heaviside.

Lezione 11 (10 maggio): Derivata di una funzione C¹ a tratti, con eventualmente punti di salto. Soluzioni di equazioni differenziali nel senso delle distribuzioni. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Convergenza in L¹_loc. Lemma di Riemann-Lebesgue. Esempi di oscillazioni e concentrazione. La funzione valore principale di 1/x come derivata di log|x|. Successioni di funzioni che convergono a una delta di Dirac (delta-approssimanti).

Definizione di prodotto scalare. Norma hilbertiana. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Regola del parallelogramma. Esempi di norme non-hilbertiane. Vettori ortogonali. Teorema di Pitagora. Lo spazio l² ("elle-piccolo-due").

Lezione 12 (17 maggio): Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali. Esempi in L²: insiemi ortogonali di funzioni esponenziali complesse. Lineare indipendenza di insiemi di vettori ortogonali. Spazi generati da un insieme ortogonale. Base ortogonale. Il metodo di Gram-Schmidt. Esempi. I polinomi di Legendre. Teorema delle proiezioni. Esempi. Diseguaglianza di Bessel. Polinomi trigonometrici (con base esponenziali e trigonometriche). Coefficienti di Fourier. Serie di Fourier di una funzione L¹ e lemma di Riemann-Lebesgue per i relativi coefficienti. Diseguaglianza di Bessel per funzioni L². Identità di Parseval e sue equivalenza con la convergenza L² della serie di Fourier. Esempio: serie di Fourier della funzione segno e applicazioni a calcolo di serie numeriche.

Lezione 13 (24 maggio): Teorema della convergenza puntuale delle serie di Fourier. Nucleo di Dirichlet e sue proprietà. Condizioni per la convergenza puntuale alla semisomma dei limiti destro e sinistro. Teorema della convergenza uniforme della serie di Fourier*. Teorema della convergenza L². Esempi. Cenni al fenomeno di Gibbs. Serie di Fourier su intervalli arbitrari.

Definizione di trasformata di Fourier per una funzione L¹ e sua motivazione. Limitatezza della trasformata. Continuità e comportamento all'infinito. Trasformata di una funzione reale pari o dispari. Teorema della convergenza puntuale. Proprietà della trasformata: cambiamenti lineari e affini di variabili. moltiplicazione per un'esponenziale, trasformata della derivata e derivata della trasformata.

Lezione 14 (31 maggio): Esercizi su serie e trasformate di Fourier.

Lezione 15 (7 giugno): Trasformata della Gaussiana. Trasformata di funzioni in L² e sue proprietà. Identità di Plancherel. Trasformata della convoluzione. Soluzione dell'equazione del calore.

La classe di Schwartz e la sua inclusione negli spazi di Lebesgue. La classe di Schwartz è stabile per trasformata di Fourier. Distribuzioni temperate. Funzioni a crescita lenta. Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate, di polinomi, delta, funzioni trigonometriche, ecc.

Lezione 16 (14 giugno): secondo test intermedio

* = se ne richiede la dimostrazione

Fogli di esercizi

Analisi complessa 1
Analisi complessa 2
Collezione di esercizi su trasformata di Laplace (prof. Tarantello)
Trasformata di Laplace (equazioni integro-differenziali, uso della Gamma di Eulero...)
Distribuzioni
Il metodo di Gram-Schmidt
Il teorema delle proiezioni
Serie di Fourier
Trasformate di Fourier

Orario delle lezioni
Mercoledì 14:00 - 15:45 Aula B2 (esercitazioni)
Venerdì 9:30 - 13:15 Aula A3 (teoria)

Inizio del corso: 4 marzo
Fine del corso: 15 giugno

Orario di ricevimento: chiedere al docente a lezione

ESAMI

Appello 1: 18 giugno – testo con traccia degli svolgimenti

Appello 2: 8 luglio – testo con traccia degli svolgimenti

Appello 3: 6 settembre – testo con traccia delle soluzioni

Appello 4: 24 settembre – testo

Appello 5: 5 febbraio – testo
Appello 6: 27 febbraio – testo

MODALITÀ D'ESAME
Esame scritto + esame orale (obbligatorio). Allo scritto si può usare il testo e un formulario, ma non gli appunti, ne' calcolatrici o altro. Portate fogli per la brutta.
Il calendario degli orali verrà reso noto su questa pagina e/o su Teams. Si può sostenere l'esame orale anche in altro appello ma nella stessa sessione.