Università di Roma “Tor Vergata”

Dipartimento di Matematica

Algebra 2

Docente: Prof. René Schoof          Codocente: Prof. Fabio Gavarini

Corso chiuso

Esami

• L'esame consiste in un compito scritto.
• Per superare l'esame è necessario fare un compito scritto sufficiente (voto almeno 18).
• Per partecipare ad un appello è necessario prenotarsi tramite il sito delphi.
• La verbalizzazione dei voti avviene online. Non è necessaria la presenza dello studente.
• Portare un documento di riconoscimento.
  Non sono consentiti libri, appunti o palmari.
  Non è consentito uscire durante il compito.
• 18 Gennaio 2021: 1^o appello, compito corretto.
• 9 Febbraio 2021: 2^o appello, compito corretto.
• 14 Giugno 2021: 3^o appello, compito corretto.
• 9 Luglio 2021: 4^o appello, compito corretto
• 26 Agosto 2021: 5^o appello, compito corretto
• 14 Settembre 2021: 6^o appello, compito corretto

Esercizi

• 30 settembre 2020: Foglio 1.
• 7 ottobre 2020: Foglio 2.
• 13 ottobre 2020: Foglio 3.
• 22 ottobre 2020: Foglio 4.
• 29 ottobre 2020: Foglio 5.
• 5 novembre 2020: Foglio 6.
• 13 novembre 2020: Foglio 7.
• 22 novembre 2020: Foglio 8.
• 28 novembre 2020: Foglio 9.
• 2 dicembre 2020: Foglio 10.
• 9 dicembre 2020: Foglio 11.
• 18 dicembre 2020: Foglio 12.
• 24 dicembre 2020: Foglio 13.
• 25 dicembre 2020 : Foglio 14. (ultimo foglio)

Programma

• Gruppi
  • Teoria dei gruppi.
  • Corso di Algebra 1.
  • Azioni di gruppi.
  • La formula di Burnside.
  • Simmetrie del cubo.
  • Teorema di Cauchy.
  • Dimostrazione del Teorema di Sylow.
  • Rappresentazioni di gruppi.
  • Presentazioni di gruppi.
  • Prodotto semidiretto.
  • Il Teorema di Jordan- Hölder.
  • Gruppi risolubili in Wikipedia.
  • Gruppi semplici.
  • L'unico gruppo semplice di cardinalità ≤ 100 è A₅ (pdf).
• Anelli
  • Teoria degli anelli.
  • Corso di Algebra 1.
  • Domini ad ideali principali (PID).
  • Domini a fattorizzazione unica
  • Lemma di Gauss
  • Criterio di Eisenstein
  • Prime ideals and maximal ideals.
  • Lemma di Zorn e l'assioma della scelta.
  • Struttura dei gruppi abeliani finiti.
  • Moduli in Wikipedia.
  • Struttura dei moduli finitamente generati su un PID.
  • La forma canonica di Jordan.
• Campi
  • Teoria dei campi.
  • Corso di Algebra 1.
  • Numeri algebrici.
  • Numeri trascendenti.
  • Polinomio minimo.
  • Campo di spezzamento in Wikipedia.
  • Campi algebricamente chiusi in Wikipedia.
  • C è algebricamente chiuso.
  • Costruzioni con riga e compasso.
  • Numeri costruibili.
  • Problemi di costruizione classici.
    • Il duplicazione del cubo.
    • La trisezione dell'angolo.
    • La quadratura del cerchio.
  • Costruzione di poligoni regolari.
  • Automorfismo di Frobenius.
  • Dieci teoremi sui campi finiti.

Materiale

• Corso di Algebra 1.
• Artin, M. : Abstract Algebra, 2nd ed, Addison-Wesley, 2010.
• Dummit, D. and Foote, R.: Abstract Algebra, 3rd ed, 2003.
• Schoof, R. and Van Geemen, B.: Dispense di Algebra, Pavia 2001.
• Video 2015.

Ulteriori

• The Arizona winter semester 2021
• Il forum www.matematicamente.it.
• Il forum math.stackexchange.com.
• Online applet per fattorizzare polinomi mod p.
• Keith Conrad's blurbs.
• Il gruppo di Rubik.
• I love Sylow.
• Il numero di gruppi di cardinalità ≤ 2015.
• Lista dei gruppi semplici.
• I gruppi sporadici.
• John Machin e il calcolo di π.
• Poligoni di Newton
• Spettro di un anello
• La topologia di Zariski.
• Dimostrazione che π è trascendente.
• Animazione della costruzione del 17-gono regolare.
• I numeri di Fermat
• Costruzione del pentagono regolare di Euclide (300 BC circa). Si veda il manuscritto (Constantinople 888AD) (jpg, jpg)
• La dimostrazione di Euler che il quinto numero di Fermat è divisibile per 641. (Euler, Leonhard: Theoremata circa divisores numerorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1 (1747/48), 1750, pp. 20-48. Available online at EulerArchive.org).