La
risposta
è dentro di voi
(ma
è sbagliata).
(C.
Guzzanti)
Metodi Matematici per l'Ingegneria 2015-2016 (per Ingegneria
Medica) (Prof. Braides)
Programma
1. Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, richiami su
convergenza uniforme e sulle serie di potenze, integrazione in
campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative
conseguenze, funzioni analitiche e principali proprietà,
singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei
residui e applicazione al calcolo di integrali impropri, cenni su
trasformazioni conformi.
2. Trasformata di Laplace e principali proprietà. Convoluzione.
Formula di inversione. Applicazioni alla soluzione di equazioni
differenziali ordinarie.
3. Cenni su integrale e misura di Lebesgue. Elementi di analisi
funzionale: spazi vettoriali reali e complessi, spazi normati,
spazi di Banach. Lo spazio L^1 e lo spazio L^infinito. Il Lemma di
Riemann-Lebesgue. Cenni sulla teoria delle
distribuzioni: funzioni test, distribuzioni indotte da funzioni
localmente sommabili, limiti nel senso delle distribuzioni, la
delta di Dirac come distribuzione.
4. Spazi di Hilbert, teorema della proiezione, sistemi ortonormali
in L^2. Serie di Fourier: convergenza in L^2, puntuale
ed uniforme, fenomeno di Gibbs.
5. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di
L^2 e proprietà principali, formula di inversione.
Applicazione delle trasformate di Fourier alla soluzione di
equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali,
proprietà del nucleo del calore. Distribuzioni
temperate e trasformate di Fourier.
Testo consigliato: G.C. Barozzi. Matematica per l'Ingegneria
dell'Informazione. Zanichelli.
Prerequisiti: Analisi
2
(prerequisiti = nozioni necessarie per comprendere gli
argomenti del corso)
(propedeuticità = ... se vi riuscite ad iscrivere alle prove
su Delphi vuol dire che avete le necessarie
propedeuticità...)
Inizio del corso: 1 marzo 2016
Fine del corso: 17 giugno 2016
Orario di
ricevimento: il venerdì dalle 10:30 alle 11:15 in
Aula C1
Distinta delle lezioni
(ogni lezione è di due ore):
Lezione
1 (1 marzo): Breve
ripasso sulle proprietà algebriche e geometriche dei
numeri complessi. Funzioni affini in campo complesso.
Convergenza e topologia nel piano complesso.
Definizione di derivata complessa e sua equivalenza
con la differenziabilità. Condizioni di
Cauchy-Riemann* Lezione 2 (2 marzo): Esempi di funzioni
complesse. Esponenziale, seno e coseno complessi.
Logaritmo complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann in forma
polare. Sufficienza delle condizioni di Cauchy-Riemann per
funzioni di classe C^1. Funzioni olomorfe. Proprietà delle
parti reale e complessa di una funzione olomorfa. Funzioni
armoniche. Lezione 3 (4 marzo): Serie di potenze
in campo complesso. Caratterizzazione del cerchio di
convergenza. Raggio di convergenza e suo calcolo. Esempi.
Derivabilità (di ogni ordine) delle serie di potenze
all'interno del cerchio di convergenza. Serie esponenziali e
trigonometriche. Integrazione di funzioni su curve in campo
complesso. Interpretazione come integrali di forme
differenziali e relative proprietà. Integrazione di 1/z e z^k
(k intero) su una circonferenza centrata nell'origine.
Primitiva di una funzione complessa. Teorema fondamentale del
calcolo per funzioni complesse. Integrale nullo su un circuito
di una funzione cha ammette primitiva. Lezione 4 (8 marzo): Esempi di integrazione in campo
complesso. Esistenza di primitive di una funzione olomorfa in
un aperto semplicemente connesso. Teorema di Cauchy. Formula
integrale di Cauchy*. Lezione 5 (9 marzo): Indice di una curva. Esempi di
calcolo di integrali tramite la formula di Cauchy. Formula di
Cauchy per le derivate di ordine superiore. Analiticità delle
funzioni olomorfe. Zeri di una funzione olomorfa.
Caratterizzazione degli zeri di ordine n. Lezione 6 (11 marzo): L'insieme degli zeri di una
funzione olomorfa non nulla non ha punti di accumulazione (nel
dominio di definizione). Conseguenze. Funzioni intere. Teorema
di Liouville*. Teorema fondamentale dell'Algebra*. Punti
singolari e punti singolari isolati. Classificazione delle
singolarità: eliminabili, poli di ordine n, essenziali.
Esempi. Lezione 7 (15 marzo): Residuo. Teorema dei residui*.
Formula di calcolo per poli di ordine minore o uguale ad n.
Serie di Laurent. Caratterizzazione del residuo come
coefficiente della serie di Laurent. Lezione 8 (16 marzo): Calcolo tramite residui:
integrali impropri di funzioni razionali, integrali impropri
con funzioni oscillanti, integrali di funzioni razionali di
funzioni trigonometriche sul periodo. Lezione 9 (18 marzo): Calcolo dell'integrale improprio
di sin x/x sulla retta. Esempi di calcolo di integrali tramite
il teorema dei residui. Lezione 10 (22 marzo): Segnali. Funzione di Heaviside.
Funzioni trasformabili secondo Laplace. Ascissa di
convergenza. Esempi. Trasformata di Laplace. Esempi.
Trasformata di esponenziali. Funzione impulso e sua
trasformata. Linearità. Trasformata di seno e coseno.
Trasformata di t^n. Analiticità della trasformata di Laplace.
Formula per la derivata (e quindi per tutte le derivate). Lezione 11 (23 marzo): Proprietà della trasformata di
Laplace. Limitatezza, andamento all'infinito. Antitrasformata.
Formula per l'antitrasformata. Antitrasformate di funzioni
razionali. Altre proprietà: cambi di variabile lineari,
traslazioni, moltiplicazione per una funzione esponenziale.
Trasformata della derivata. Lezione 12 (1 aprile): Trasformata delle derivate di
ordine successivo. Soluzione di equazioni differenziali
ordinarie lineari tramite la trasformata di Laplace. Funzione
Gamma di Eulero e trasformata delle potenze. Formula della
trasformata di una funzione periodica. Lezione 13 (5 aprile): Esercizi di ripasso su analisi
complessa. Lezione 14 (6 aprile): Esercizi di ripasso su
trasformata di Laplace. Lezione 15 (8 aprile): Primo test intermedio - parte I Lezione 16 (8 aprile): Primo test intermedio - parte II Lezione 17 (12 aprile): Prodotto di convoluzione e sua
trasformata di Laplace. Esempi, esercizi. Soluzioni di
equazioni integrali e integro-differenziali. Lezione 18 (13 aprile): Cenni sulla misura di Lebesgue.
Misura esterna Insiemi misurabili e misura di Lebesgue.
Misurabilità degli insiemi di misura esterna nulla e in
particolare dell'insieme dei razionali. Funzioni semplici e
funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue. Relazione con
misura e integrale secondo Riemann e secondo Peano-Jordan.
Integrabilità della funzione di Dirichlet e non integrabilità
di sinx/x. Integrabilità delle funzioni positive integrabili
in senso improprio. Lezione 19 (15 aprile): Proprietà valide quasi ovunque
(in particolare, definizione di convergenza q.o.). Teorema di
Lebesgue o della convergenza dominata. Teorema di Fubini.
Spazi di funzioni sommabili. La relazione di equivalenza
"uguaglianza q.o.". Lo spazio L^1. Norma e distanza in L^1.
Esempi di successioni convergenti e non convergenti in
L^1. Successioni limitate che non convergono: concentrazione e
oscillazione. Lezione 20 (19 aprile): Teoria delle distribuzioni.
Motivazioni. Definizione di funzioni test e loro convergenza.
Definizione di distribuzione. Identificazione di funzioni
localmente sommabili come distribuzioni. Delta di Dirac. Altri
esempi. Derivata nel senso delle distribuzioni. Derivata della
funzione di Heaviside. Derivata di una funzione C^1 a tratti,
con eventualmente punti di salto. Lezione 21 (20 aprile): Esempi ed esercizi di calcolo
di derivate nel senso delle distribuzioni. La distribuzione
valor proprio di 1/x come derivata di log|x|. Esempi di
soluzioni di equazioni differenziali nel senso delle
distribuzioni. Trasformata di Laplace della delta di Dirac. Lezione 22 (22 aprile): Correzione degli esercizi della
prima prova intermedia Lezione 23 (22 aprile): Soluzione di
equazioni differenziali nel senso delle distribuzioni tramite la
trasformata di Laplace. Esempi con termine noto delta di Dirac e
relativa verifica. Convergenza nel senso delle distribuzioni.
Esempi di convergenza ad una delta di impulsi e di Gaussiane.
Lemma di Riemann-Lebegue. Calcolo dei limiti di funzioni
oscillanti. Esempi. Lezione 24 (26 aprile): Esercizi su derivate e convergenza
nel senso delle distribuzioni. Operazioni su distribuzioni. Lezione 25 (27 aprile): Spazi metrici completi. Il Lemma
delle contrazioni*. Lo spazio delle funzioni continue con la norma
uniforme. Applicazione del lemma delle contrazioni al problema di
Cauchy di esistenza di soluzioni di equazioni differenziali
ordinarie. Definizione di prodotto scalare. Lezione 26 (29 aprile): Norma hilbertiana. Diseguaglianza
di Cauchy-Schwarz. Regola del parallelogramma. Esempi di norme
non-hilbertiane. Vettori ortogonali. Teorema di Pitagora. Esempi
in L^2. Lo spazio l^2
("elle-piccolo 2"). Insiemi ortogonali. Insiemi ortonormali.
Esempi
in L^2 (funzioni
esponenziali complesse e funzioni trigonometriche).
Lezione 27 (3 maggio): Lineare indipendenza di insiemi di
vettori ortogonali. Spazi generati da un insieme ortogonale. Base
ortogonale. Definizione di spazio di Hilbert. Il teorema delle
proiezioni in uno spazio con prodotto scalare. Esempi. Lezione 28 (4 maggio): Esempi di calcolo di una base di
sottospazi di L^2
(-π,π)
usando gli insiemi ortogonali di funzioni trigonometriche o
esponenziali complesse noti. Il metodo di Gram-Schmidt*. Esempi. I
polinomi di Legendre. Lezione 29 (6 maggio): Polinomi trigonometrici e proiezioni
in L^2(-π,π). Esercizi sul teorema delle
proiezioni. Lezione 30 (10 maggio): Esercizi di ripasso su equazioni
integro-differenziali e con secondo membro delta o funzione
discontinue risolte tramite le trasformate di Laplace. Lezione 31
(11 maggio): Esercizi di ripasso su convergenza e
derivate nel senso delle distribuzioni. Esercizi di ripasso sul teorema delle
proiezioni. Lezione 32 (13 maggio): Secondo test
intermedio. Lezione 33 (13 maggio): Correzione
della seconda prova intermedia. Lezione 34 (24 maggio): Polinomi di Fourier
in L^2 e L^1. Diseguaglianza di Bessel per i
polinomi di Fourier
e proprietà di sommabilità dei coefficienti. Convergenza in L^2 e Identità di
Parseval. Teorema di convergenza in L^2
(dimostrazione posposta). Esempio: serie di Fourier
della funzione segno. Lezione 35 (25 maggio): Enunciati dei teoremi
di convergenza puntuale, uniforme e in L^2 delle
serie di Fourier. Dimostrazione della convergenza
L^2 noto il teorema della convergenza uniforme*.
Dimostrazione del teorema di convergenza puntuale*.
Nucleo di Dirichlet. Lezione 36 (25 maggio): Generalizzazioni del
teorema di convergenza puntuale. Esempi. Teorema di
localizzazione. Dimostrazione del teorema sulla
convergenza uniforme*. Lezione 37 (27 maggio). Esercizi su serie di
Fourier. Lezione 38 (27 maggio). Derivazione di una
serie di Fourier termine a termine e esempio di
applicazione alla soluzione di equazioni
differenziali.
Polinomi di Fejér e convergenza uniforme. Spettro di ampiezza e
spettro di fase. Serie di Fourier su intervalli arbitrari.
Definizione di trasformata di Fourie per una funzione L^1 e sua
motivazione. Limitatezza della trasformata. Esempi. Lezione 39 (31 maggio). Esempi. Proprietà della
trasformata di Fourier in L^1. Trasformata di una funzione reale
pari o dispari. Formula dell'antitrasformata. Proprietà rispetto
a traslazioni e cambiamenti di variabili lineari. Lezione 40 (1 giugno). Formula per la trasformata di
Fourier della derivata. Esempi. Formula per la derivata
della trasformata di Fourier. Esempi. Trasformata di Fourier delle
funzioni gaussiane. Trasformata di Fourier del prodotto di
convoluzione. Esempio: il prodotto di convoluzione di due
funzioni gaussiane è una funzione gaussiana. Lezione 41 (7 giugno). Esempi di applicazione della
trasformata di Fourier alla soluzione di equazionialle derivate
parziali. Equazione dei calore. Proprietà del nucleo del calore.
Equazione delle onde. Formula di d'Alambert. Lezione 42 (7 giugno). La classe di Schwartz delle
funzioni a decrescenza rapida. Sua inclusione negli spazi di
Lebesgue. La classe di Schwartz è stabile per trasformata di
Fourier. Trasformata di Fourier in L^2. Formula per il prodotto
in L^2 delle trasformate. Formula di Plancherel. Esempi. Lezione 43 (8 giugno). Distribuzioni temperate. Funzioni
a crescita lenta. Trasformata di Fourier di distribuzioni
temperate. Lezione 44
(14 giugno). Esercizi di
ripasso Lezione 45 (15
giugno). Esercizi di
ripasso Lezione
46 (17 giugno). Terza prova intermedia
Per analisi complessa e trasformata di Laplace si
possono anche consultare le dispense
del prof. Tauraso
Prima prova intermedia: 8 aprile - testo Seconda prova intermedia: 13 maggio - testo Terza prova intermedia: 17 giugno - testo Primo appello: 20
giugno - testo Secondo appello: 4 luglio - testo Terzo appello: 5 settembre - testo Quarto appello: 26 settembre - testo Quinto appello: 31 gennaio - testo Sesto appello: 14 febbraio - testo
MODALITÀ
D'ESAME
Esame scritto + esame orale (obbligatorio). Allo scritto si può usare il
testo ma non gli appunti, ne' calcolatrici o altro. Portate
fogli per la brutta.
