Geometria II 2011-'12 - Ing. Meccanica

Prof. Giuseppe Pareschi

Dipartimento di Matematica

Viale della Ricerca Scientifica 1, 00133, Roma, IT

Stanza: 0212

Telefono: 06 72594621

pareschi@mat.uniroma2.it

CORSO "GEOMETRIA II" PER INGEGNERIA MECCANICA, a.a. 2011-'12

Orario:
MAR 11.30 - 13.15, aula 6,
VEN 9.30 - 11.15, aula 9 AVVISO IMPORTANTE: la lezione di venerdi 9 dicembre comincerà alle 8.45

Ricevimento studenti:
Nell'ora successiva a quelle di lezione e per appuntamento

Modalità di esame:
Esame scritto e orale (due appelli a febbraio, due a luglio e due a settembre, secondo il calendario della Facoltà di Ingegneria )
Coloro il cui Corso di Studi si inquadra nel vecchio ordinamento possono, SE LO DESIDERANO, sostenere il loro esame da 5 crediti sul programma del corso di Geometria 2 del 2009-'10, tenuto dalla Prof. Maria Artale. Altrimenti possono sostenere il loro esame sul programma del corso attuale, ridotto di un sesto.

Date esami :

Mercoledi 8 febbraio, ore 13.30-16.30, Aula B6 Comparto 9 (notare il cambio di data e aula) testo con soluzioni

Giovedi 1 marzo, ore 11-14, Aula 17 (Edificio Ingegneria Industriale, Piano Terra)

Date orali: da stabilire.

Per prenotarsi inviare una e-mail al Prof. Pareschi ( pareschi@mat.uniroma2.it ), specificando Nome, Cognome, Anno di Corso, e se si intende sostenere l'esame da sei crediti o da cinque. In quest'ultimo caso, specificare inoltre se si intende sostenere l'esame secondo il programma attuale o secondo quello del 2009-'10.

Argomenti del corso:

Complementi di Algebra Lineare e Geometria Euclidea

Geometria Differenziale di curve nel piano e nello spazio e di superfici nello spazio.

Libri di Testo:

Geometria Differenziale:
A. Pressley: Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer

Complementi di Algebra Lineare e Geometria Euclidea:
note a cura del docente

Altri testi:
Ted Shifrin, Differential Geometry, a first course in Curves and Surfaces
Liviu Mare, Elementary Differential Geometry
T. Apostol: Calcolo Vol. 2 (Geometria) e Vol. 3 (Analisi 2), Boringhieri
M. Lipschutz: Differential Geometry, Schaum's Outlines, McGraw - Hill

Argomenti svolti:

Settimana 1 (3-7 ottobre): Basi ortonormali. Matrici ortogonali. Orientazione di una base. Isometrie e movimenti rigidi di R(n) (il teorema principale non e' stato dimostrato). Isometrie e movimenti rigidi di R(2). Esercizi 1.

Settimana 2 (10-14 ottobre): Analisi dei movimenti rigidi di R(3): rotazioni attorno ad asse. Applicazioni lineari autoaggiunte e matrici simmetriche. Teorema spettrale (dimostrato solo in dimensione 2 e 3). Forme bilineari simmetriche: definite, semidefinite, indefinite Esercizi 2.

Settimana 3 (17-21 ottobre): Metodi e criteri per calcolare il segno di una forma bilineare simmetrica. Forma quadratica associata. Matrice rappresentativa di una forma bilineare simmetrica e cambiamento di base. Forma bilineare simmetrica associata ad un operatore autoaggiunto e riduzione a forma diagonale, per mezzo di una base ortonormale, della relativa forma quadratica. Interpretazione degli autovalori massimo e minimo come massimo e minimo della forma quadratica sulla sfera unitaria. Coniche. Coniche in forma standard. Riduzione alla forma standard per mezzo di un movimento rigido. Esercizi 3

Settimana 4 (24-28 ottobre): Riduzione di una conica a forma standard per mezzo di un movimento rigido (continuazione). Fuochi, direttrici, eccentricità . Criterio per stabilire se una conica è degenere. Esercizi 4-1 Esercizi 4-2

Settimana 5 (solo 4 novembre): Funzioni di variabile reale a valori vettoriali. Curve parametrizzate. Riparametrizzazioni. Vettore velocità e retta tangente. Esempio: propriet\`a di riflessione delle coniche.Esercizi 5

Settimana 6 (7-11 novembre) Lunghezza d'arco. Velocit\`a scalare. Riparametrizzazioni a velocit\`a unitaria. Vettore accelerazione. Curvatura. Curve piane. Funzione angolo tra il vettore tangente e l'asse x, in relazione con la curvatura. Caratterizzazione degli archi di circonferenza come le curve piane con curvatura costante. Esercizi 6 Esercizi 7 Esercizi 8

Settimana 7 (14-18 novembre) Curvatura con segno di curve in R(2). Teorema fondamentale per le curve in R(2): data una funzione liscia k esiste sempre una curva, unica a meno di movimento rigido, con funzione curvatura con segno uguale a k. Torsione di una curva in R(3). Derivata terza e torsione. Caratterizzazione delle curve piane. Caratterizzazione delle curve con curvatura costante positiva e torsione nulla (archi di circonferenza). Teorema fondamentale per le curve in R(3): date due funzioni lisce, k>0 e t esiste una curva (unica a meno di movimento rigido) con curvatura e torsione uguali a k e t.

Settimana 8 (21-25 novembre) Richiami su sistemi di equazioni differenziali ordinarie al primo ordine lineari. Continuazione e conclusione della dimostrazione del teorema Fondamentale. Involute ed evolute.