Settimana

 Lezione

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Settimana 1

 L1 (2 ore)-Martedì 05/03/2024

Presentazione del corso, del materiale didattico e dei metodi di valutazione (Esoneri, Appelli)

Lezione Prof. Flamini

Forme bilineari e forme quadratiche

[G1] Capitolo 2, paragrafo 15

* Presentazione del corso

* Forme bilineari su uno spazio vettoriale V di dimensione finita un campo IK, con char(IK) diversa da 2

* Bil(V) = insieme delle forme bilineari su V

* Sym(V) sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari simmetriche su V. Alt(V) sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari antisimmetriche (o alterne) su V

* Esempi 15.2:

(1) forma bilineare nulla su V,

(2) forma bilineare simmetrica standard su IK^n

(3) forma bilineare alterna standard su IK^n, quando n è pari

* Matrice rappresentativa di una forma bilineare b in una fissata base E di V

* Proposizione 15.4: (i) Bil(V) è uno spazio vettoriale di dimensione n^2 perché, fissata una qualsiasi base E di V, Bil(V) è identificabile allo spazio vettoriale M(nxn;IK) delle matrici quadrate di ordine n.

(ii) Nell’identificazione di Bil(V) con M(nxn;IK), i sottoinsiemi Sym(V) e Alt(V) ereditano una struttura di sottospazi vettoriali di Bil(V) isomorfi, rispettivamente, ai sottospazi delle matrici simmetriche Sym(nxn,IK) e delle matrici antisimmetriche Alt(nxn;IK).

(iii) Calcolo esplicito delle dimensioni dei sottospazi Sym(V) ed Alt(V)

Settimana 1

L2 (2 ore)-Mercoledì 06/03/2024

Lezione Prof. Flamini

Forme bilineari e forme quadratiche

[G1] Capitolo 2, paragrafo 15

* Proposizione 15.5 Matrici rappresentative, in basi diverse di V, di una medesima forma bilineare sono matrici congruenti.

* La congruenza è una relazione di equivalenza tra le matrici quadrate di ordine n

* Rango di una forma bilineare: è una buona definizione. Forme bilineari non-degeneri; forme bilineari degeneri

* Proposizione 15.6: Caratterizzazione delle forme bilineari non-degeneri (solo equivalenze (1)-(2)-(3))

FORME BILINEARI SIMMETRICHE

* Vettori b-ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica b

* S^{perp} = sottospazio b-ortogonale ad un sottoinsieme S di V

* Sottospazio b-ortogonale ad un sottospazio U dato.

* Esempi

 Settimana 1

L3 (2 ore)-Giovedì 07/03/2024

Lezione Prof. Flamini

Forme bilineari e forme quadratiche

[G1] Capitolo 2, paragrafo 15

* Radicale di una forma bilineare simmetrica b su V.

* Il radicale di b è banale se e solo se b è una forma non-degenere

* Se A è la matrice rappresentativa di una forma bilineare simmetrica b in una data base E di V, allora il radicale di b è il sottospazio Ker(A).

* Vettori b-isotropi in V

* Se v è un vettore nel radicale di b allora v è anche un vettore b-isotropo di V, ma non è vero il viceversa.

* Coefficiente di Fourier di un vettore w rispetto ad un vettore v non b-isotropo

* 15.10 Complementi-(6) (dimostrazione alternativa a quella del testo che usa questioni di dualità avanzate)

(i) Se b è una forma bilineare simmetrica non-degenere su V di dimensione n ed U è un sottospazio proprio di V di dimensione s <n , allora dim(U^perp) = n-s.

(ii) Se inoltre U non contiene vettori isotropi non-nulli, allora U e U^perp sono in particolare in somma diretta e quindi V è somma diretta di U ed U^{perp}

(iii) Controesempi

* Osservazione: (1) La forma bilineare simmetrica standard su IR^n ha come unico vettore b-isotropo il vettore nullo

(2) La forma bilineare simmetrica standard su C^2 ha invece vettori b-isotropi non nulli

* Esercizi

  Settimana 1

L4 (2 ore)-Venerdì 08/03/2024

Lezione Prof. Flamini

Forme bilineari e forme quadratiche

[G1] Capitolo 2, paragrafo 15

* Basi b-ortogonali (equiv. diagonalizzanti) per una forma bilineare simmetrica b.

* Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica b in Sym(V). Esempi

* Proposizione 15.8: proprietà di una forma quadratica Q associata ad una forma bilineare simmetrica b in Sym(V)

* Forma quadratica Q: V → IK: definizione. Q(V) = Insieme delle forme quadratiche su V

* Forma bilineare simmetrica polare associata ad una forma quadratica Q: V → IK

* Matrice di una forma quadratica Q in una data base per V

* Polinomi omogenei Q(X_1, X_2, …., X_n) di secondo grado e matrice simmetrica associata al polinomio

* L’insieme Q(V) delle forme quadratiche su V, come quello dei polinomi omogenei di secondo grado in n indeterminate, ereditano la struttura di spazio vettoriale di Sym(V).

* L'insieme delle forme bilineari simmetriche, delle forme quadratiche su V, delle matrici simmetriche di ordine n e dei polinomi omogenei di secondo grado in n indeterminate (insieme al polinomio identicamente nullo) costituiscono spazi vettoriali isomorfi fra loro.

* Due matrici simmetriche A e B rappresentano, in due basi distinte E ed F la stessa forma quadratica Q sullo spazio vettoriale V se e solo se A e B sono matrici congruenti per mezzo di una matrice invertibile M che è precisamente la matrice cambiamento di base tra le due basi E ed F date (da Proposizione 15.5 più generale).

* Rango di una forma quadratica: è una buona definizione

* Basi b-ortogonali per una forma bilineare simmetrica, equivalentemente basi diagonalizzanti per una forma quadratica Q, equivalentemente sostituzioni lineari diagonalizzanti di indeterminate per polinomi omogenei di II grado Q(x_1,..., x_n) : sono le basi (rispettivamente le coordinate) b-ortogonali cioè diagonalizzanti per la forma bilineare simmetrica polare b associata alla forma quadratica q

* 15.10 Complementi (3)

(i) (U,h) con dim(U) = 2 e h forma iperbolica è un piano iperbolico;

(ii) basi iperboliche per (U,h),

(iii) costruzioni di basi iperboliche per mezzo dell’esistenza di un vettore h-isotropo non banale

* 15.10 Complementi (4) se uno spazio vettoriale V di dimensione n è munito di una forma quadratica Q non-degenere che ammette un vettore Q-isotropo non banale, allora V contiene sempre un piano iperbolico

* 15.10 Complementi (5) Rappresentabilità di scalari nel campo IK mediante forme quadratiche Q su V

* Se IK=IR, dipende dalla forma quadratica Q quali scalari di IR si possono rappresentare

* Se (V, Q) è uno spazio vettoriale di dimensione n >= 2 che contiene un piano iperbolico, allora ogni scalare in IK è rappresentabile mediante la forma quadratica Q

Settimana 2

L5 (2 ore)-Martedì 12/03/2024

Lezione Prof. Flamini

Forme bilineari e forme quadratiche

[G1] Capitolo 2, paragrafo 16

* Teorema 16.1: (Teorema di esistenza di basi b-ortogonali - Algoritmo di Lagrange) Una forma bilineare simmetrica b (equiv. una forma quadratica Q) su un qualsiasi campo IK t.c. char(IK) diversa da 2, è sempre diagonalizzabile. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica nxn su un campo IK, con char(IK) diversa da 2, è sempre congruente ad una matrice diagonale. Algoritmo di Lagrange per la determinazione esplicita della base diagonalizzante la forma bilineare simmetrica b, equiv. la forma quadratica Q (dimostrazione costruttiva ed alternativa a quella del libro)

* Teorema 16.2: Caso IK algebricamente chiuso (e.g. IK= C). Forme normali complesse di forme bilineari simmetriche b (equiv. forme quadratiche Q) su un campo IK algebricamente chiuso.

* Le forme normali complesse dipendono solo dal rango di b (equivalentemente di Q).

* Determinazione della base diagonalizzante che riduce una data forma bilineare simmetrica b (equiv. la forma quadratica Q) alla sua forma normale su IK algebricamente chiuso (e.g. IK= C )

* Teorema 16.3 (Teorema di Sylvester) Caso IK=IR. Forme canoniche di Sylvester di forme bilineari simmetriche b (equiv. forme quadratiche Q) reali.

* Determinazione di una base di Sylvester che riduce la forma bilineare simmetrica b (equiv. la forma quadratica Q) reale alla sua forma canonica di Sylvester

* A differenza delle forme normali su IK algebricamente chiuso, le forme canoniche di Sylvester reali non sono individuate solamente dal rango di b (equiv. di Q)

* Segnatura di una forma quadratica reale Q

* Forme quadratiche reali:

(i) (semi)definite negative,

(ii) (semi)definite positive,

(iii) indefinite

* Esempi: (i) forma quadratica standard su IR^n è definita positiva

(ii) la forma quadratica di Minkowski su IR^4: è indefinita, di segnatura (3,1) vettori di tipo spazio, di tipo tempo e di tipo luce

Settimana 2

L6 (2 ore)-Mercoledì 13/03/2024

Lezione Prof. Trapani

Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei

[G1] Capitolo 2, paragrafo 17

* Prodotti scalari su uno spazio vettoriale reale

* Spazi vettoriali (reali) euclidei (V, < , >)

* Complementi 17.8 (2) Esempio di spazio vettoriale euclideo non finitamente generato: V=IR[x] con prodotto scalare dato da < , > := integrale definito in [0,1]

* Diseguaglianza di Schwarz in uno spazio vettoriale euclideo

* coseno dell’angolo convesso tra due vettori

* ||v|| = Norma o lunghezza di un vettore

* Diseguaglianza triangolare

* Versori. Versorizzazione di vettori

* Insiemi (finiti) di vettori ortogonali (rispettivamente, ortonormali)

* Proposizione 17.2: Un insieme di vettori ortogonali in (V, < , >) è automaticamente un sistema linearmente indipendente.

* Basi ortogonali di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >)

* Basi ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >)

* Prodotto scalare di vettori espressi in coordinate rispetto ad una base ortonormale: è la somma dei prodotti delle coordinate omologhe.

* Gruppo ortogonale O(n,IR) e sottogruppo speciale ortogonale SO(n,IR); sono sottogruppi di GL(n,IR) ([G1] pp. 175-176)

Settimana 2

L7 (2 ore)-Giovedì 14/03/2024

Lezione Prof. Trapani

Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei

[G1] Capitolo 2, paragrafo 17

* Proposizione 17.3: Sia (V, < , >) euclideo e sia E una base ortonormale. Una ulteriore base F di V è ortonormale se e solo se la matrice cambiamento di base M:= M_{E,F} è una matrice ortogonale, i.e. M è un elemento di O(n,IR)

* Proiezione ortogonale di un vettore w lungo la direzione di un vettore v

* Teorema 17.4 (ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) (dimostrazione solo per insiemi ortogonali, i.e. per insiemi costituiti da un numero finito di vettori)

* Proposizione 17.6: se W è un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale euclideo (V,< , >), allora V si decompone in somma diretta con W e W^{perp}. La decomposizione in somma diretta si chiama decomposizione di V in somma diretta ortogonale

* W^{perp} = il complemento ortogonale al sottospazio W

* Proiezione ortogonale di un vettore v su un sottospazio W

* Angolo convesso tra due vettori non nulli

* Orientazioni di uno spazio vettoriale reale V ([G1] p. 151)

* Angolo orientato tra due vettori non nulli. Determinazione principale di un angolo orientato.

* L’intervallo [0, 2pigreco) dell’asse reale si identifica all’insieme di rappresentanti di tutte le determinazioni principali

Settimana 2

E1 (2 ore)-Venerdì 15/03/2024

ESERCITAZIONI DOCENTE

FOGLIO 1 HOMEWORKS (Prof. Flamini)

Settimana 3

L8 (2 ore)-Martedì 19/03/2024

Lezione Prof. Trapani

Basi orientate, prodotto vettoriale e prodotto misto

[G1] Capitolo 2, paragrafo 18

* L’operazione di prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione tre

* Proprietà del prodotto vettoriale (Teorema 18.2 e Corollario 18.3)

* Significato geometrico della norma del prodotto vettoriale: area del parallelogramma (Proposizione 18.4)

* Prodotto misto di tre vettori

* Significato geometrico del prodotto misto: il modulo del prodotto misto di tre vettori indipendenti v, w e u è il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i tre vettori dati.

Settimana 3

L9 (2 ore)-Mercoledì 20/03/2024

Lezione Prof. Trapani

Spazi euclidei. Formule di geometria euclidea nel piano

[G1] Capitolo 2, paragrafo 19

* Spazio euclideo (reale) n-dimensionale IE

* IE^n(IR) = n-spazio euclideo numerico standard

* Riferimenti cartesiani (o sistema di coordinate cartesiane) in uno spazio euclideo n-dimensionale IE

* Distanza tra due punti in uno spazio euclideo n-dimensionale

* Angolo convesso fra due rette (affini) orientate in IE.

* Rette (affini) ortogonali in IE

Piano euclideo IE^2(IR):

* Vettori e versori normali ad una retta affine r di equazione cartesiana Ax + By + C = 0

* Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta passante per un punto P e perpendicolare ad una retta r data

* Angolo convesso tra due rette affini e condizione di perpendicolarità tra due rette in IE^2(IR).

* Proiezione ortogonale di un punto P su una retta affine r

* Distanza punto-retta

* Distanza tra due rette parallele in IE^2(IR)

Settimana 3

L10 (2 ore)-Giovedì 21/03/2024

Lezione Prof. Trapani

Formule di geometria euclidea nello spazio 3-dimensionale

[G1] Capitolo 2, paragrafo 19

Spazio euclideo tridimensionale IE^3(IR):

* Vettori e versori normali ad un piano affine in IE^3(IR)

* Angolo convesso fra due piani (affini). Piani (affini) ortogonali.

* Condizione di perpendicolarità tra due piani affini

* Angolo convesso tra una retta affine ed un piano affine. Condizione di perpendicolarità tra una retta ed un piano affini

* Proiezione ortogonale di un punto su un piano affine.

* Distanza punto-piano

* Distanza tra due rette sghembe (strategia geometrica differente dal testo)

* Complementi 19.4 (1) (Iper)sfere ed (iper)dischi di centro un punto C e raggio un intero r>0 in IE^n(IR).

* Per n=2, circonferenze e cerchi, per n=3 sfere e palle.

Settimana 3

E2 (2 ore)-Venerdì 22/03/2024

ESERCITAZIONI DOCENTE

Settimana 4

L11 (2 ore)-Martedì 26/03/2024

Lezione Prof.  Flamini

Operatori Unitari ed Isometrie

[G1] Capitolo 2, paragrafo 20

* Operatori unitari su uno spazio vettoriale euclideo (V, < , > ) reale

* Proprietà:

(1) un operatore unitario conserva prodotto scalare, norme e angolo convesso tra vettori

(2) un operatore unitario è invertibile e l’inverso è unitario

(3) Id_V unitario

(4) la composizione di operatori unitari è un operatore unitario

* Gruppo ortogonale O(V).

* Teorema 20.1: caratterizzazioni equivalenti per gli operatori unitari

* Corollario 20.2: T è un operatore unitario se e solo se la matrice di T, rispetto ad una qualsiasi base ortonormale E di V, è una matrice ortogonale

* Determinante di un operatore unitario

* SO(V) = gruppo speciale ortogonale = rotazioni di V

* Proposizione 20.3: se un operatore unitario T ammette autovalori reali, essi sono esclusivamente +1 e – 1

* Esempi geometrici di operatori unitari privi di autovalori reali (rotazioni di angolo t in IE^2, con t diverso da k pigreco)

* Esempi geometrici di operatori unitari con spettro {1, -1}: simmetria rispetto asse x di IE^2

* Definizione 20.6: Isometria di uno spazio euclideo IE.

* Isom(IE) = Gruppo delle isometrie di IE

* Isometrie dirette ed inverse: traslazioni, rotazioni o isometrie lineari dirette, isometrie lineari inverse

* Figure geometriche isometriche o congruenti.

* Proprietà euclidee di una figura geometrica.

* Definizione di Geometria Euclidea

* Le isometrie conservano le distanze, la perpendicolarità, gli angoli, ecc

* Descrizione esplicita di Isom (IE) in un riferimento cartesiano: sono tutte e sole f(x) = A x + c, dove A matrice in O(n,IR) e c vettore numerico in IR^n

Settimana 4

L12 (2 ore)-Mercoledì 27/03/2024

Lezione Prof. Flamini

Operatori Unitari ed Isometrie

[DISP_A] Isometrie notevoli

* Equazioni di alcune isometrie notevoli di IE^2(IR)e di IE^3(IR)

(i) Traslazioni di passo un vettore v

(ii) Rotazioni di angolo orientato t

(iii) Riflessioni rispetto ad un punto P.

(iv) Riflessione rispetto ad una retta cartesiana

(v) Riflessione rispetto ad un piano cartesiano

* Trasformati di luoghi geometrici in IE^n(IR) mediante un’isometria

Settimana 4

E3 (2 ore)-Giovedì 28/03/2024

ESERCITAZIONI CODOCENTE

Settimana 4

29/03/2024

NO LEZIONE DA CALENDARIO ACCADEMICO 2023/2024 PER FESTIVITA’ PASQUALI

FOGLIO 2 HOMEWORKS (Prof. Flamini)

Settimana 5

02/04/2024

NO LEZIONE DA CALENDARIO ACCADEMICO 2023/2024 PER FESTIVITA’ PASQUALI

Settimana 5

L13 (2 ore)-Mercoledì 03/04/2024

Lezione Prof. Flamini

[DISP_B] Complessificazione di uno spazio vettoriale

* V_C = complessificazione di uno spazio vettoriale reale V

* Vettori reali e vettori immaginari puri in V_C

* Dimensione reale e dimensione complessa di V_C

* Vettori C-linearmente indipendenti

* Definizione 1.1.2: Basi reali del C-spazio vettoriale V_C

* Definizione 1.1.1: Coniugio in V_C

(i) è un’applicazione involutoria

(ii) è un endomorfismo IR-lineare di V_C cioè è un endomorfismo della struttura di IR-spazio vettoriale di V_C

(iii) non è un endomorfismo C-lineare di V_C cioè non è un endomorfismo della struttura di C-spazio vettoriale di V_C

Settimana 5

E4 (2 ore)-Giovedì 04/04/2024

ESERCITAZIONI CODOCENTE

Settimana 5

L14 (2 ore)-Venerdì 05/04/2024

Lezione Prof. Flamini

[DISP_B] Sottoinsiemi reali, Sottospazi reali, Complessificazione di un’applicazione IR-lineare e di un prodotto scalare di uno spazio vettoriale euclideo reale

* Sottoinsiemi reali del C-spazio vettoriale V_C

* C-sottospazi vettoriali di V_C che sono sottospazi vettoriali reali.

* Un C-sottospazio vettoriale reale di V_C ammette sempre una base reale

* Complessificazione f_C : V_C → W_C di un’applicazione lineare f: V→ W tra spazi vettoriali reali V e W. Matrici rappresentative di f e di f_C in basi reali.

* Prodotto scalare complessificato < , >_S indotto dal prodotto scalare < , > su V spazio vettoriale euclideo (reale) di cui V_C è il complessificato.

* < , >_S è una forma bilineare simmetrica che ammette vettori isotropi

* Definizione 1.1.4. Lunghezza di un vettore complesso v rispetto al prodotto scalare complessificato

* Definizione 1.1.5 Vettori complessi ortogonali rispetto al prodotto scalare complessificato < , >_S

* Vettori isotropi rispetto al prodotto scalare complessificato

* Scrittura del prodotto scalare complessificato < , >_S rispetto ad una base <, > - ortonormale di V considerata come base reale per V_C

Settimana 6

L15 (2 ore)-Martedì 09/04/2024

Lezione Prof. Flamini

[DISP_B] Complessificazione di uno spazio affine/euclideo reale

* A_C = complessificazione di uno spazio affine reale A.

* V_C è lo spazio vettoriale che opera per traslazione su A_C

* Coniugio in uno spazio affine complessificato.

* Punti reali in uno spazio affine complessificato A_C

* Sottospazi affini in A_C

* Sottospazi affini reali in A_C

* Complessificazione di un’affinità in uno spazio affine reale A_C

* Riferimenti affini reali in uno spazio affine complessificato A_C

* Complessificazioni di affinità reali e loro equazioni in un riferimento affine reale

* Complessificazione IE_C di uno spazio euclideo reale IE

* Riferimenti cartesiani reali in uno spazio euclideo complessificato IE_C

* Distanza tra due punti in IE_C

* Rette isotrope in IE_C: formate da punti a distanza nulla fra loro

Settimana 6

L16 (2 ore)-Mercoledì 10/04/2024

Lezione Prof. Flamini

[DISP_B] Geometria del piano affine/euclideo complessificato

* Coordinate di punti reali rispetto ad un riferimento affine reale di A^2_C

* Retta affine complessa in A^2_C e sua giacitura

* Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta affine complessa in A^2_C rispetto ad un riferimento affine reale

* Equazione cartesiana ed equazioni parametriche della giacitura di una retta affine complessa: vettore direttore e parametri direttori

* Retta coniugata di una retta affine complessa in A^2_C: equazione cartesiana, equazioni parametriche, vettore direttore e parametri direttori rispetto ad un riferimento affine reale.

* Rette reali in A^2_C:

(i) CNES per avere una retta reale in A^2_C in termini di un punto e della sua giacitura in un qualsiasi riferimento affine reale

(ii) CNES per avere una retta reale in in A^2_C in termini di equazione cartesiana in un qualsiasi riferimento affine reale

* Conseguenza: le rette reali in A^2_C contengono infiniti punti reali

* Condizione matriciale per stabilire se una retta r in equazione cartesiana in A^2_C è reale

* Determinazione esplicita di equazioni parametriche con punto reale e giacitura reale/ equazione cartesiana a coefficienti reali.

* Osservazione 1.6.5: se una retta r del piano affine complessificato A^2_C è non-reale allora:

(i) o l’intersezione di r con la sua retta coniugata è non vuota: in tal caso l’intersezione tra le due rette è un punto reale, ed esso è l’unico punto reale sulle due rette, le giaciture delle due rette non sono reali

(ii) oppure l’intersezione fra r e la retta coniugata è vuota: allora r è strettamente parallela (cioè parallela ma non coincidente) alla sua coniugata, entrambe r e la sua coniugata non contengono punti reali, la loro giacitura comune è reale.

* Rette nel piano euclideo complessificato IE^2_C: vettore normale ad una retta affine complessa

* Rette isotrope del piano euclideo complessificato IE^2_C: sono rette non-reali.

* In IE^2_C esistono due fasci impropri distinti di rette isotrope e per ogni punto del piano IE^2_C passano esattamente due rette isotrope.

* Una qualsiasi coppia di punti su ciascuna di queste rette isotrope è costituita da punti a distanza nulla fra loro.

* X^2 + Y^2 = 0 è l’equazione complessiva delle due rette isotrope passanti per l’origine del piano euclideo complessificato IE^2_C

Settimana 6

E5 (2 ore)-Giovedì 11/04/2024

ESERCITAZIONI CODOCENTE

Settimana 6

L17 (2 ore)-Venerdì 12/04/2024

Lezione Prof. Flamini

Teorema spettrale (caso reale) e conseguenze

[G1] Capitolo 2, paragrafo 22

* Lemma 22.1: il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale possiede solo radici reali

* Operatori autoaggiunti o simmetrici su uno spazio vettoriale euclideo

* Teorema 22.2 (Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti o simmetrici)

* Teoremi 22.3 e 22.4: formulazioni equivalenti:

(i) diagonalizzazione di matrici simmetriche reali in basi ortonormali

(ii) diagonalizzazione di forme quadratiche reali in basi ortonormali

* Proposizione 22.5: autovettori di un operatore autoaggiunto (equiv. simmetrico) relativi ad autovalori distinti sono vettori ortogonali

FOGLIO 3  HOMEWORKS (Prof. Flamini)

Settimana 7

L18 (2 ore)-Martedì 16/04/2024

Lezione Prof. Flamini

Spazi vettoriali quozienti

[DISP_C] Cap.11

* Quoziente V/W di un IK-spazio vettoriale V modulo un suo sottospazio vettoriale W

* Le classi laterali v + W sono identificabili ai sottospazi affini di V paralleli alla giacitura W 

* Esempio geometrico che descrive una struttura di spazio vettoriale su V/W

* V/W ha una struttura di IK-spazio vettoriale che rende la proiezione canonica p : V → V/W al quoziente un’applicazione lineare, suriettiva di IK-spazi vettoriali

* Ker(p) = W e dim(V/W) = dim(V) – dim(W)

* Primo teorema di omomorfismo di spazi vettoriali

* Conseguenza: somme dirette e spazi quoziente

* Conseguenza: rilettura intrinseca di compatibilità di sistemi lineari non-omogenei Ax = b e struttura delle soluzioni di un sistema Ax = b compatibile

* Corrispondenza biunivoca tra sottospazi vettoriali di V/W e sottospazi vettoriali di V contenenti W (sottospazi disposti a bandiera)

Settimana 7

L19 (2 ore)-Mercoledì 17/04/2024

Lezione Prof. Flamini

Spazi vettoriali duali

[DISP_C] Cap.12

* V* := Hom(V, IK) = Spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale V. I suoi elementi sono detti funzionali lineari su V

* dim(V^*) = dim(V)

* Se V = IK^n allora i funzionali lineari su IK^n sono le matrici riga M(1xn; IK).

* Base duale E* come base di V^* duale della base E di V

* V e V* sono isomorfi dopo la scelta di una base E su V

* Esempio 12.8 Se V = IK^n allora V^* = IK[x_1, ….., x_n]_{1} u {0} spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado 1 in n indeterminate (con il polinomio nullo)

* V** = Spazio vettoriale bi-duale di uno spazio vettoriale V

* V** è canonicamente isomorfo a V, i.e. l’isomorfismo non dipende dalla scelta di una base di V

Settimana 7

E6 (2 ore)-Giovedì 18/04/2024

ESERCITAZIONI CODOCENTE

Settimana 7

L20 (2 ore)-Venerdì 19/04/2024

Lezione Prof. Flamini

Spazi vettoriali duali

[DISP_C] Cap.12

* Ann_V(W) = Annullatore di un sottospazio W  

* dim (Ann_V(W)) = dim(V) - dim(W)

* Proposizione 12.9: proprietà degli annullatori

* Conseguenze geometriche: iperpiani di uno spazio vettoriale che contengono un dato sottospazio W come elementi di Ann_V(W)

* Duale di una proposizione P

* Teorema 12.11: Principio di dualità negli spazi vettoriali

Settimana 8

L21 (2 ore)-Martedì 23/04/2024

Lezione Prof. Flamini

Spazi proiettivi

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 24.

* Motivazioni classiche per la geometria proiettiva

* Descrizione intuitiva della retta proiettiva come completamento ad un punto (all’infinito) della retta reale con ascissa reale x. Coppia di coordinate omogenee [X_0, X_1] e corrispondenza biunivoca con il fascio di rette uscenti dal polo Nord della cironferenza (Proiezione Stereografica della circonferenza)

* IP(V) = spazio proiettivo

* Esempio 24.5-1: definizione di IP(V) per via del quoziente, modulo la relazione di proporzionalità tra vettori in V – {0}

* Conseguenza: gli elementi di IP(V), che sono classi nel quoziente, sono detti punti di IP(V), e corrispondono alle rette vettoriali di V

* dim IP(V) = dimensione proiettiva := dim (V)-1

* Spazio proiettivo numerico su un campo IK, si denota con IP^n(IK) = IP^n

* Coordinate omogenee [X_0, X_1, ……., X_n]

* Equazioni cartesiane di iperpiani in IP^n: a_0X_0 + a_1 X_1 + …….a_nX_n = 0

* Sono ben definite in IP^n

* Iperpiani fondamentali H_i in IP^n: iperpiani definiti da X_i = 0, con i = 0,1,….,n

Settimana 8

L22 (2 ore)-Mercoledì 24/04/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3 paragrafo 24, Spazi proiettivi e Sottospazi, Formula di Grassmann

* Iperpiani di uno spazio proiettivo astratto IP(V)

* Sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo astratto IP(V).

* Codimensione di un sottospazio proiettivo di IP(V)

* Sottospazio proiettivo intersezione di due sottospazi proiettivi di IP(V)

* Sottospazi proiettivi incidenti o sghembi in IP(V)

* Sistemi di coordinate omogenee e riferimenti proiettivi in IP(V)

* Punti fondamentali e punto unità di un riferimento proiettivo fissato in IP(V)

* Fissato un riferimento proiettivo, allora IP(V) è isomorpfo a IP^n(IK) = IP^n

* Sottospazi proiettivi di IP^n: dimensione e codimensione.

* Equazioni parametriche di un sottospazio proiettivo proiettivo di IP^n

* Equazioni cartesiane di un sottospazio proiettivo di IP^n

* Passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane: formule determinantali (come negli spazi vettoriali)

* Equazioni parametriche e cartesiane di rette in IP^2

* Se S_1 = IP(W_1) e S_2 = IP(W_2) sono due sottospazio proiettivi di IP^n, allora L(S_1, S_2) := IP(W_1 + W_2) viene detto il sottospazio proiettivo generato da S_1 ed S_2 o anche il sottospazio proiettivo congiungente S_1 e S_2

* Formula di Grassmann proiettiva

* Proposizione 24.3: (i) Due rette in un piano proiettivo sono sempre incidenti.

(ii) Una retta ed un piano in uno spazio proiettivo di dimensione 3 sono sempre incidenti e due piani distinti si intersecano sempre lungo una retta

FOGLIO 4  HOMEWORKS (Prof. Flamini)

Settimana 8

Giovedì 25/04/2024

FESTIVITA’ DEL 25 APRILE

Settimana 8

Venerdì 26/04/2024

PONTE 25 APRILE

Settimana 9

Martedì 30/04/2024

PONTE 1 MAGGIO

Settimana 9

Mercoledì 01/05/2024

FESTIVITA’ 1 MAGGIO

Settimana 9

L23 (2 ore)-Giovedì 02/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3 paragrafo 24, punti/sottospazi in posizione generale

* Sottospazio proiettivo L(J) generato da un sottoinsieme non vuoto J di IP^n

* Punti linearmente indipendenti in IP^n. Punti in posizione generale in IP^n

* Esempi di punti in posizione generale e di punti non in posizione generale in IP^2, in IP^3 eccetera e sottospazi proiettivi che essi generano

* Ogni sottospazio proiettivo S=IP(W) di IP^n può essere generato da dim(S)+1 = dim(W) punti linearmente indipendenti

* Sottospazi proiettivi di IP^n in posizione generale.

[G1] Capitolo 3 paragrafo 24

* Cono (proiettivo) proiettante un sottoinsieme J di IP^n da un punto P

* Proposizione 24.4: proprietà dei coni proiettanti

* Proiezione di IP^n da un punto P (centro della proiezione) su un iperpiano H non contenente P.

* Proiezione di un sottoinsieme non vuoto J su un iperpiano H da un centro P non appartenente a H

* Interpretazione intrinseca della proiezione con spazi vettoriali quozienti

[G1] Capitolo 3 paragrafo 25

* Esempi 25.4-(2) e (3): ulteriori modelli geometrici di IP^n(IR). Punti antipodali sulla ipersfera S^n nello spazio euclideo IE^{n+1}(IR) o sulla calotta nel semispazio superiore. Identificazione antipodale

* Esempio 25.4-(1): modello geometrico di IP^1(C): Proiezione Stereografica della sfera euclidea S^2 in IE^3 (IR) privata del polo-nord N su un piano. IP^1(C) come sfera di Riemann

Settimana 9

L24 (2 ore)-Venerdì 03/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3 Paragrafo 25

* Confronto tra Geometria affine e Geometria proiettiva

* Carte affini fondamentali di IP^n

* Costituiscono un ricoprimento di IP^n: carte affini fondamentali di IP^n

* Deomogeneizzazione i-esima di coordinate omogenee, i=0,1,…..,n

* Elementi impropri (od all’infinito) per le carte affini fondamentali A_i := A^n_i, per ogni i = 0,…,n

* Esempi 25.4-(4): (a) chiusure proiettive (o proiettificazione) di sottospazi affini H in una carta affine A_i di IP^n. Omogeneizzazione i-esima delle coordinate affini y_1, ….., y_n nello spazio affine A_i

(b) Sottospazi affini nella carta affine A_i che sono traccia di sottospazi proiettivi H di IP^n

Settimana 10

L25 (2 ore)- Martedì 07/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 26. Spazi proiettivi duali, dualità proiettiva

* Se IP:=spazio proiettivo IP^n, allora IP^* = spazio proiettivo duale di IP

* Insieme degli iperpiani di IP: ha una struttura di spazio proiettivo data da IP*

* Iperpiani di IP linearmente indipendenti

* Riferimento proiettivo duale in IP* e coordinate omogenee duali di un iperpiano in IP*

* Coordinate omogenee di un iperpiano H di IP nel riferimento duale di IP*

* Proposizione 26.1 Sistema lineare di iperpiani in IP di centro un sottospazio proiettivo S di IP: equazioni e dimensione

* Fasci e stelle di iperpiani in IP

Settimana 10

L26 (2 ore)-Mercoledì 08/05/2024

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 26. Spazi proiettivi duali, dualità proiettiva

* Teorema 26.2: Sia IP uno spazio proiettivo n-dimensionale. Allora:

(i) si ha una corrispondenza biunivoca tra IP* e l’insieme degli iperpiani di IP, i.e. i sistemi lineari di iperpiani in IP si identificano a sottospazi proiettivi di IP*

(ii) la corrispondenza biunivoca in (i) induce una corrispondenza biunivoca tra sottospazi proiettivi S = IP(W) di IP di dimension k, ed i sottospazi proiettivi IP(Ann(W)) in IP* di dimensione n-k-1 che, secondo la biiezione in (i), corrispondono a sistemi lineari di iperpiani di IP centro il corrispondente sottospazio proiettivo S=IP(W) che è il centro del sistema lineare di iperpiani

(iii) la biiezione in (ii) inverte le inclusioni

* Dualità proiettiva in IP^n.

Settimana 10

E7 (2 ore)-Giovedì 09/05/2024

ESERCITAZIONI CODOCENTE

Settimana 10

L27 (2 ore)-Venerdì 10/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 24. Riferimenti proiettivi, Proiettività.

* Esempi ed osservazione 24.5-4 Riferimento proiettivo in IP = IP(V) individuato da n+2 punti in posizione generale in IP

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 27

* Formule di cambiamento di coordinate omogenee in uno spazio proiettivo IP^n rispetto a due riferimenti proiettivi distinti

* Formule inverse del cambiamento di coordinate omogenee.

* Composizione di formule cambiamenti di coordinate omogenee in tre riferimenti proiettivi distinti

* Formule del cambiamento di coordinate da un riferimento fissato su IP ad un riferimento individuato da (n+2) punti in posizione generale di IP di cui si conoscono le coordinate nel vecchio riferimento proiettivo di IP

* Isomorfismi di spazi proiettivi IP e IP’.

* Proiettività di uno spazio proiettivo IP

* Gruppo proiettivo PGL(IP) o PGL(n+1, IK): è un gruppo quoziente di GL(n+1,IK) modulo il centro

FOGLIO 5  HOMEWORKS (Prof. Flamini)

Settimana 11

L28 (2 ore)- Martedì 14/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 27. Proiettività, Figure proiettivamente equivalenti, luoghi fissi di proiettività, affinità

* Proposizione 27.4 = Teorema fondamentale degli isomorfismi proiettivi e delle proiettività

* Corollario: Teorema fondamentale dei riferimenti proiettivi

* Figure proiettivamente equivalenti.

* Proprietà proiettive di figure geometriche e Geometria proiettiva

* Complementi 27.10-1: Relazioni di equivalenza tra le figure della Geometria Affine, Euclidea e Proiettiva. Equivalenza affine, euclidea e proiettiva

* Complementi 27.10-4: punti fissi, luoghi di punti fissi e luoghi fissi (o stabili) di una proiettività f

* Complementi 27.10-3: le affinità di uno spazio affine A^n, identificato con la carta affine A_0 di IP^n, si identificano alle proiettività di IP^n che hanno l’iperpiano H_0: X_0=0 (che e’ improprio per la carta affine A_0) come sottospazio proiettivo stabile

* Pertanto Aff(A^n) si può vedere come sottogruppo di PGL(n+1; IK) e quindi, visto che A^n si identifica con una carta affine sottoinsieme di IP^n, la Geometria Affine (e dunque anche la Geometria Euclidea) è subordinata alla Geometria Proiettiva

Settimana 11

L29 (2 ore)- Mercoledì 15/05/2024

ESERCITAZIONI DEL DOCENTE

Settimana 11

E8 (2 ore)- Giovedì 16/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[Disp_E] (Iper)quadriche proiettive

* (Iper)quadriche nello spazio proiettivo IP^n su un campo IK di caratteristica diversa da 2

* Equazione cartesiana di una (iper)quadrica proiettiva

* Matrice simmetrica di una (iper)quadrica proiettiva

* Forma bilineare simmetrica polare associata ad una (iper)quadrica proiettiva

* Identità di Eulero.

* Rango di una (iper)quadrica proiettiva.

* (Iper)quadriche non-degeneri e (iper)quadriche degeneri

* Esempi vari

Settimana 11

L30 (2 ore)-Venerdì 17/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[Disp_E] (Iper)quadriche proiettive

* (Iper)quadriche riducibili: componenti irriducibili ridotte di Q (se Q è unione di due iperpiani distinti) o componente irriducibile non-ridotta di Q (se Q consiste di un iperpiano di molteplicità due)

* CNES matriciale affinchè una (iper)quadrica Q di IP^n(C) sia riducibile: Q è riducibile se e solo se o rg(Q)=1 (riducibile e non-ridotta) o rg(Q) = 2 (riducibile con due componenti irriducibili ridotte)

* Le coniche C in IP^2 (C ) sono riducibili se e solo se sono degeneri

* Il precedente asserto è falso in IP^n (C ) se n>2. Controesempio: coni proiettanti in IP^3(C ) di vertice un punto (centro della proiezione) e che proiettano su un piano sghembo al vertice una conica non singolare sul piano

* Intersezione tra una retta r ed una (iper)quadrica Q di IP^n (C )

* Molteplicità di intersezione in un punto p tra una retta r ed una (iper)quadrica Q

* Punti doppi (o singolari) e punti semplici (o non-singolari o lisci) di una (iper)quadrica Q

* Sing(Q) = Luogo singolare di una (iper)quadrica proiettiva Q

* (Iper)quadriche singolari ed (iper)quadriche lisce

Settimana 12

L31 (2 ore)-Martedì 21/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[Disp_E] (Iper)quadriche proiettive

* Sing(Q) = Luogo singolare di una (iper)quadrica proiettiva Q: o è vuoto oppure è un sottospazio proiettivo di IP^n

* Caso delle coniche: coniche semplicemente degeneri (rg=2) e doppiamente degeneri (rg=1) come uniche coniche singolari di IP^2(C). In altre parole per una conica proiettiva C, il concetto di “C è singolare” è equivalente a quello di “C è riducibile”

* Il precedente asserto è falso in IP^n (C ) se n>2. Controesempio: coni proiettanti in IP^3(C ) di vertice un punto, sono singolari nel vertice ma non sono riducibili

* Retta tangente ad una (iper)quadrica Q in un suo punto semplice p

* Iperpiano tangente T_p(Q) ad una (iper)quadrica Q in un suo punto semplice p

* L’intersezione di una (iper)quadrica Q con un iperpiano tangente T_p(Q) in un suo punto semplice p fornisce sempre una (iper)quadrica singolare nell’iperpiano Tp(Q)

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 30, Coniche proiettive

* Conica in IP^2(IK), con IK= IR o C.

* Invarianti proiettivi di una conica: rango di una conica

* Conica non degenere, semplicemente degenere o doppiamente degenere

* Significato geometrico del rango di una conica:

(1) non degenere = irriducibile e quindi non singolare

(2) semplicemente degenere = riducibile in una coppia di rette incidenti e ha un solo punto come luogo singolare

(3) doppiamente degenere = conica non ridotta = retta doppia cioè tutti i punti sono singolari

* Classificazione delle coniche proiettive sul campo IK: forme canoniche di coniche proiettive a meno di proiettività di IP^2(IK)

* Teorema 30.2 forme canoniche proiettive di coniche su un campo IK algebricamente chiuso (e.g. IK = C)

* Teorema 30.3 forme canoniche proiettive di coniche reali, i.e. IK=IR

* Invarianti proiettivi di una conica reale: rango e tipologia di segnatura

Settimana 12

L31 (2 ore) - Mercoledì 22/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 31. Coniche affini

* Conica in A^2(IK) non degenere, semplicemente degenere o doppiamente degenere

* Invarianti affini di una conica: rango e rango della forma quadratica

* Nel caso IK=IR, non è un invariante affine il segno del determinante della matrice simmetrica di una conica non degenere

* Conica affini a centro e Parabole

* Se IK = IR oppure nel piano affine complessificato con solo complessificazioni trasformazioni affini reali, la classificazione delle coniche a centro si stratifica ulteriormente con le due tipologie iperbole ed ellisse

* Osservazioni 31.2-2 Significati geometrici di ellisse, iperbole e parabola in termini di punti impropri della conica affine

* Nel caso IK=IR oppure nel piano affine complessificato con solo complessificazioni trasformazioni affini reali, se si parte da una conica affine reale allora anche il segno del determinate della forma quadratica è un invariante affine.

* Grazie all’invarianza del segno di det(A_0) per IK= IR, allora det(A_0) <0 caratterizza le iperboli mentre det(A_0)>0 caratterizza le ellissi

Settimana 12

E9 (2 ore)- Giovedì 23/05/2024

ESERCITAZIONI CODOCENTE

Settimana 12

L32 (2 ore)- Venerdì 24/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 31. Coniche affini

* Osservazioni 31.2-1 conica affine a centro come conica che ha un punto C come centro di simmetria

* Calcolo delle coordinate del centro C di una conica a centro e dimostazione che è centro di simmetria

* Diametri di una conica a centro

* Asintoti di una conica a centro: gli asintoti come gli unici diametri le cui chiusure proiettive sono rette proiettive tangenti alla chiusura proiettiva della conica affine nei due punti impropri della conica affine

* Se IK=IR oppure se studiamo il piano affine complessificato (dove si usano solo trasformazioni affini reali su A^2(C)) un’ellisse ha asintoti che sono rette complesse e coniugate la cui intersezione è nell’unico punto reale che è il centro di simmetria dell’ellisse

FOGLIO 6 HOMEWORKS (Prof. Flamini)

Settimana 13

L32 (2 ore)-Martedì 28/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3, Paragrafi 31 e 32. Algoritmo di riduzione coniche affini. Coniche euclidee.

* Classificazione delle coniche affini sul campo IK: forme canoniche affini di coniche a meno di affinità in A^2(IK)

* Teorema 31.1 forme canoniche affini di coniche di A^2(IK) sia per IK algebricamente chiuso che per IK= IR.

* Le forme canoniche affini sono sempre in numero finito, indipendentemente da IK, ma molte di più delle forme canoniche delle coniche proiettive

* Algoritmo di riduzione a forma canonica affine

* Esempi di riduzione a forma canonica affine

Settimana 13

L33 (2 ore)-Mercoledì 29/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[G1] Capitolo 3, Paragrafo 32. Coniche euclidee. Classificazione ed algoritmo di riduzione a forme canoniche metriche.

* Coniche euclidee reali in E^2(IR)

* Invarianti metrici di una conica euclidea

* Classificazione delle coniche euclidee reali: forme canoniche metriche di coniche euclidee a meno di isometrie di IE^2(IR)

* Teorema 31.3 forme canoniche metriche di coniche euclidee e riduzione a forma canonica metrica di una conica.

* Studio della geometria dei supporti delle forme canoniche metriche di coniche euclidee

Settimana 13

E10 (2 ore) - Giovedì 20/05/2024

ESERCITAZIONI CODOCENTE

Settimana 13

L33 (2 ore) - Venerdì 31/05/2024

Lezione Prof. Flamini

[MV] Cap. 13. Quadriche euclidee e forme canoniche affini reali

* Quadriche euclidee reali di IE^3: equazioni cartesiane e supporti

* Quadriche affini reali di A^3: equazioni cartesiane e supporti

* Forma quadratica di una quadrica, parte lineare di una quadrica e termine noto di una quadrica. Matrice simmetrica completa associata ad una quadrica ed equazione cartesiana matriciale.

* Quadriche isometriche od affinemente equivalenti.

* Proprietà metriche ed affini di una quadrica, i.e. invarianti metrici ed affini di una quadrica:

(1) Il rango di una quadrica è un invariante metrico (equiv. affine): quadriche generali, semplicemente degeneri, doppiamente degeneri e triplamente degeneri

(2) Il segno del determinante della matrice completa di una quadrica è invariante metrico (equiv. affine)

(3) Il rango della forma quadratica di una quadrica è invariante metrico (equiv. affine). Quadriche generali: paraboloidi o quadriche a centro (ellissoidi od iperboloidi). Quadriche semplicemente degeneri: coni o cilindri

* Definizione di forma canonica metrica o forma canonica affine di una quadrica

* Punti singolari e punti semplici (o non-singolari o lisci) di una quadrica a supporto non vuoto.

* Piano affine tangente in un punto semplice di una quadrica.

Settimana 14

 L34 (2 ore) – Martedì 4/06/2024

Lezione Prof. Flamini

[MV] Cap. 13. Quadriche euclidee e forme canoniche affini reali

STUDIO DELLA GEOMETRIA DELLE FORME CANONICHE METRICHE DI QUADRICHE GENERALI E SEMPLICEMENTE DEGENERI A PUNTI REALI

* Ellissoide (generale) a punti reali: calcolo degli invarianti. Quadrica non-singolare. Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria, ecc). Forma canonica affine.

* Iperboloide (generale) ad una falda od iperbolico: calcolo degli invarianti. Quadrica non-singolare. Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria, ecc). E’ una superficie doppiamente rigata (i.e. contiene due schiere di rette): rette di una stessa schiera sono sghembe mentre rette di schiere diverse si incidono e per ogni punto della quadrica passa una retta della prima schiera ed una retta della seconda schiera. Forma canonica affine.

* Iperboloide (generale) a due falde od ellittico: calcolo degli invarianti. Quadrica non-singolare. Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria, ecc). Forma canonica affine

* Esercizi ed esempi

Settimana 14

L35 (2 ore) Mercoledì- 05/06/2024

Lezione Prof. Flamini

[MV] Cap. 13. Quadriche euclidee e forme canoniche affini reali

* Paraboloide (generale) iperbolico o a sella: calcolo degli invarianti. Quadrica non-singolare. Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria). E’ una superficie doppiamente rigata (i.e. contiene due schiere di rette). Rette di una stessa schiera sono sghembe mentre rette di schiere diverse si incidono. Per ogni punto della quadrica passa una retta della prima schiera ed una della seconda schiera. Forma canonica affine.

* Paraboloide (generale) ellittico: calcolo degli invarianti. Quadrica non-singolare. Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica (vertice, asse di simmetria, piani di simmetria, ecc). Forma canonica affine.

* Cono (semplicemente degenere) a punti reali: calcolo degli invarianti. Quadrica singolare in un punto. Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria). E’ una superficie rigata (i.e. contiene una schiera di rette). Il vertice del cono è punto singolare.  Generatrici del cono. Direttrici del cono. Forma canonica affine.

* Cilindri (semplicemente degeneri) a punti reali Ellittico, Parabolico ed Iperbolico: calcolo degli invarianti. Quadrica non-singolare (al finito, il vertice è un punto improprio). Studio della geometria del supporto della forma canonica metrica (centro di simmetria, assi di simmetria, piani di simmetria). Sono superficie rigate (i.e. contengono una schiera di rette). Generatrici e Direttrici di un cilindro. Sono quadriche non singolari (la singolarità è costituita dal vertice punto improprio). Forma canonica affine dei cilindri a punti reali.

* Esercizi ed esempi

FOGLIO 7 HOMEWORKS (Prof. Flamini)

Settimana 14

Giovedì - 06/06/2024

ESERCITAZIONI EXTRA DI RIEPILOGO FATTE DAL CODOCENTE (FACOLTATIVE E SE RICHIESTE) 

[DISP_D]  REGISTRAZIONE ONLINE SU TEAMS CONTENENTE CENNI SU FORMA CANONICA DI JORDAN (IMPOSSIBILITATI A FARLO NEL PROGRAMMA PER MANCANZA DI ORE) LA FACCIO AD UTILIZZO FUTURO SE VI DOVESSE ESSERE UTILE PER ALTRI CORSI IN FUTURO

* Richiami notazionali e definizioni dal corso di Geometria 1: campi algebricamente chiusi, polinomio caratteristico di un endomorfismo, spettro di un endomorfismo, autovalori di un endomorfismo, molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore di un endomorfismo, endomorfismi diagonalizzabili

* Potenze di un endomorfismo. Funzioni polinomiali su endomorfismi.

* Ideale di un endomorfismo (Lemma 1.3). Teorema di Cayley-Hamilton (Prop. 1.5) SOLO ENUNCIATI

* Polinomio caratteristico e polinomio minimo di un endomorfismo con spettro nel campo, equivalentemente triangolabile (Corollario 1.7) SOLO ENUNCIATI

* Teorema (Forma canonica di Jordan; esistenza di una base di Jordan) SOLO ENUNCIATO

Se f è un endomorfismo su un IK-spazio vettoriale V, con polinomio caratteristico P_f(x) interamente decomponibile su IK, allora esiste una base di Jordan J di V per cui la matrice rappresentativa di f in base J è una matrice J a blocchi di Jordan. Se, in particolare, il polinomio minimo di f è q_f(x) = (x-\lambda_1)^e_1…..(x-\lambda_r)^e_r, dove \lambda_1, …\lambda_r sono tutti gli autovalori distinti di f, la forma canonica J di Jordan di f è t.c.

(i) per ogni autovalore \lambda_i esiste in J almeno un blocco di Jordan di ordine e_i e tutti gli altri blocchi relativi a \lambda_i in J hanno ordine minore od uguale ad e_i, per ogni i=1,…,r,

(ii) il numero dei blocchi di Jordan relativi all’ autovalore \lambda_i in J è pari alla molteplicità geometrica di \lambda_i, per ogni i=1,…,r

(iii) la somma dei vari ordini dei blocchi di Jordan relativi all’autovalore \lambda_i   in J è pari alla molteplicità algebrica di \lambda_i, per ogni i=1,…,r

* Esempi esplicativi

Settimana 14

Venerdì - 07/06/2024

ESERCITAZIONI EXTRA DI RIEPILOGO FATTE DAL DOCENTE (FACOLTATIVE E SE RICHIESTE)