Analisi Matematica II (9 crediti) a.a. 2011-12
(per Ingegneria Medica - prof. Braides)

ESAME DA 10 CREDITI
Gli allievi di Ingegneria Medica che devono ancora sostenere l'esame di Analisi II da 10 crediti possono partecipare allo stesso scritto degli allievi del corso da 9 crediti (con le stesse modalità) sul programma qui sotto. L'argomento "serie di potenze" sarà oggetto della prova orale (mentre le serie di Fourier sono oggetto del corso di Metodi)


Programma

- Continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili reali
- Estremi liberi e vincolati di funzioni di più variabili
- Teorema della funzione implicita
- Curve e superfici
- Forme differenziali
- Calcolo integrale per funzioni di più variabili
- Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni



DETTAGLIO DELLE LEZIONI SVOLTE.
Nota: contrassegno con (D) i teoremi di cui ritengo più importanti le dimostrazioni.

1. Rappresentazione di funzioni di più variabili reali. Norma e distanza tra vettori, prodotto scalare. Diseguaglianza di Schwarz.
2. Insiemi aperti e chiusi. Chiusura e frontiera. Insiemi limitati. Limiti di successioni di vettori (convergenti e divergenti) e loro proprietà.
3. Teoremi sulle successioni analoghi al caso scalare. Insiemi compatti. Limiti e continuità per funzioni di più variabili reali. Teorema di Weierstrass. Esempi di non esistenza di limiti - differenze con il caso di una variabile.
4. Uso delle coordinate polari nel calcolo dei limiti. Derivata in una direzione e derivata parziale. Gradiente.
5. Differenziabilità e derivabilità. Piano tangente. Teorema del differenziale totale (D).
6. Punti stazionari. Derivate seconde. Teorema di Schwarz. La matrice hessiana. Polinomio di Taylor di ordine 2. Calcolo di massimi, minimi e punti di sella tramite lo studio della matrice hessiana. Caratterizzazione degli estremi liberi nel caso due-dimensionale.
7. Esercitazione su limiti e differenziabilità (Tarantello)

8. Esercitazione su matrice hessiana e punti stazionari (Berretti)
9. Matrice Jacobiata. Determinante jacobiano. Esempi.
10. Curve parametriche. Nomenclatura (sostegno, curve semplici, chiuse, regolari, piane, ecc.). Curve di Jordan. Punti regolari ed esistenza della retta tangente.
Esempi di punti non regolari.

11. Il teorema di Dini sulle funzioni definite implicitamente (D).
12. Tangente ad un insieme del piano dato in forma implicita. Ortogonalità del gradiente alle linee di livello. Calcolo delle derivate successive di una funzione definita implicitamente. Non-esplicitabilità per punti singolari di f(x,y)=0 con determinante dell'hessiana non zero.
13. Teorema di Dini per un vincolo in n variabili; in particolare in 3 variabili. Equazioni del piano tangente. Curve date con due vincoli in tre dimensioni. Equazione della retta tangente.
14. Curve nello spazio: lunghezza, ascissa curvilinea, curvatura, torsione, formule di Frenet, ecc (Tarantello)
15. Esercitazione su curve nello spazio (Tarantello)
16. Esercitazione sul teorema del Dini (Berretti)

17. Estremi vincolati in R^n. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (D). Massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi con interno non vuoto.
18. Massimi e minimi relativi su insiemi chiusi con interno non vuoto. Analisi dei punti angolosi della frontiera.
19. Sistemi di due vincoli in R^3. Esercizi di ripasso.
20. Curve rettificabili. Esempi di curve con lunghezza infinita. Calcolo della lunghezza per curve C^1 (D). Curve equivalenti. Integrali di Prima Specie. Indipendenza dalla parametrizzazione.
21. Notazioni utili per il calcolo: curve C^1 a tratti. Somma di curve, opposto di una curva. Additività dell'integrale. Esempi.
22. Forme differenziali lineari. Integrali di Seconda Specie. Esempi. Integrale di (1/z)dz su un cerchio centrato nell'origine. Forme esatte. Primitiva o potenziale. Teorema sull'integrazione di forme esatte su una curva come differenza del potenziale agli estremi. Forma chiusa. Necessità della chiusura per una forma esatta (D). Esempio di forma chiusa ma non esatta.
23. Teorema di equivalenza tra forme esatte e indipendenza dell'integrale sul cammino in aperti connessi (D). Costruzione del potenziale.
24. Curve omotope. Aperti semplicemente connessi. Invarianza dell'integrale di forme chiuse su curve omotope. Equivalenza tra forme esatte e forme chiuse su aperti semplicemente connessi.
25. Integrali doppi per funzioni definite su rettangoli. Teorema di riduzione a integrali su intervalli. Insiemi normali. Integrali di funzioni definite su insiemi normali. Esempi.
26. Esercizi sul calcolo di integrali doppi. scelta dell'ordine di integrazione, il ruolo delle simmetrie (Tarantello)
27. Derivazione della formula del cambio di variabile negli integrali doppi. Esempi. Cambio di variabili nelle coordinate polari (Tarantello)

28. Insiemi misurabili. Misura di un insieme del piano (secondo Peano-Jordan). Criterio di misurabilità. Formule di Green (D). Teorema del gradiente, teorema della divergenza (D).
29. Esercizi di ripasso su integrali doppi. Applicazioni: calcolo dell'area (misura) di un insieme del piano, volume di un solido, area di una superficie. Calcolo dell'area di un insieme del piano tramite le formule di Green.

30. Integrale della gaussiana (D). Definizione dell'integrale triplo/multiplo. Diverse formule di riduzione: per fili e per strati. Teorema di Guldino sul volume dei solidi di rotazione.

31. Cambiamenti di variabili negli integrali multipli. Coordinate cilindriche, coordinate sferiche.
32. Integrali impropri  in R^n.  Condizioni di integrabilità per 1/||x||^alfa al finito e all'infinito. Superfici in R^3: superficie elementare, parametrizzazione, punto interno e punto di bordo di una superficie, superfici cartesiane. Parametrizzazione della sfera e del toro. Piano tangente, versore normale, superficie orientabile. Non orientabilità del nastro di Möbius. Integrale su una superficie. Fornula dell'area di una superficie elementare.
33. Esercizi su integrali multipli e la formula dell'area.
34. Formule di Green, il teorema della divergenza e del rotore in R^3 (Berretti)
35. Esercizi e applicazioni (Berretti)

36. Convergenza uniforme di funzioni. Completezza delle funzioni continue per la convergenza uniforme. Esempio di una successione convergente in ogni punto ma non uniformemente. Lemma delle contrazioni (D). Ripasso sulle equazioni differenziali ordinarie di primo grado lineari e a variabili separabili.
37. Teorema di Cauchy sull'esistenza e unicità locale della soluzione del problema di Cauchy Y'=F(x,Y), Y(0)=Y_0 per un sistema di equazioni ordinarie (D). Definizione di intervallo massimale di esistenza. Esistenza globale. Esempi di equazioni senza esistenza, senza unicità o con soluzione non globale. Esempio di analisi qualitativa.
38. Equazioni differenziali di ordine n in forma normale e sistemi di ordine 1 corrispondenti. Sistemi ed equazioni lineari. Struttura dello spazio delle soluzioni. Soluzione di equazioni a coefficienti costanti.

39. Soluzioni di equazioni lineari a coeff. costanti omogenee e non omogenee con termine forzante speciale; caso risonante (radici multiple nel polinomio caratteristico, etc.); curva di risonanza per oscillatori armonici smorzati e non con termine forzante sinusoidale (Berretti)
40. Soluzione di sistemi lineari; l'esponenziale di una matrice. Suo calcolo se la matrice è diagonalizzabile e se è la somma di una matrice multipla dell'unità piú una matrice nilpotente. Analogie con il caso della singola equazione lineare di ordine n e analogia tra radici multiple del polinomio carattaeristico per quest'ultimo caso e autovalori multipli nel caso dei sistemi (Berretti)

Le lezioni rimanenti sono state dedicate ad esercizi di ripasso.

Esami:
9 febbraio 2012 - Testo dello scritto Traccia delle soluzioni
21 febbraio 2012 - Testo dello scritto Traccia delle soluzioni

2 luglio 2012 - Testo dello scritto

13 luglio 2012 - Testo dello scritto

8 settembre 2012 - Testo dello scritto, traccia delle soluzioni

17 settembre 2012 - Testo dello scritto

Prerequisiti: Corso di Analisi Matematica I

-numeri reali, estremo superiore e inferiore, numeri complessi
-successioni, limiti di successioni
-concetto di funzione, funzione composta e funzione inversa
-logaritmo ed esponenziale, funzioni goniometriche elementari, funzioni goniometriche inverse
-limiti di funzioni, continuità
-derivata, applicazioni allo studio del grafico di funzioni
-formula di Taylor
-integrale di funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale
-formula di integrazione per sostituzione e per parti
-integrali impropri
-equazioni differenziali del primo e del secondo ordine

MODALITÀ D'ESAME
L'esame consta di una parte scritta (esercizi in cui va motivata brevemente la risposta) e di un orale vertente su esercizi e teoria (comprese le dimostrazioni fatte a lezione). Per accedere all'orale bisogna avere una valutazione "sufficiente" al relativo scritto.

ORARIO (AULA B3)
Martedi 14:00 - 15:45
Mercoledi 11:30 - 13:15
Venerdi 9:30 - 11:15

Inizio del corso: 3 ottobre 2011
Fine del corso: 4 febbraio 2012

Orario di ricevimento (fino al 4 febbraio 2011): mercoledi ore 9:30-11:15
(studio n.1209 al Dipartimento di Matematica, SoGeNe)

Testi consigliati:

Teoria: M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli - Analisi Matematica - McGraw-Hill, 2007
Esercizi: B.P. Demidovic -Esercizi e problemi di Analisi Matematica - Editori Riuniti, 2010