Analisi Matematica 1
per il corso di laurea in Matematica (2014-15)

Orario (29/9/2014-16/1/2015)

Lunedi' Mercoledi' Giovedi' Venerdi'
09:00-11:00 11:00-13:00 09:00-11:00
11:00-13:00
Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2) Aula 5 (ed. PP2)
Lezione (Tauraso) Lezione (Tauraso) Lezione (Tauraso) Tutorato (Trusiani-Volpi)


Contatti.
- telefono: 06-7259-4615,
- e-mail:

Orario di ricevimento.
- dal 29/9/2014-16/1/2015:
ogni lunedi' e giovedi' dalle 8:30 alle 9:00 in aula prima della lezione,
ogni mercoledi' dalle 13:00 alle 13:30 in aula dopo la lezione,
ogni lunedi' dalle 14:00 alle 15:30 presso il mio ufficio n. 0206 del Dipartimento di Matematica (edifici SOGENE);
- dal 17/1/2015 su appuntamento da concordare via email.

Tutorato.
- Il tutorato si svolge ogni venerdi' dalle 11:00 alle 13:00 in aula 5 (ed.PP2) ed e' condotto dal dott. Antonio Trusiani e dalla dott.ssa Mara Volpi. Ogni settimana verra' proposto un foglio con alcuni problemi relativi agli argomenti svolti a lezione. Gli studenti dovranno svolgere tali problemi prima in aula (ponendo eventuali domande al tutore) e poi a casa. Se uno studente vuole verificare che la soluzione anche parziale di un problema del tutorato sia corretta puo' consegnare al docente (all'inizio o al termine di una lezione) i fogli con i suoi svolgimenti per una correzione "informale". Successivamente (una decina di giorni dopo) verranno pubblicate su questa pagina le soluzioni dei problemi dati (vedi il diario del corso). Tali soluzioni verrano scritte "ispirandosi" anche ai fogli consegnati dagli studenti.

Obiettivi di apprendimento. Il corso si propone di illustrare alcuni concetti base del calcolo differenziale. L'obiettivo e' quello di rendere lo studente capace di elaborare tali concetti in maniera critica e di acquisire le conoscenze e la confidenza necessarie per risolvere con rigore i problemi proposti, entrando cosi' nello spirito della disciplina.

Programma del corso. Numeri naturali e assiomi di Peano. Principio di induzione. Numeri interi relativi e numeri razionali. Numeri reali. Numerabilita' di Z e Q e non numerabilita' di R. Disuguaglianza aritmetico-geometrica. Numeri complessi. Coefficienti binomiali e binomio di Newton. Topologia della retta reale. Estremo superiore e inferiore. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Proprieta' principali delle funzioni elementari. Limiti di funzioni reali e studio di alcuni limiti notevoli. Limite superiore e limite inferiore. Definizione del numero di Nepero e sua irrazionalita'. Proprieta' fondamentali delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass e teorema dei valori intermedi. Infinitesimi, la notazione "o-piccolo" e il suo uso. Calcolo differenziale: definizione di derivata e prime proprieta'. Teoremi di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy e di Darboux. Criterio di monotonia. Funzioni convesse e loro principali proprieta'. Teoremi di de l'Hopital e di Stolz-Cesaro. La successione dei numeri armonici e la costante di Eulero-Mascheroni. Successioni di Cauchy. Esistenza e unicita' del punto fisso per le contrazioni in R.
I dettagli degli argomenti svolti si possono consultare nel diario delle lezioni.

Libro di testo. Il libro consigliato e' "Analisi Matematica 1 (terza edizione)" di Enrico Giusti pubblicato dalla Bollati Boringhieri. Tale libro contiene parecchi esercizi che comunque verranno integrati con altro materiale fornito durante il corso.

Modalita' di verifica. Nell'anno accedemico sono previsti cinque appelli. Ad ogni appello a cui si intende partecipare si puo' sostenere l'esame che consiste di una prova scritta e di una prova orale (non sono previste prove in itinere o esoneri). Per la prova scritta e' necessario prenotarsi utilizzando il portale Delphi. La prenotazione riguarda solo la prova scritta (e va ripetuta ad ogni appello a cui si intende partecipare) mentre per la prova orale e' necessario seguire le indicazioni riportate sulla pagina web con i voti della prova scritta. La prova orale e' di solito un paio di giorni dopo la prova scritta ed e' improrogabile. Nella prova scritta non e' possibile utilizzare alcun testo. Per essere ammessi alla prova orale e' necessario che la prova scritta sia sufficiente. Se anche la prova orale e' sufficiente e lo studente accetta il voto finale, si verbalizza tale voto e l'esame e' concluso, altrimenti va rifatta la prova scritta ad uno degli appelli successivi. Le date dei cinque appelli sono le seguenti:

- Primo appello: 26/1/2015, ore 10, aula 5 edificio PP2.
- Secondo appello: 20/2/2015, ore 10, aula 5 edificio PP2.
- Terzo appello: 24/6/2015, ore 10, aula 5 edificio PP2.
- Quarto appello: 29/7/2015, ore 10, aula 5 edificio PP2.
- Quinto appello: 2/9/2015, ore 10, aula 5 edificio PP2.

Prova scritta del 26/1/2015

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 20/2/2015

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 24/6/2015

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 29/7/2015

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 2/9/2015

Testo: Svolgimento: Voti


Queste sono le prove dell'anno accademico 2013-14:

Prova scritta del 29/1/2014

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 17/2/2014

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 25/6/2014

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 29/7/2014

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 15/9/2014

Testo: Svolgimento: Voti


Queste sono le prove dell'anno accademico 2012-13:

Prova scritta del 5/2/2013

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 26/2/2013

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 25/6/2013

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 23/7/2013

Testo: Svolgimento: Voti

Prova scritta del 16/9/2013

Testo: Svolgimento: Voti


Link utili.
- Come studiare matematica? Qualche consiglio: Link 1, Link 2, Link 3, Link 4.
- Women in Maths e' una comunita' FB dedicata alle donne che lavorono nell'ambito della matematica.
- Matematici di Tor Vergata e' un archivio on-line di materiale didattico gestito dagli studenti di matematica.
- Wolfram Alpha. Esempi: disequazione, numeri complessi, limite, asintoto, derivata, grafico, espansione, valore massimo.
- GeoGebra. Un esempio tratto dalla prova scritta del 26/1/2015: problema4ii.gbb
- Online Graphic Calculator 1.
- Online Graphic Calculator 2.
- Mathematics Stack Exchange Network ( wiki).
- MathOverflow ( wiki).
- Simpsons Math ( exp(i*pi)+1=0, exp(i*pi)=-1).
- Futurama Math.
- Una recensione di Super Farmer, il gioco inventato da Karol Borsuk.

 

Diario delle lezioni

Nr. Giorno Argomento
L01 Lu 29/9/14 Introduzione al corso. Descrizione degli insiemi numerici N,Z,Q,R,C. Discussione informale della disuguaglianza 3< Pi < 4 (vedi anche link)
L02 Me 1/10/14 Cos'e' una dimostrazione matematica? Numeri naturali e assiomi di Peano. Principio di induzione con esempi.
L03 Gi 2/10/14 Disuguaglianza di Bernoulli. Coefficienti binomiali e binomio di Newton. Cenno al teorema fondamentale dell'aritmetica. sqrt(2) non e' razionale.
T01 Ve 3/10/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 1 - Testi: - Soluzioni:
L04 Lu 6/10/14 Se n e' un intero positivo che non e' un quadrato perfetto allora sqrt(n) non e' razionale. Principio di induzione "forte" e un esempio con i numeri di Fibonacci. Disuguaglianza della media aritmetica e della media geometrica e alcune sue applicazioni di carattere geometrico.
L05 Me 8/10/14 Numeri reali. Assiomi di campo totalmente ordinato, assioma di Archimede e assioma di continuita' ( principio degli intervalli inscatolati). Densita' di Q e R\Q in R.
L06 Gi 9/10/14 Introduzione al concetto di funzione e definizioni di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca e inversa. Numerabilita' di N, Z e Q. R non e' numerabile.
T02 Ve 10/10/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 2 - Testi: - Soluzioni:
L07 Lu 13/10/14 Insieme delle parti. Non esiste una funzione biunivoca da un insieme X all'insieme delle sue parti P(X). Cenno al fatto che R, P(N) e RxR sono equipotenti (vedi numeri cardinali). Numeri complessi : notazioni cartesiana, definizioni di somma, prodotto, coniugio, reciproco e prime proprieta'.
L08 Me 15/10/14 Discussione di un problema del tutorato. Notazione trigonometrica (o polare), notazione esponenziale (o formula di Eulero) di un numero complesso. Potenze di un numero complesso (o formula di De Moivre). Radici n-esime di un numero complesso (prima parte).
L09 Gi 16/10/14 Radici n-esime di un numero complesso (seconda parte). Risoluzione di un' equazione polinomiale di secondo grado in C. Cenno al Teorema Fondamentale dell'Algebra. Disuguaglianza triangolare.
T03 Ve 17/10/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 3 - Testi: - Soluzioni:
L10 Lu 20/10/14 Definizioni di insieme limitato, di elemento minimo/massimo, di minorante/maggiorante, estremo superiore/inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore/inferiore. Proprieta' caratterizzanti dell'estremo superiore/inferiore e loro uso. Definizione di funzione crescente, decrescente, rapporto incrementale.
L11 Me 22/10/14 Proprieta' principali delle funzioni elementari (prima parte): polinomi, funzioni razionali, radice n-sima reale, funzioni trigonometriche e loro inverse.
L12 Gi 23/10/14 Proprieta' principali delle funzioni elementari (seconda parte): funzione esponenziale, funzione logaritmo, valore assoluto, parte intera, parte frazionaria, segno, funzione di Dirichlet, funzione di Thomae. Determinazione dell' insieme di definizione di una funzione reale di variabile reale.
T04 Ve 24/10/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 4 - Testi: - Soluzioni:
L13 Lu 27/10/14 Topologia della retta reale. Definizioni di intorno, punto di accumulazione, punto isolato, insieme aperto, insieme chiuso e chiusura di un insieme. Definizione di limite (destro e sinistro) di una funzione in un punto e prime proprieta' (unicita', permanenza del segno e limitatezza in un intorno). Esempi di verifica di un limite con la definizione e esempi di non esistenza di un limite.
L14 Me 29/10/14 Teoremi sul limite di una combinazione lineare, di un prodotto e di un quoziente. Definizione di funzione continua. L'insieme delle funzioni continue in un intervallo I, C(I), e' uno spazio vettoriale. Polinomi, funzioni razionali, funzione radice n-sima, esponenziale, logaritmo, seno, coseno e tangente e loro funzioni inverse sono continue nell'insieme di definizione.
L15 Gi 30/10/14 Teorema del (doppio) confronto. Il prodotto di una funzione limitata per una funzione infinitesima e' infinitesimo. Disuguaglianza sen(x)< x < tan (x) per x in (0,pi/2). Alcuni limiti notevoli trigonometrici per x->0: sen(x)/x, (1-cos(x))/x^2, tan(x)/x. Limite notevole: (1+x)^(1/x) per x->0 tende al numero e (da dimostrare successivamente). Altri limiti notevoli per x->0: (a^x-1)/x, log_a(1+x)/x, ((1+x)^a-1)/x.
T05 Ve 31/10/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 5 - Testi: - Soluzioni:
L16 Lu 3/11/14 Teorema del limite delle funzioni composte. Definizione e calcolo del limite di una successione. Legame tra limite di f(x) per x-> x_0 e il limite di f(x) lungo le successioni x_n->x_0. Definizione e proprieta' dei limiti con i simboli +/-infinito. Algebra dei simboli +/-infinito, 0^+,0^-. Forme indeterminate. Limite a +/-infinito di una funzione razionale.
L17 Me 5/11/14 Confronto tra gli infiniti n^n, n!, n^a, exp(n), log(n). Studio delle successione della somma parziale geometrica e cenno al fatto che numeri decimali periodici sono numeri razionali. Asintoti per x->+\-infinito: definizioni ed esempi.
L18 Gi 6/11/14 Teorema del limite delle funzioni monotone. Il limite della successione (1+1/n)^n esiste, e' numero reale compreso tra 2 e 3 e si definisce come numero e. Il limite di (1+x)^(1/x) per x->0 e il limite di (1+1/x)^(x) per x->+/-infinito tendono al numero e. Appunti della lezione (vedi allerta meteo).
T06 Ve 7/11/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 6 - Testi: - Soluzioni:
L19 Lu 10/11/14 Lunghezza (area) della circonferenza (cerchio) come limite dei perimetri (aree) dei poligoni regolari inscritti. Successioni definite per ricorsione. Esempio dell' algoritmo di calcolo di sqrt(a). Funzioni continue: teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi.
L20 Me 12/11/14 Sottosuccessione: definizione ed esempi. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni. Caratterizzazione degli insiemi compatti (per successioni) in R come insiemi chiusi e limitati. Teorema di Weierstrass o esistenza del punto di max e del punto di min.
L21 Gi 13/11/14 Teorema della continuita' della funzione inversa. Cenno ai punti di discontinuita' (in particolare quelli "eliminabili"). Discussione dei grafici delle funzioni: sin(x)/x, sin(1/x), 1/parteintera(1/x). Definizione di insieme di Cantor e cenni alle sue proprieta': e' un insieme chiuso, non numerabile, senza punti interni, con dimensione intermedia tra 0 e 1. Cenno ad altri insiemi frattali: Sierpinski e Koch.
T07 Ve 14/11/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 7 - Testi: - Soluzioni:
L22 Lu 17/11/14 Introduzione al calcolo differenziale: definizioni di rapporto incrementale, derivata (destra e sinistra), retta tangente. Ogni funzione derivabile e' continua. La notazione "o-piccolo" e il suo uso. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari.
L23 Me 19/11/14 Calcolo della derivata di una combinazione lineare di funzioni, del prodotto di funzioni e del rapporto di due funzioni. Calcolo della derivata della funzione composta. Calcolo della derivata della funzione inversa.
L24 Gi 20/11/14 Definizioni di punto di massimo/minimo assoluto e relativo di una funzione. Definizione di punto interno di un insieme. Teorema di Fermat sui punti stazionari (derivata nulla), teorema di Rolle.
T08 Ve 21/11/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 8 - Testi: - Soluzioni:
L25 Lu 24/11/14 Il teorema di Lagrange (o teorema del valor medio) e il teorema di Cauchy Il criterio di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo. Applicazioni del criterio di monotonia: verifica di una disuguaglianza e determinazione del numero di soluzioni di un'equazione.
L26 Me 26/11/14 Teorema di de l'Hopital (Bernoulli) con esempi (in particolare nell'analisi degli infinitesimi).
L27 Gi 27/11/14 Studio di una disuguaglianza con il criterio di monotonia. Ancora esempi di uso del teorema di de l'Hopital e dell'o-piccolo nel calcolo di limiti. Teorema degli zeri per la derivata prima (Darboux). Considerazioni sulla regolarita' della funzione x->x^2*sin(1/x).
T09 Ve 28/11/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 9 - Testi: - Soluzioni:
L28 Lu 1/12/14 Definizioni di insieme convesso e di funzione convessa in un intervallo con esempi. La convessita' come la crescenza del rapporto incrementale x->R_f(x_0,x). Ogni funzioni convessa in un intervallo e' continua nei punti interni di tale intervallo. Criteri di convessita': f' crescente, il grafico di f sta sopra le sue rette tangenti, f'' non negativa. Definizione di punto di flesso.
L29 Me 3/12/14 Se f e' strettamente convessa allora ogni retta interseca il grafico di f in al piu' due punti e ogni retta tangente interseca il grafico di f in un solo punto. Utilizzo del teorema di Rolle nel conteggio del numero di zeri di una funzione. Punti di non derivabilita': punto angoloso, cuspide e flesso con tangente verticale. Studio del grafico di una funzione con esempi (prima parte).
L30 Gi 4/12/14 Studio del grafico di una funzione con esempi (seconda parte). Le funzioni iperboliche e le loro inverse. Teorema di Stolz-Cesaro con esempi. La successione dei numeri armonici e' divergente.
T10 Ve 5/12/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 10 - Testi: - Soluzioni:
L31 Me 10/12/14 Definizione di successione di Cauchy. Una successione e' convergente a un numero reale se e solo se e' di Cauchy. Funzioni Lipschitziane. Esistenza e unicita' del punto fisso per le contrazioni. Esempi di contrazioni.
L32 Gi 11/12/14 Il numero e non e' razionale. La successione (1+1/2+...+1/n)-ln(n) tende ad un limite finito (la costante di Eulero-Mascheroni).
T11 Ve 12/12/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 11 - Testi: - Soluzioni:
L33 Lu 15/12/14 Definizioni di limite superiore e limite inferiore, prime proprieta' e alcuni esempi. Esempi di calcolo di limsup, liminf. Le successioni {sin(n)} e {cos(n)} per n intero non hanno limite. Discussione di un problema geometrico con i numeri complessi.
L34 Me 17/12/14 Calcolo dell'area di un segmento parabolico. Ogni funzione continua su R tale che il limite per x->+/- infinito di f(x) e' +infinito, ammette un punto di minimo assoluto.
T12 Gi 18/12/14 Tutorato - Foglio di problemi n. 12 - Testi: - Soluzioni:

Vacanze di Natale
Me 7/1/15 Ricevimento collettivo in aula.
Gi 8/1/15 Ricevimento collettivo in aula.
Lu 12/1/15 Ricevimento collettivo in aula.
Me 14/1/15 Ricevimento collettivo in aula.
Gi 15/1/15 Ricevimento collettivo in aula.