Metodi Matematici per
l'Ingegneria (per
Ingegneria Medica e Telecomunicazioni)
Programma
1. Elementi di analisi funzionale:spazi vettoriali reali e complessi,
spazi normati, spazi di Banach, spazi C^k e spazi L^p, spazi di
Hilbert, teorema della proiezione,
sistemi ortonormali in L^2
2. Serie di Fourier : convergenza in L^2, puntuale ed uniforme,
fenomeno
di Gibbs.
3. Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, integrazione in
campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative
conseguenze, funzioni analitiche
e principali proprietà,
singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei
residui e applicazione al calcolo di integrali impropri, cenni su
trasformazioni conformi
4. Trasformata di Laplace e principali proprietà, formula di
inversione, convoluzione e principali proprietà
5. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di L^2 e
proprietà principali, formula di inversione. Teorema di Shannon
sul campionamento dei segnali
6. Cenni sulla teoria delle distribuzioni: funzioni test, distribuzioni
indotte da funzioni localmente sommabili, limiti nel senso delle
distribuzioni, delta di Dirac e sua
trasformata di Fourier e di
Laplace, derivate distribuzionali
7. Applicazione delle trasformate di Laplace e Fourier alla soluzione
di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali,
proprietà del nucleo del
calore.
Testo consigliato: G.C. Barozzi. Matematica per l'Ingegneria
dell'Informazione. Zanichelli.
Lezioni 3-4. Distanza e
successioni convergenti in uno spazio normato. Norme equivalenti.
Trasformazioni lineari continue. Spazi di Banach (Cap. 1.2).
Lezioni 5-6. Spazi vettoriali
normati con prodotto scalare. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Vettori
ortogonali. Esempi. (Cap. 1.3) Lezioni 7-8. Spazi
generati da vettori ortogonali. Polinomi trigonometrici e loro basi
(complessa e reale). Spazi di Hilbert. Spazio l^2 (elle-piccolo-due).
Spazi
di Lebesgue. Proiezioni ortogonali. (Cap. 1.3-1.4, Cap. 2.4)
Lezioni 9-10.
Diseguaglianza di Bessel. Metodo di Gram-Schmidt. Polinomi di Legendre.
Polinomi di Fourier. Diseguaglianza di Bessel per i polinomi
trigonometrici. Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier in
L^2. Identità di Parseval. Esempi. (Cap. 1.4, 3.1, 3.4)
Lezioni 11-12. Criteri di
convergenza puntuale e convergenza uniforme.
Lemma di Riemann-Lebesgue. Lemma di localizzazione. Serie di Fourier
derivata. Polinomi di Fejer. (Cap. 3.2-3.3)
Lezioni 13-14. Fenomeno di
Gibbs. Spettro di ampiezza e spettro di
fase. Esercizi (Cap. 3.5, Appendice 3.A)
Lezioni 15-16. Derivata
complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann e loro interpretazione
geometrica. Funzioni olomorfe, funzioni intere. Esempi. Esponenziale e
Logaritmo complesso (Cap. 4.2, 4.3)
Lezioni 17-18. Serie di
potenze. Convergenza uniforme e derivabilità all'interno del
cerchio di convergenza.
Integrazione in campo complesso. Primitiva di una funzione complessa.
Caratterizzazione delle funzioni che ammettono primitive (Cap. 4.4,
4.5).
Lezione 19-20. Esistenza di
primitive di una funzione olomorfa in un aperto semplicemente connesso.
Formula integrale di Cauchy. Indice rispetto a una curva. Funzioni
analitiche. Analiticità delle funzioni olomorfe.
Proprietà delle funzioni analitiche. Zeri di ordine n. Principio
di identità e non-esistenza di zeri di ordine infinito.
Proprietà dell'insieme degli zeri. Unicità del
prolungamento analitico. (Cap. 4.5, 4.6)
Lezione 21-22. Teorema di
Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Punti singolari isolati.
Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent. Legame con le serie di
Fourier. Esempi (Cap. 4.6, 4.7)
Lezione 23-24. Residuo.
Teorema dei residui. Formule di calcolo dei residui. Esempi di calcolo
di integrali tramite il teorema dei residui. Lemmi di integrazione su
grandi e piccoli cerchi. (Cap. 4.7, 4.8)
Lezione 25-26. Esercizi di
ripasso sulle funzioni di variabile complessa. Teorema dell'Indicatore
Logaritmico. (Cap. 4.8)
Lezioni 27-28. La trasformata
di Laplace. Definizioni e principali proprietà. Trasformate di
funzioni elementari. Segnali. (Cap. 5.1, 5.2)
Lezioni 29-30. Trasformata di
una funzione periodica. Trasformata della derivata. Soluzioni di
equazioni differenziali ordinarie tramite la trasformata di Laplace.
(Cap. 5.2, 5.5)
Lezioni 31-32. Soluzioni di
equazioni differenziali con termini discontinui. Trasformata della
convoluzione. Equazioni integro-differenziali. Soluzione impulsiva.
Funzioni Gamma e Beta di Eulero. (Cap. 5.2, 5.3 e 5.5)
Lezioni 33-34. Formula di
inversione della trasformata di Laplace. Trasformata di Fourier e sua
giustificazione come "limite" di serie di Fourier. Esempi. Trasformate,
continuità, parità e disparità. (Cap. 5.4 e 6.1)
Lezioni 35-36. Formula di
inversione della trasformata di Fourier e legame con l'inversione della
trasformata di Laplace. Proprietà analoghe a quelle della
trasformata di Laplace. Proprietà delle Gaussiane. Trasformata
di Fourier in L^2. Identità di Plancherel e tra i prodotti
scalari di trasformate di Fourier e i prodotti scalari delle relative
funzioni. (Cap. 6.1, 6.2 e 6.3)
Lezioni 37-38. Applicazioni
delle trasformate di Fourier: calcolo di integrali tramite
l'identità di Plancherel, soluzione dell'equazione del calore e
delle onde, teorema di Shannon. (Cap. 6.3, 6.4, 8.4, 8.5)
Lezioni 39-40. Distribuzioni.
Esempi. Delta di Dirac. Convergenza nel senso delle distribuzioni.
Derivata nel senso delle distribuzioni. (Cap. 7.1)
Lezioni 41-42. Operazioni sulle
distribuzioni. Derivate di ogni ordine. Soluzioni di equazioni
differenziali nel senso delle distribuzioni. Distribuzioni temperate.
Trasformate di Fourier di distribuzioni temperate. (Cap. 7.2, 7.3)
