Geometria II 2012-'13 - Ing. Meccanica

Dr. Andrea Iannuzzi

Dipartimento di Matematica

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza 2003

Telefono: 06 72594728

iannuzzi [chiocciola] mat.uniroma2.it

CORSO "GEOMETRIA II" PER INGEGNERIA MECCANICA, a.a. 2013-2014, primo semestre.

Ricevimento studenti:
Dopo la fine delle lezioni e per appuntamento.

Modalità di esame:
Test finale a risposta multipla e orale: due appelli a febbraio, due a luglio e due a settembre.

Test del 28 gennaio

SESSIONE ESTIVA ANTICIPATA, PRIMO APPELLO
martedi' 4 febbraio, ore 10.00, Aula B8

SESSIONE ESTIVA ANTICIPATA, SECONDO APPELLO
martedi' 25 febbraio, ore 10.00, Aula B8

SESSIONE ESTIVA, PRIMO APPELLO
venerdi' 4 luglio, ore 10.00, Aula C3

SESSIONE ESTIVA, SECONDO APPELLO
martedi' 22 luglio, ore 10.00, Aula C3

SESSIONE AUTUNNALE, PRIMO APPELLO
martedi' 9 settembre, ore 10.00

SESSIONE AUTUNNALE, SECONDO APPELLO
mercoledi' 24 settembre, ore 10.00

Argomenti del corso:
Complementi di Algebra Lineare e Geometria Euclidea,
Geometria Differenziale di curve nel piano e nello spazio e di superfici nello spazio.

Suggerimenti bibliografici:
Complementi di Algebra Lineare e Geometria Euclidea:
note, esercizi e libri utilizzati nel corso del primo anno reperibili sui seguenti siti:
Sito di Eleonora Ciriza,
Sito di Gianbattista Marini,
Sito di Antonio Rapagnetta.
Altro materiale utile e' reperibile sulle pagine web degli scorsi anni:
Sito di Giuseppe Pareschi ,
Sito di Laura Geatti .

Geometria Differenziale:
M. Do Carmo: "Differential Geometry of curves and surfaces", Prentice Hall 1976.
M. Abate, F. Tovena: "Curve e superfici", Universitext, Springer 2006,
A. Presley: "Elementary Differential Geometry", Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer 2001.
G. Campanella: "Curve e Superfici Differenziabili: esercizi svolti", Aracne Editrice, 2000 (all'inizio di ogni capitolo vengono richiamati gli argomenti di teoria relativi agli esercizi proposti).

Siti utili:

traslazioni rotazioni riflessioni
3D-XplorMath programma per la visualizzazione geometrica (gratuito)
graphing calculator programma per la visualizzazione geometrica
galleria di curve e superfici

Filmetti:

retta tangente ad una curva piana mov
versore normale ad una curva piana mov
le sezioni coniche mov
paraboloide di rotazione mov
sezioni verticali del paraboloide, grafico di f(u,v)=u²+v² mov
sezioni orizzontali del paraboloide mov
sella, grafico di f(u,v)=uv mov
sezioni orizzontali della sella mov
sezioni verticali della sella mov
sezioni verticali della sella mov
sezioni verticali della sella mov
sella, grafico di f(u,v)=u²-v², e piano tangente alla superficie nell'origine mov
sezioni orizzontali della sfera mov
sezioni orizzontali dell'ellissoide mov
il catenoide diventa un elicoide mov

Argomenti svolti:

Settimana 1 (1-4 ottobre): Richiami di algebra lineare, spazi vettoriali numerici euclidei, prodotti scalari definiti positivi.

Settimana 2 (8-11 ottobre): Basi ortonormali, Gram-Schmidt. Proiezione ortogonale di v su w. Disuguaglianza di Schwarz. Lunghezze ed angoli tra vettori. Prodotto vettoriale in (R^3, < , >): proprieta' e applicazioni. Foglio esercizi

Settimana 3 (15-18 ottobre): Orientazioni, distanza indotta dal prodotto scalare, matrici ortogonali dirette e inverse, teorema fondamentale sulle isometrie, le isometrie di (R^2,< , >): traslazioni, rotazioni e ribaltamenti.

Settimana 4 (22-25 ottobre): Matrici ortogonali e sottospazi invarianti, le isometrie di (R^3, < , >): traslazioni, rotazioni intorno ad un asse, riflessioni rispetto ad un piano. Le riflessioni ortogonali rispetto ad un dato sottospazio sono isometrie. Proiezioni su e riflessioni rispetto ad un sottospazio affine Foglio esercizi

Settimana 5 (27 ottobre-1 novembre): Dimostrazione del teorema fondamentale sulle isometrie, discussione esercizi su isometrie e riflessioni.

Settimana 6 (5-8 novembre): Operatori autoaggiunti o simmetrici e matrici a loro associate rispetto ad una base ortonormale. I loro autospazi sono a due a due ortogonali. Sono caratterizzati dall'essere diagonalizzabili su base ortonormale: dimostrazione nei casi di dimensione 2 e 3. Come corollario: data A matrice reale nxn simmetrica, esiste C ortogonale tale che ^tCAC sia diagonale. Foglio esercizi (dagli scorsi anni anche: Foglio esercizi, 11-12 Foglio 1 e 11-12 Foglio 2)

Settimana 7 (12-15 novembre): Forme bilineari simmetriche: prorieta, rappresentazione rispetto ad una base fissata, segnatura e forme canoniche. Diagonalizzazione usando il teorema spettrale.

Settimana 8 (19-22 novembre) Criteri di Cartesio e di Sylvester, diagonalizzazione usando gli spazi ortogonali ai vettori non isotropi. Proprieta' estremali degli autovalori dell'operatore autoaggiunto associato ad una forma quadratica di (R^n, < , >). 11-12 Foglio 3

Settimana 9 (26-29 novembre) Coniche: matrici associate, classificazione metrica, riduzione a forma canonica, invarianti 11-12 Foglio 4-1

Settimana 10 (2-6 dicembre) Classificazione delle coniche per mezzo degli invarianti, L'ellisse come luogo geometrico.

Settimana 11 (9-13 dicembre) Le coniche come luoghi geometrici: simmetrie, fuochi, direttici, eccentricita', asintoti, equazioni parametriche. Aree e volumi nello spazio eulcideo tridimensionale, esercizi.

Settimana 12 (16-20 dicembre) Curve regolari: cambiamenti ammissibili di parametro e classi di equivalenza di rappresentazioni parametriche regolari, esempi. Parametrizzazioni per lunghezza d'arco (ovvero r.p. normali), esistenza e come differiscono tra di loro. Il triedo mobile di Frenet, la curvatura scalare, le rette tangenti normali e binormali, il piano osculatore, il cerchio osculatore; calcoli ed equazioni sia rispetto a r.p.n. che a r.p.r. arbitrarie.

Settimana 13 (7-10 gennaio) La torsione e le formule di Frenet, rappresentazione locale delle curve (rispetto al riferimento di Frenet) e significato geometrico del segno della torsione, velocita' di cambiamento dei piani osculatori e caratterizzazione delle curve piane in termini della torsione. Calcolo della torsione rispetto a r. p. biregolare arbitraria.

Settimana 14 (14-17 gennaio) Invarianza della torsione rispetto a movimenti rigidi. Il teorema fondamentale per le curve. Le eliche cilindriche. Rappresentazione polare di una curva piana e sua regolarita' in termini di tale rappresentazione, grafici di funzioni e curve assegnate in forma implicita nel piano e nello spazio euclideo.

Settimana 15 (21-24 gennaio) Rappresentazioni regolari di superfici dello spazio euclideo: superfici regolarmente immerse. Il piano tangente: le sue equazioni parametriche e cartesiane e caratterizzazione come insieme di vettori tangenti a curve di S. Versori normali, linee coordinate. Superfici assegnate in forma implicita, le quadriche. Rappresentazioni parametriche per l'ellissoide: le proiezioni sui piani coordinati danno parametrizzazioni per le 6 distinte calotte, latitudine e longitudine, proiezione stereografica. (fissato un piano coordinato, lo sezioniamo cosi'). Rappresentazione parametrica standard delle superfici di rotazione e sua regolarita'. L'iperboloide iperbolico: le proiezioni sui piani coordinati danno parametrizzazioni per 4 distinte intersezioni con semispazi coordinati, altezza rispetto al piano {z=0} e longitudine, schiere di rette e realizzazione parametrica come superficie rigata. Esercizi da Unict: F.Russo

Settimana 16 (28-31 dicembre) Tra le rigate, quelle sviluppabili: cilindri, coni e superfici tangenti ad una curva (bi)regolare. L'involuta e l'evoluta di una curva biregolare: il tipico profilo dei denti di un ingranaggio. La prima forma fondamentale e i suoi coefficienti: lunghezza di archi di curve contenute in una superficie, angoli tra vettori tangenti aree di porzioni di superficie.