II semestre - A.A. 2021-2022
Docente: Prof. Flaminio
Flamini e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Co-docente: Prof. Antonio Rapagnetta e-mail: rapagnet@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Legenda
Bibliografia
* [G1] Geometria I, Bollati Boringhieri (E. Sernesi) – è lo stesso testo utilizzato nel
corso Geometria 1 a.a. 2021/2022
* [DISP] Dispense on-line scaricabili gratuitamente
° [DISP_A] Isometrie notevoli di IE^2 ed IE^3 (note Prof.
Flamini)
° [DISP_B] Complessificazione di spazi vettoriali e spazi affini reali (note Proff. Ciliberto-Galati-Tovena)
° [DISP_C] Spazi vettoriali quozienti e duali (capp. 11 e 12 da “Algebra Lineare” Prof. C.
Ciliberto)
° [DISP_E] Cenni a Quadriche proiettive (note Prof. Flamini)
Orari
ed Argomenti Lezioni ed Esercitazioni:
(vedere specifiche nella tabella
sottostante)
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SEMESTRE |
SETTIMANA |
LEZIONE |
ARGOMENTI |
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I |
Settimana 1 |
(2 ore)-08/03/2022 |
Presentazione del corso, del materiale didattico e dei
metodi di valutazione (Esoneri, Appelli) Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Forme bilineari su un campo IK con char(IK) diversa da 2 * Bil(V)
= insieme delle forme bilineari su V * Sym(V)
sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari simmetriche su V * Alt(V)
sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari antisimmetriche (o
alterne) su V * Esempi
15.2: (1) forma
bilineare nulla, (2)
forma simmetrica standard su IK^n (3)
forma alterna standard su IK^n, quando n pari *
Forma bilineare b su V ed applicazioni lineari Và V* indotte
da (i) b(v, -): Và IK e (ii)
b(-,w) : V à IK * Matrice
rappresentativa di una forma bilineare b in una fissata base E di V * Proposizione
15.4: (i) Bil(V) è uno spazio vettoriale di dimensione n^2 perché,
fissata una qualsiasi base E di V, esso è isomorfo allo spazio
vettoriale delle matrici M(nxn;IK).
(ii)
In questa identificazione, i sottoinsiemi Sym(V) e Alt(V) sono sottospazi di
Bil(V) e sono isomorfi ai sottospazi delle matrici simmetriche Sym(nxn,IK) e delle matrici
antisimmetriche Alt(nxn;IK), rispettivamente. (iii)
Deduzione delle dimensioni dei sottospazi Sym(V) e Alt(V) |
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(2 ore)-09/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Proposizione 15.5: Matrici rappresentative di forme bilineari in basi
diverse di V sono matrici congruenti. *
La congruenza è una relazione di equivalenza tra le matrici quadrate nxn *
Rango di una forma bilineare: è una buona definizione. *
Forme bilineari non-degeneri; forme bilineari degeneri *
Proposizione 15.6: caratterizzazioni di forme bilineari b non-degeneri
che utilizza le applicazioni lineari Và V* indotte dai funzionali lineari b(v,-): Và IK e b(-,w):Và IK *
15.10 Complementi (2) Se A è la matrice di una forma bilineare b
rispetto ad una base E di V allora: (i)
A^t è la matrice che rappresenta l’applicazione
lineare b(v,-): V à V^* nelle basi E e
E* (ii)
A è la matrice che rappresenta l’applicazione lineare b(-,w):
V à
V^* nelle basi E e E*
FORME BILINEARI SIMMETRICHE *
Vettori b-ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica *
Sottospazio b-ortogonale ad un sottoinsieme S dato |
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(2 ore)-10/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Se S = {v} allora si scrive v^perp. *
Esempi di calcolo con varie forme bilineari simmetriche b *
Sottospazio b-ortogonale ad un sottospazio U dato. *
Sottospazi ortogonali *
Radicale di una forma bilineare simmetrica b su V. *
Se A è la matrice rappresentativa di una forma bilineare simmetrica b in una
data base E di V, allora il radicale di b è il sottospazio Ker(A). *
Il radicale di b è banale se e solo se b è non-degenere *
Vettori b-isotropi in V *
Se v è un vettore nel radicale di b allora v è un
vettore b-isotropo, ma non è vero il viceversa. *
Esempi di forme bilineari simmetriche non-degeneri (quindi con radicale
banale) che hanno vettori isotropi non nulli *
Coefficiente di Fourier di un vettore w rispetto ad un vettore v non
b-isotropo *
Esempi vari *
15.10 Complementi (6) (dimostrazione del Prof. F. Flamini alternativa al libro, che
invece usa questioni di dualità più avanzate) (i)
Se b è una forma bilineare simmetrica non-degenere su V di dimensione
n ed U è un sottospazio proprio di V di dimensione s <n
, allora dim(U^perp)
= n-s. (ii)
Se inoltre U non contiene vettori isotropi non-nulli, allora U e U^perp sono in particolare in somma diretta e quindi V =
U somma diretta U^{perp} *
15.10 Complementi (7): Cono b-isotropo, sottospazi b-isotropi, forma
bilineare simmetrica anisotropa. *Esempi:
(i)
La forma bilineare simmetrica standard su IR^n è
anisotropa (ii)
La forma bilineare simmetrica standard su C^2 ha
cono isotropo non banale. |
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(2 ore)- 11/03/2021 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Basi b-ortogonali o diagonalizzanti una forma
bilineare simmetrica b. *
Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Esempi *
Forma bilineare simmetrica polare associata ad una forma quadratica *
Forme bilineari simmetriche o forme quadratiche sono equivalenti. *
Le forme quadratiche su V ereditano la struttura di spazio vettoriale di
Sym(V). *
Due matrici simmetriche A e B rappresentano, in basi diverse date, la stessa
forma quadratica q su V se e solo se A e B sono congruenti per mezzo di M la
matrice cambiamento di base tra le due basi date. *
Rango di una forma quadratica: è una buona definizione *
Polinomi omogenei Q(X_1, X_2, …., X_n) di secondo grado in IK[X_1, X_2, ……, X_n]_{<= 2} che rappresentano forme quadratiche q su
uno spazio vettoriale V di dimensione n in una data base E di V *
Matrice simmetrica associata ad un polinomio omogeneo Q(X_1,
X_2, …., X_n) di secondo grado in IK[X_1, X_2, ……, X_n]_{<= 2} *
Basi diagonalizzanti per forme quadratiche sono le
basi b-ortogonali o diagonalizzanti per la forma
bilineare simmetrica polare b associata a q *
Restrizione di una forma bilineare b (o di una forma quadratica q) su V ad un
sottospazio W rimane una forma bilineare b|_W (o
quadratica q|_W) su W *
15.10 Complementi (3) (i)
(U,h) con dim(U) = 2 e h forma iperbolica è un piano iperbolico;
(ii)
basi iperboliche per (U,h),
(iii)
costruzioni di basi iperboliche per mezzo dell’esistenza di un vettore
h-isotropo non banale *
15.10 Complementi (4) se uno spazio vettoriale V di dimensione n è
munito di una forma quadratica q non-degenere che ammette un vettore
q-isotropo non banale, allora V contiene sempre un piano iperbolico (U, q|_U) *
15.10 Complementi (6) Rappresentabilità di scalari nel campo IK
mediante forme quadratiche q su V *
Se IK= C e q è forma quadratica non degenere, allora ogni numero complesso è
rappresentabile mediante q *
Se IK=IR, dipende dalla forma q quali scalari di IR si possono rappresentare *
Se (V, q) contiene un piano iperbolico (U, q|_U),
allora ogni scalare in IK è rappresentabile mediante q. |
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I |
Settimana 2 |
(2 ore)- 15/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 16 *
Diagonalizzazione di forme quadratiche q o di forme
bilineari simmetriche b su un IK-spazio vettoriale V *
Teorema 16.1: Teorema di esistenza di basi b-diagonalizzanti
una forma bilineare simmetrica b (equiv. una forma
quadratica q) su un qualsiasi campo IK, con char(IK) diversa da 2. *
Versione matriciale del Teorema 16.1: ogni matrice simmetrica nxn su un campo IK, con char(IK) diversa da 2, è
congruente ad una matrice diagonale. *
Algoritmo di Lagrange per la determinazione esplicita della base diagonalizzante la forma bilineare simmetrica b (equiv. la forma quadratica q) del Teorema 16.1 (dimostrazione del Prof. F. Flamini
alternativa a quella del libro) *
Teorema 16.2: Caso IK algebricamente chiuso (e.g. IK=C). Forme
normali di forme bilineari simmetriche b (equiv.
forme quadratiche q) su campo IK algebricamente chiuso. *
Le forme normali dipendono solo dal rango di b (equivalentemente di q). *
Determinazione della base diagonalizzante che
riduce una data forma bilineare simmetrica b (equiv.
la forma quadratica q) alla sua forma normale su IK algebricamente chiuso
(e.g. IK=C) *
Teorema 16.3 (Teorema di Sylvester) Caso IK=IR. Forme
canoniche di Sylvester di forme bilineari simmetriche b (equiv. forme quadratiche q) reali. |
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(2 ore)- 16/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 16 *
Dimostrazione del Teorema 16.3: determinazione della base di Sylvester
che riduce la forma bilineare simmetrica b (equiv.
la forma quadratica q) reale alla sua forma canonica di Sylvester *
A differenza delle forme normali su IK algebricamente chiuso, le forme
canoniche di Sylvester reali non sono individuate solamente dal rango di b (equiv. di q) *
Segnatura di una forma quadratica reale q *
Forme quadratiche reali: (i)
(semi)definite negative, (ii)
(semi)definite positive, (iii)
indefinite * Esempi: (i) forma quadratica
standard su IR^n (ii) forma quadratica di
Minkowski su IR^4: vettori di tipo spazio, di tipo tempo e di tipo luce [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Prodotti scalari su uno
spazio vettoriale reale * Spazi vettoriali (reali)
euclidei (V, < , >) * Complementi 17.8 (2)
Esempio di spazio vettoriale euclideo non finitamente generato: V=IR[x] con < , > = integrale definito in [0,1] * Diseguaglianza di
Schwarz in uno spazio vettoriale euclideo * ||v|| = Norma o
lunghezza di un vettore * Diseguaglianza
triangolare * Versori. * Normalizzazione di
vettori |
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(2 ore)- 17/03/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta
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(2 ore)- 18/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Insiemi (finiti) di vettori
ortogonali (rispettivamente, ortonormali) * Basi ortogonali
di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >) * Basi ortonormali
di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >) * Proposizione 17.2:
Un insieme di vettori ortogonali in (V, < , >)
è automaticamente un sistema linearmente indipendente. * Prodotti scalari di
vettori espressi in coordinate rispetto ad una base ortonormale: è la somma
dei prodotti delle coordinate omologhe. * Gruppo ortogonale
O(n,IR) e sottogruppo
speciale ortogonale SO(n,IR); sono sottogruppi
di GL(n,IR)
([G1]
pp. 175-176) * Proposizione 17.3:
Sia (V, < , >) euclideo e sia E una
base ortonormale. Un’ ulteriore base F di V è ortonormale se e solo se
la matrice cambiamento di base M:= M_{E,F} è
una matrice ortogonale, i.e. M è un elemento di O(n,IR) * Proiezione ortogonale
di un vettore w lungo la direzione di un vettore v * Teorema 17.4 (ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) (dimostrazione solo per insiemi ortogonali,
i.e. per insiemi costituiti da un numero finito di vettori) |
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I |
Settimana 3 |
(2 ore)- 22/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Proposizione 17.6:
se W è un sottospazio di uno spazio vettoriale euclideo (V,<
, >), allora V si decompone in somma diretta con W e W^{perp} * La decomposizione in
somma diretta si chiama decomposizione in somma diretta ortogonale * W^{perp}
= complemento ortogonale al sottospazio W * Proiezione ortogonale
di un vettore v su un sottospazio W * Identità pitagorica tra
vettori * Angolo convesso
tra due vettori non nulli * Orientazioni di
uno spazio vettoriale reale V ([G1] p. 151) * Angolo orientato
tra due vettori non nulli. * Determinazione
principale di un angolo orientato * Intervallo [0, 2pigreco)
come insieme dei rappresentanti = determinazioni principali * Basi ortonormali di IR^2
positivamente orientate sono in corrispondenza biunivoca con il gruppo
delle rotazioni di angolo t, con t determinazione principale che varia
nell’intervallo [0, 2 pigreco) * Complementi 17.8 (1)
Il campo complesso C e le rotazioni di angolo t. Rappresentazione polare (o
trigonometrica) di un numero complesso: modulo ed argomento (o
anomalia) di un numero complesso |
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(2 ore)- 23/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 18 *
L’operazione di prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale euclideo
di dimensione tre *
Proprietà del prodotto vettoriale (Teorema 18.2 e Corollario 18.3) *
Dipendenza solo dall’orientazione della base ortonormale * Significato
geometrico della norma del prodotto vettoriale: area del parallelogramma
(Proposizione 18.4) * Prodotto
misto di tre vettori * Significato
geometrico del prodotto misto: il modulo del prodotto misto di tre
vettori indipendenti v, w e u è il volume del parallelepipedo
che ha come spigoli i tre vettori dati. [G1] Capitolo 2, paragrafo 19 *
Spazi euclidei n-dimensionali IE * IE^n(IR) = n-spazio euclideo numerico standard * Riferimenti
cartesiani (o sistema di coordinate cartesiane) in uno spazio
euclideo n-dimensionale IE * Distanza
tra due punti in uno spazio euclideo n-dimensionale * Angolo
convesso fra due rette (affini) orientate in IE. *
Rette (affini) ortogonali in IE |
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(2 ore)- 24/03/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 25/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 19 Piano
euclideo IE^2(IR) *
Vettori e versori normali ad una retta affine r di equazione cartesiana Ax + By + C = 0 * Equazioni
parametriche e equazione cartesiana di una retta
passante per un punto P e perpendicolare ad una retta r data *
Angolo convesso tra due rette affini e condizione di perpendicolarità tra due
rette in IE^2(IR). *
Proiezione ortogonale di un punto P su una retta affine r *
Distanza punto-retta d(P, r) *
Distanza tra due rette parallele in IE^2(IR) Complementi
19.4 (3): coordinate
polari in un piano euclideo orientato e formule di passaggio da
coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa Spazio
euclideo IE^3(IR) *
Vettori e versori normali ad un piano affine in IE^3(IR) *
Angolo convesso fra due piani (affini). Piani (affini) ortogonali. Condizione
di perpendicolarità tra due piani affini *
Angolo convesso tra una retta affine ed un piano affine. Condizione di
perpendicolarità tra una retta ed un piano affini *
Proiezione ortogonale di un punto su un piano affine. Distanza punto-piano *
Distanza tra una retta affine ed un piano affine paralleli *
Distanza punto-retta |
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I |
Settimana 4 |
(2 ore)- 29/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 19 *
Distanza tra due rette parallele (strategia geometrica differente dal
testo) *
Distanza tra due rette sghembe (strategia geometrica differente dal
testo) * Complementi
19.4 (1) (Iper)sfere ed (iper)dischi di centro un punto C e
raggio un intero r>0 in IE^n(IR). *
Per n=2,
circonferenze e cerchi, er n=3 sfere e palle. [G1] Capitolo 1, paragrafo 14, p.
177-182 *
Richiami su isomorfismi di spazi affini. *
Affinità di uno spazio affine in sé. Il gruppo GL(V) *
Aff (A) = gruppo affine delle trasformazioi affini (o affinità) di uno spazio affine A
*
Aff_n(IK) = gruppo affine dello spazio affine
numerico A^n(IK) *
Esempi 14.6 (2) Traslazioni. Sottogruppo di Aff(A)
delle traslazioni T_V. E’ isomorfo al gruppo
abeliano (V, +) *
Esempi 14.6 (3) Aff (A)_O. E’ isomorfo a GL(V) |
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(2 ore)- 30/03/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 1, paragrafo 14, p.
183-186 *
Esempi 14.6 (3) omotetia di centro un punto O e di fattore di
proporzionalità c *
Esempi 14.6 (4) Simmetria rispetto ad un punto C che è il centro di
simmetria. *
Punto medio di PQ *
Lemma 14.5: unicità di affinità f una volta dati un automorfismo in
GL(V) ed un punto O’: = f(O). *
Conseguenza: Il gruppo affine Aff (A)
è generato da T_V e Aff (A)_O *
Descrizione esplicita del gruppo affine Aff_n(IK) :
i suoi elementi sono f(x) = A x + c, dove A in GL(n,IK) e c vettore numerico in IK^n *
Descrizione esplicita delle leggi di gruppo di Aff_n(IK) *
Ogni volta che si fissa un riferimento affine RA(O, E)
su uno spazio affine A astratto di dimensione n, Aff(A)
diventa isomorfo come spazio affine ad Aff_n(IK) *
Figure geometriche affinemente equivalenti *
Proprietà affini di una figura geometrica. *
Definizione di Geometria Affine |
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(2 ore)- 31/03/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 01/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 1, paragrafo 14, p.
156-157 *
Formule di cambiamento di coordinate affini tra due riferimenti affini
RA(O, E) ed RA(O’, F) su un campo IK *
Riferimenti affini reali orientati concordemente (discordemente) *
Esercizio svolto su cambiamenti di riferimenti affini reali ed equazioni di
luoghi geometrici nei due riferimenti [G1] Capitolo 2, paragrafo 20, p.
243-250 *
Operatori unitari su uno spazio vettoriale euclideo (V, < , > ) reale *
Teorema 20.1: caratterizzazioni equivalenti di operatori unitari *
Corollario 20.2: T è unitario se e solo se la matrice di T rispetto ad
una qualsiasi base ortonormale E di V è una matrice ortogonale *
Gruppo ortogonale O(V). *
SO(V) = gruppo speciale ortogonale = rotazioni di V *
Proposizione 20.3: se T operatore unitario ammette autovalori, allora
essi sono esclusivamente +1 e – 1 *
Definizione 20.6: Isometria
di uno spazio euclideo IE. *
Isom(IE)
= Gruppo delle isometrie di IE *
Isometrie dirette ed inverse *
Descrizione esplicita di Isom_n(IR): i suoi
elementi sono f(x)
= A x + c dove A matrice in O(n,IR) e
c vettore numerico in IR^n *
Figure geometriche isometriche o congruenti. *
Proprietà euclidee di una figura geometrica. *
Definizione di Geometria Euclidea Riconsegna facoltativa FOGLIO 1
HOMEWORKS e FOGLIO 2 HOMEWORKS (
Prof. Flamini) |
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I |
Settimana 5 |
(2 ore)- 05/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_A] *Isometrie
notevoli di IE^2(IR) (i)
Equazioni di traslazioni di passo un vettore v (ii)
Rotazioni (lineari) attorno all’origine di angolo orientato t (iii) Rotazioni
attorno ad un qualsiasi punto P di angolo orientato t (iv)
Riflessioni rispetto ad un punto P. (v)
Riflessione rispetto ad una retta cartesiana r: ax+by+c
= 0 *
Trasformati di luoghi geometrici nel piano euclideo IE^2(IR) mediante
un’isometria *
Equazioni canoniche metriche di una retta. Due rette sono sempre congruenti
(e quindi anche affinemente equivalenti) *Isometrie
notevoli di IE^3(IR) (i)
Equazioni di traslazioni di passo un vettore v (ii)
Rotazioni (lineari) attorno ad una retta vettoriale orientata, di angolo
orientato t (iii)
Rotazioni attorno ad una retta cartesiana orientata, di angolo orientato t (iv)
Riflessioni rispetto ad un punto P. Determinazione del punto medio di un
segmento (v)
Riflessione rispetto ad una retta cartesiana (vi)
Riflessione rispetto ad un piano cartesiano *
Trasformati di luoghi geometrici nello spazio euclideo IE^3(IR) mediante
un’isometria *
Equazioni canoniche metriche di una retta (di un piano). Due rette (due
piani) sono sempre congruenti (e quindi anche affinemente equivalenti) |
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(2 ore)-
06/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Complessificazione V_C di uno spazio vettoriale
reale V * Vettori
reali e vettori immaginari puri in V_C * Dimensione
reale e dimensione complessa di V_C *
Vettori C-linearmente indipendenti * Definizione
1.1.2: Base reale di V_C * Definizione 1.1.1: Coniugio in V_C. (i) è
un’applicazione involutoria (ii) è
un endomorfismo IR-lineare
di V_C (iii)
non è un endomorfismo C-lineare di V_C *
Sottoinsiemi reali del C-spazio vettoriale V_C * C-
sottospazi vettoriali di V_C che sono sottospazi vettoriali reali |
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(2 ore)-
07/04/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
08/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Complessificazione f_C : V_C à V’_C di un’applicazione lineare f: Và V’ tra
spazi vettoriali reali V e V’. Matrici rappresentative. * Prodotto
scalare complessificato indotto dal prodotto
scalare < , > su V spazio vettoriale reale
euclideo. * Definizione 1.1.4. La lunghezza di un vettore complesso v rispetto al prodotto scalare complessificato * Definizione
1.1.5 Vettori complessi ortogonali rispetto al prodotto scalare complessificato * Vettori
isotropi rispetto al prodotto scalare complessificato * Paragrafo
1.2 Complessificazione A_C di uno spazio affine A reale * Coniugio in uno spazio
affine complessificato A_C * I punti reali sono i
punti fissi del coniugio in A_C * Sottospazi affini
reali di uno spazio affine complessificato. * Riferimenti affini reali
di uno spazio affine complessificato A_C |
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I |
Settimana 6 |
(2 ore)-
12/04/2022 |
[DISP_B]
* Lemma 1.2.1 : Fissato
in A_C un riferimento affine reale RA(O, E), allora: (i) un sottospazio affine è reale se e solo se ha un
punto reale ed ha giacitura reale (ii) Le coordinate del coniugato di un punto P sono
le coordinate coniugate di P * Proposizione 1.2.2: CNES per avere un sottospazio
affine reale in A_C: un sottospazio affine H è reale se e solo se,
rispetto ad un riferimento reale RA(O, E) ha
equazioni parametriche (rispettivamente cartesiane) reali . * se P e il suo coniugato sono distinti, la retta
per P ed il coniugato di P è sicuramente retta reale * Paragrafo 1.3 (pp. 7-8) * Complessificazione IE_C
di uno spazio euclideo IE (reale) * Punti a distanza nulla e rette isotrope in IE_C * Paragrafo 1.6 (pp. 28-30): IE^2_C
come complessificazione del piano euclideo IE^2(IR) *
Retta in IE^2_C: giacitura, vettore direttore e parametri direttori *
Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta in IE^2_C * Retta
coniugata di una retta in IE^2_C *
Rette isotrope del piano IE^2_C *
Rette reali in IE^2_C: in un riferimento cartesiano reale hanno
equazioni parametriche ed equazione cartesiana reali. Contengono dunque
infiniti punti reali *
Metodi per determinare le equazioni reali *
Osservazione 1.6.5: se una retta r è non reale allora possono
capitare due cose: (i) o
l’intersezione con la retta coniugata è non vuota: allora l’intersezione
tra le due rette è un punto reale, esso è l’unico punto reale sulle due
rette, le giaciture delle due rette non sono reali (ii) oppure
l’intersezione fra le due rette è vuota: allora r è strettamente
parallela alla sua coniugata, né r né la sua coniugata contengono punti
reali, la loro giacitura comune è reale. |
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(2 ore)-
13/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Paragrafo
1.7 (pp. 30-34): *
IE^3_C come complessificazione dello spazio
euclideo IE^3(IR) *
Piani in IE^3_C, giacitura *
Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di un piano in IE^3_C *
Piano coniugato ad un piano in IE^3_C * Piano
reale in IE^3_C: determinazione di un’equazione cartesiana
reale. Ha infiniti punti reali e contiene infinte rette reali * Piano
non reale: l’intersezione tra un piano ed il suo coniugato o è una retta
reale (e allora le giaciture dei due piani non sono reali e la retta è
l’unica retta reale) oppure è vuota (e allora i piani sono paralleli con
giacitura reale ed entrambe i piani non contengono né punti né rette reali) *
Retta in IE^3_C, giacitura, vettore direttore e parametri direttori *
Retta coniugata di una retta in IE^3_C *
Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di una retta in IE^3_C *
rette reali in IE^3_C: determinazione di equazioni cartesiane
reali. Le rette reali hanno infiniti punti reali *
Rette non reali: (i)
rette di I specie: sono complanari; se
incidenti, allora hanno un unico punto reale e giaciture non reali; se
(strettamente) parallele, non hanno punti reali ma le giaciture sono reali (ii) rette
di II specie: sono sghembe; non hanno né punti né giaciture reali * Cono
isotropo in IE^3_C *
Piani isotropi in IE^3_C * Su
una giacitura di un piano non isotropo esistono esattamente due direzioni
isotrope distinte (caso Delta non nullo) * Su
una giacitura di un piano
isotropo esistono un’unica direzione isotropa (caso Delta
nullo) |
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(2 ore)-
14/04/2022 |
Esercitazioni
Prof. Flamini |
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(2 ore)-
15/04/2021 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 22, pp.
269-271 * Lemma
22.1: il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale
possiede solo radici reali *
Operatori autoaggiunti o simmetrici * Teorema
22.2 (Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti
o simmetrici) * Teoremi
22.3 e 22.4: formulazioni equivalenti: (i) diagonalizzazione di matrici simmetriche reali in basi
ortonormali (ii)
di forme quadratiche reali in basi ortonormali * Proposizione
22.5: autovettori relativi ad autovalori
distinti di un operatore autoaggiunto o simmetrico
sono ortogonali *
Utilizzo della teoria svolta per il calcolo esplicito con la discussione di
vari esempi Riconsegna facoltativa FOGLIO 2
HOMEWORKS e FOGLIO 3
HOMEWORKS (Prof. Flamini) |
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I |
Settimana 7 |
(2 ore)-
19/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.11 *
Quoziente di un IK-spazio vettoriale V modulo un suo sottospazio: V/W * Le
classi laterali v+ W, che sono gli elementi di V/W, sono identificabili ai
sottospazi affini di V paralleli alla giacitura W * V/W
ha una struttura di IK-spazio vettoriale che rende la proiezione
canonica p : V à V/W un’applicazione lineare
suriettiva di IK-spazi vettoriali * Ker(p) = W e dim(V/W) = dim(V) – dim(W) * Struttura
di IK-spazio vettoriale V/W interpretata con i sottospazi affini di V * Teorema
11.6 Primo teorema di omomorfismo *
Corollario 11.7 Controimmagini di un vettore nell’immagine di un applicazione lineare *
Teorema 11.8 Secondo teorema di omomorfismo *
Corollario 11.9 Isomorfismi
con somme di sottospazi. |
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(2 ore)-
20/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.11 *
Sottospazi di V/W * Proposizione
11.11: corrispondenza biunivoca tra sottospazi di V/W e sottospazi di V
contenenti W (sottospazi disposti a bandiera) * Proposizione
11.12 Isomorfismo con doppio quoziente [DISP_C] Cap.12 *
Richiami su Hom(V,W): è
IK-spazio vettoriale * dim(Hom(V,W)) = dim(V) dim(W) *
Fissate basi di V e di W, diventa isomorfo alle matrici M(mxn; IK) *
Composizioni di elementi di Hom di vari spazi a
seconda che sia fisso il dominio oppure il codominio *
End(V) è uno spazio vettoriale di dimensione (dim(V))^2 * La
composizione di endomorfismi fornisce ad End(V) una struttura di anello
unitario, non commutativo e non integro * V* =
Spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale V * I
suoi elementi sono detti funzionali lineari su V * dim(V^*) = dim(V) * Se V
= IK^n allora i funzionali lineari su IK^n sono le matrici riga M(1xn;
IK). |
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(2 ore)-
21/04/2022 |
SVOLGIMENTO I ESONERO SU ARGOMENTI DA SETTIMANA 1 A
SETTIMANA 6 COMPRESA |
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(2 ore)-
22/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.12 * Base
duale E* come base di V^* che è duale alla
base E di V * V e
V* sono isomorfi dopo scelta di una base E su V * V**
= Spazio vettoriale bi-duale di uno spazio vettoriale V * V**
è canonicamente isomorfo a V, i.e. l’isomorfismo non dipende dalla scelta di
una base *
Esempio 12.8 Se V = IK^n allora V^* = IK[x_1, ….., x_n]_1 spazio
vettoriale dei polinomi omogenei di grado 1 in n indeterminate (con il
polinomio nullo) * Ann_V(W) = Annullatore di un sottospazio W |
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I |
Settimana 8 |
(2 ore)-
26/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.12 *Proposizione
12.9: proprietà
degli annullatori *
Duale di una proposizione P * Teorema
12.11: Principio di dualità negli spazi vettoriali [DISP_D] Cap.1 * Definizioni
1.1 e 1.2 endomorfismo triangolabile su uno spazio vettoriale di
dimensione finita su IK
e matrice triangolabile su uno spazio vettoriale di dimensione
finita su IK * Teorema
1.1 una matrice quadrata A su un campo IK è triangolabile se e solo se ha
spettro nel campo IK, i.e. se e solo se il suo polinomio caratteristico
P_A(x) è interamente decomponibile su IK (i.e. P_A(x) si fattorizza su
IK come potenze di binomi) * Corollario
1.1 su IK algebricamente chiuso (e.g. IK=C), ogni matrice quadrata
è triangolabile * Teorema
1.2 un endomorfismo f di un IK-spazio vettoriale V è triangolabile se e
solo se polinomio caratteristico P_f(x) è interamente
decomponibile su IK * Corollario
1.2 su IK algebricamente chiuso (e.g. IK=C), ogni endomorfismo è
triangolabile *
Esempi |
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(2 ore)-
27/04/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap.2 *
Funzioni polinomiali su M(nxn;
IK) *
Funzioni polinomiali su End(V) * Proposizione
2.1 se f è un endomorfismo triangolabile, allora P_f(f)
= 0 * Teorema
2.1 (Teorema di Hamilton-Cayley) se f è un
endomorfismo, allora P_f(f) = 0 *
Ideale I_f in IK[x] di un endomorfismo f * Polinomio
minimo m_f(x) di un endomorfismo f * Proposizione
2.2 m_f(x) divide P_f(x)
in IK[x] * Teorema
2.2 gli zeri di P_f(x) e di m_f(x)
in IK coincidono *
Esempi in cui P_f(x) e m_f(x)
coincidono ed esempi in cui m_f(x) è un divisore
proprio di P_f(x) |
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(2 ore)-
28/04/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
29/04/2021 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap.3 * Definizione
3.1 autospazi generalizzati per autovalori di un endomorfismo *
Esempi * Lemma
3.1 e Corollario 3.1 decomposizione di V _a seconda della fattorizzazione
del polinomio minimo m_f(x) in IK[x] * Teorema
3.1 (Teorema della decomposizione primaria) decomposizione primaria di V
rispetto ad un endomorfismo f il cui polinomio caratteristico si fattorizza
completamente su IK * Componenti
primarie di un endomorfismo f il cui polinomio caratteristico si
fattorizza completamente su IK * Le
componenti primarie V_i sono f-stabili Riconsegna facoltativa FOGLIO 3
HOMEWORKS e FOGLIO 4
HOMEWORKS (Prof. Flamini) |
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I |
Settimana 9 |
(2 ore)-
03/05/2022 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap.3 * Proposizione
3.1 proprietà delle componenti primarie _in funzione delle proprietà del
polinomio m_f(x): (i)
il polinomio
minimo della componente primaria V_i è m_{f_i} (x) = (x- \lambda_i)^{e_i} (ii)
la
dimensione della componente primaria V_i coincide
con la molteplicità algebrica a_i = m_a(f,
\lambda_i) dell’autovalore \lambda_i * Definizione
3.2 blocco di Jordan di ordine k rispetto ad uno scalare \lambda *
Riduzione allo studio del comportamento di f ristretto alla singola
componente primaria V_i * Teorema
3.2 Sia f un endomorfismo su V con polinomio minimo m_f(x)
= (x-\lambda)^k. Allora: (i)
esiste
una base B di V per cui la matrice rappresentativa in base B di
f è una matrice a blocchi, dove ogni blocco è un blocco di Jordan rispetto
all’autovalore lambda di un certo ordine k_t (ii)
la
somma di tutti gli ordini k_t è uguale a dim(V) |
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(2 ore)-
04/05/2022 |
* Forma
canonica di Jordan di un endomorfismo * Teorema
3.3 (Riduzione a forma canonica di Jordan; esistenza di una base di Jordan)
se f è un endomorfismo su un IK-spazio vettoriale V, con polinomio
caratteristico P_f(x) interamente decomponibile su
IK, allora esiste una base J di V, detta base di Jordan, per
cui la matrice rappresentativa di f in base J è una matrice a blocchi
di Jordan * Corollari
3.3 e 3.4 * Deduzione in alcuni casi della unicità della
forma canonica di Jordan a meno della permutazione dei blocchi di Jordan:
(dimostrazione alternativa alle dispense) Sia
m_f(x) = (x-\lambda_1)^e_1…..(x-\lambda_r)^e_r, dove \lambda_1,
…\lambda_r sono tutti gli autovalori distinti di f.
Sia J una forma canonica di Jordan di f in base di Jordan per V. Allora: (i)
per ogni
autovalore \lambda_i esiste in J almeno un blocco
di Jordan di ordine e_i e tutti gli altri blocchi
relativi a \lambda_i hanno ordine minore od uguale
ad e_i, per ogni i=1,…,r, (ii)
il numero dei
blocchi di Jordan relativi all’ autovalore \lambda_i è pari alla molteplicità geometrica di \lambda_i, per ogni i=1,…,r (iii)
la somma dei
vari ordini dei blocchi di Jordan relativi all’autovalore \lambda_i è pari
alla molteplicità algebrica di \lambda_i, per ogni
i=1,…,r * Corollario: f endomorfismo con spettro
in IK è diagonalizzabile se e solo se m_f(x) ha tutte radici semplici in IK Svolgimento completo di un
esercizio riepilogativo su forme canoniche di Jordan: calcolo di autovalori,
di polinomio minimo, di autospazi generalizzati, di decomposizione primaria,
di forma canonica di Jordan e di matrice cambiamento di base per un
riferimento di Jordan [G1] Capitolo 3. p. 283 *
Motivazioni classiche per la geometria proiettiva *
Descrizione intuitiva della retta proiettiva come completamento ad un
punto della retta reale con ascissa reale x *
Coppia di coordinate omogenee [X_0, X_1] e corrispondenza fascio di rette dal
polo Nord della circonferenza *
IP(V) = spazio proiettivo * Gli
elementi di IP(V), detti punti, sono le rette vettoriali di V |
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(2 ore)-
05/05/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
06/05/2022 |
[G1] Capitolo 3. p. 284 * dim IP(V) = dimensione proiettiva = dim_{IK}(V)-1 * Esempio
24.5-1: definizione di IP(V) per via del quoziente con relazione di
proporzionalità tra vettori in V – {0} * Spazio
proiettivo numerico su un campo IK come IP^n(IK) *
Sistema di coordinate omogenee (o riferimenti proiettivi) in
IP(V) * Punti
fondamentali e punto unità di un riferimento *
Riferimento proiettivo standard *
Sottospazi proiettivi di IP(V). * Codimensione di un sottospazio proiettivo. Iperpiani *
Equazioni cartesiane di iperpiani in IP^n * Iperpiani
fondamentali H_i in IP^n |
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Settimana 10 |
(2 ore)-
10/05/2022 |
[G1] Capitolo 3. p. 286 * Equazioni
cartesiane di sottospazi proiettivi in IP^n * Codim_{IP^n} (IP(W)) = numero equazioni
cartesiane in forma normale che servono per * Equazioni parametriche e caretdeterminare IP(W) come intersezione di iperpiani
indipendenti *
Sottospazio proiettivo intersezione di due sottospazi proiettivi *
Sottospazi incidenti o sghembi in IP^n *
Sottospazio proiettivo L(J) generato da un sottoinsieme non vuoto J di
IP(V) *
Punti linearmente indipendenti in IP^n. *
Punti in posizione generale in IP^n *
Esempi di punti in posizione generale e non in IP^2, in IP^3 eccetera e
sottospazi proiettivi che essi generano * Ogni
sottospazio proiettivo S di IP^n può essere
generato da dm(S)+1 punti linearmente indipendenti *
Esempi di punti in posizione generale e non in IP^2, in IP^3 eccetera e
sottospazi proiettivi che essi generano * Equazioni
parametriche di un sottospazio proiettivo in IP^n
*
Passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane: formule determinantali *
Equazioni parametriche e cartesiane di rette in IP^2, di rette in IP^3, di
piani in IP^3 * Se
S_1 = IP(W_1) e S_2 = IP(W_2) sono due sottospazio proiettivi, allora L(S_1, S_2) = IP(W_1 + W_2) viene detto il sottospazio
proiettivo generato da S_1 ed S_2 o sottospazio congiungente S_1 e S_2
* Due
rette sghembe in IP^3 generano tutto IP^3 |
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(2 ore)-
11/05/2022 |
* Formula
di Grassmann proiettiva *
Significati geometrici * Proposizione
24.3: (i) due rette in un piano proiettivo sono sempre incidenti. (ii)
Una retta ed un piano in uno spazio proiettivo di dimensione 3 sono sempre incidenti e due piani distinti si
intersecano sempre lungo una retta *
Sottospazi proiettivi in posizione generale * Cono
(proiettivo) proiettante un sottoinsieme J da un punto P * Proposizione
24.4: proprietà dei coni proiettanti *
Proiezione di IP^n su un ipepriano
H di centro un punto P non appartenente a H. *
Proiezione di un sottoinsieme non vuoto J su un iperpiano H da un punto P non
appartenente a H * Esempi
24.5-3: Sottospazi proiettivi di IP^2, di IP^3, di IP^4. Tabella delle
intersezioni se i sottospazi sono in posizione generale * Esempi
24.5-4: riferimenti proiettivi. * Esempi
24.5-5: Sistemi lineari di ipersuperfici
di grado d in IP^n * Esempio 24.5-7: C_a(J)
= cono (affine) in V su J sottoinsieme di IP(V) |
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(2 ore)-
12/05/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
13/05/2022 |
[G1] Capitolo 3. p. 297 *
Geometria affine e Geometria proiettiva * Carte
affini fondamentali di IP^n * Deomogeneizzazione i-esima di coordinate omogenee * Elementi impropri (od all’infinito)
per le carte affini fondamentali A_i := A^n_i,
per ogni i = o,…,n *
Esempi 25.4-(4): (a) chiusure proiettive (o proiettificazione)
H di sottospazi affini H in una carta affine A_i
di IP^n. Omogeneizzazione i-esima delle coordinate
affini y_1, ….., y_n (b) Sottospazi affini H nella carta affine A_i che sono traccia di
sottospazi proiettivi H di IP^n *
Esempi 25.4-(2) e (3): ulteriori modelli geometrici di IP^n(IR).
Punti antipodali sulla ipersfera S^n
nello spazio euclideo IE^{n+1} o sulla calotta nel semispazio superiore.
Identificazione antipodale *
Esempio 25.4-(1): modello geometrico di IP^1(C): proiezione
stereografica della sfera euclidea S^2 in IE^3 privata del
polo-nord N su un piano. IP^1(C) come sfera di Riemann Riconsegna facoltativa FOGLIO 4
HOMEWORKS e FOGLIO 5
HOMEWORKS (Prof. Flamini) |
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I |
Settimana 11 |
(2 ore)-
17/05/2022 |
[G1] Paragrafo 26. p. 313 * IP := Spazio proiettivo IP^n *
Spazio proiettivo IP^* = spazio proiettivo duale di IP *
Insieme degli iperpiani di IP. Ha una struttura di spazio proiettivo data da
IP* *
Iperpiani di IP linearmente indipendenti
* Riferimento
proiettivo duale in IP* e cooordinate omogenee
duali di iperpiano in IP* *
Coordinate omogenee di un iperpiano H di IP nel riferimento duale di IP* * Proposizione
26.1 Sistema lineare di iperpiani
in IP di centro un sottospazio proiettivo S di IP: equazioni e dimensione * Fasci
e stelle di iperpiani in IP |
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(2 ore)-
18/05/2022 |
* Teorema
26.2: Sia IP uno spazio proiettivo n-dimensionale. Allora: (i)
si ha una corrispondenza biunivoca tra IP* e l’insieme
degli iperpiani di IP, i.e. i sistemi lineari di iperpiani in IP si
identificano a sottospazi proiettivi di IP* (ii)
la corrispondenza biunivoca in (i) induce una
corrispondenza biunivoca tra sottospazi proiettivi S = IP(W) di IP di dimension k, ed i sottospazi proiettivi IP(Ann(W)) in IP*
di dimensione n-k-1 che, secondo la biiezione in (i), corrispondono a sistemi
lineari di iperpiani di IP centro il corrispondente sottospazio proiettivo
S=IP(W) che è il centro del sistema lineare di iperpiani (iii)
La biiezione in (ii) inverte le inclusioni *
Dualità proiettiva. *
Esempi ed esercizi * Complementi
26.5: corrispondenza punto in IP ad iperpiano H_P in IP*. (i) La
corrispondenza avviene grazie all’isomorfismo canonico di V con V** che
induce una identificazione di IP con IP**, spazio proiettivo biduale, che è lo spazio proiettivo duale di
IP* (ii)
Il passaggio dalle coordinate omogenee di P in IP all’equazione cartesiana
dell’iperpiano H_P in IP* avviene grazie alla relazione di incidenza
in IP x IP* data da: a_0X_0
+ a_1X_1 +…a_nX_n=0 *
Configurazione di punti e di sottospazi. Proposizione duale di una
proposizione data. |
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(2 ore)-
19/05/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
20/05/2022 |
[G1] Paragrafo 24. p. 293 * Esempi
ed osservazioni 24.5-4 Riferimento proiettivo in IP = IP(V) individuato
da n+2 punti in posizione generale in IP Paragrafo 27. p. 319 * Formule
di cambiamento di coordinate omogenee in uno spazio proiettivo IP
rispetto a due riferimenti proiettivi distinti *
Formule inverse del cambiamento di coordinate *
Composizione di formule cambiamenti di coordinate in tre riferimenti
proiettivi distinti *
Formule del cambiamento di coordinate da un riferimento fissato su IP ad un
riferimento individuato da (n+2) punti in posizione generale di IP di cui si
conoscono le coordinate nel vecchio riferimento proiettivo di IP * Esempio
27.2: calcolo esplicito della legge di cambiamento di coordinate su IP^1
rispetto al
riferimento indotto da tre punti distinti P_1, P_2, M su IP^1:
calcolo del cambiamento delle coordinate omogenee con metodi di
Cramer di modo che P_1 e P_2 siano ordinatamente i due nuovi punti
fondamentali mentre M diventi il punto unità del nuovo
riferimento |
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I |
Settimana 12 |
(2 ore)-
24/05/2022 |
[G1] Paragrafo 27. p. 322 * Isomorfismi
di spazi proiettivi IP e IP’. * Proiettività
di uno spazio proiettivo IP * Gruppo
proiettivo PGL(IP) o PGL(n+1, IK) * Proposizione 27.4 = Teorema
fondamentale degli isomorfismi proiettivi e delle proiettività · Teorema fondamentale dei riferimenti
proiettivi *
Figure proiettivamente
equivalenti. *
Proprietà proiettive di figure geometriche e Geometria proiettiva *
Complementi 27.10-1: Relazioni di equivalenza tra le figure della
Geometria Affine, Euclidea e Proiettiva. Equivalenza affine,
euclidea e proiettiva *
Complementi 27.10-4: punti fissi, luoghi di punti fissi
e luoghi stabili di una proiettività f * Esempi |
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(2 ore)-
25/05/2022 |
[G1] * Complementi 27.10-3:
le affinità di uno spazio affine A^n,
identificato con la carta affine A^n_0 di IP^n,
si identificano alle proiettività di IP^n che hanno
l’iperpiano H_0: X_0=0 (che e’
improprio per la carta affine A^n_0) come sottospazio proiettivo
stabile * Pertanto Aff(A^n) si può vedere
come sottogruppo di PGL(n+1; IK) e quindi, visto che
A^n si identifica con una carta affine
sottoinsieme di IP^n, allora la Geometria Affine è
subordinata alla Geometria Proiettiva Paragrafo 27. p. 324 * Birapporto di una quaterna
ordinata di punti in IP^1 * Teorema
27.7 Significato proiettivo del birapporto di
una quaterna ordinata di punti in IP^1 con il teorema fondamentale dei
riferimenti * Il birapporto dipende dall’ordinamento della quaterna: permutazioni
che cambiano il birapporto |
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(2 ore)-
26/05/2022 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
27/05/2022 |
[G1] Paragrafo 28. p. 337 * Curve algebriche piane affini in
A^2(IK): equazione cartesiana, supporto e grado * Curve algebriche piane euclidee in
E^2(IR): equazione cartesiana, supporto e grado * Curve algebriche piane proiettive in
IP^2(IK): equazione cartesiana, supporto e grado *
Non confondere la curva con il suo supporto. *
Esempi di curve non banali con supporti vuoti quando IK= IR *
Curve algebriche piane irriducibili e ridotte *
* Curve algebriche piane riducibili e non-ridotte *
Equivalenza affine, congruenza od equivalenza proiettiva
tra curve algebriche piane *
Trasformata di una curva algebrica mediante un’affinità (oppure un’isometria
oppure una proiettività) *
Forme canoniche di curve algebriche piane affini (o
euclidee o proiettive) *
Chiusura proiettiva di una curva algebrica piana affine
C e punti impropri di C *
Traccia di una curva proiettiva in una carta affine
fondamentale *
Curva affine simmetrica rispetto ad un punto * Curva euclidea
simmetrica rispetto ad una retta Riconsegna facoltativa FOGLIO 5 HOMEWORKS e FOGLIO 6 per preparazione
al II Esonero (Prof. Flamini) |
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I |
Settimana 13 |
(2 ore)-
31/05/2022 |
[G1] Paragrafo 29. p. 347 *
Curva algebrica piana per IK=C *
Curva complessa e coniugata di una curva algebrica piana
C *
Curve algebriche reali * Punti
reali di una curva algebrica piana complessa *
Insieme dei punti non reali di una curva algebrica piana
complessa Paragrafo 30. p. 355 *
Coniche in IP^2(IK) e matrice simmetrica associata A *
Equazione cartesiana omogenea matricale della conica proiettiva C *
Conica in IP^2(IK) non degenere, semplicemente
degenere o doppiamente degenere *
Classificazione delle coniche proiettive *
Invarianti proiettivi di una conica: rango di una conica * Teorema
30.2 forme canoniche proiettive di coniche su IK algebricamente chiuso * Teorema
30.3 forme canoniche proiettive di coniche reali *
Invarianti proiettivi di una conica reale: rango e tipologia di
segnatura *
Significato geometrico del rango di una conica: (i) non
degenere = irriducibile e quindi non singolare (ii) semplicemente
degenere = riducibile in una coppia di rette incidenti e ha un
solo punto come luogo singolare (iii) doppiamente
degenere = conica non ridotta = retta doppia cioe’
tutti i punti sono singolari * Se una
conica non degenere reale contiene un punto reale, allora ne contiene
infiniti *
Esempi |
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(2 ore)-
01/06/2022 |
[G1] Paragrafo 31. p. 359 *
Conica in A^2(IK) non degenere, semplicemente
degenere o doppiamente degenere * Classificazione
delle coniche affini *
Invarianti affini di una conica: rango e rango
della forma quadratica * Conica
a centro e Parabola * Osservazioni
31.2-1 conica a centro e centro di simmetria della conica * Se
IK = IR o nel piano affine complessificato (i.e. si
usano solo trasformazioni affini reali su A^2(C)), la classificazione
delle coniche a centro si stratifica ulteriormente con le due tipologie iperbole
ed ellisse * Osservazioni
31.2-2 Significati geometrici di ellisse, iperbole e parabola in termini
di punti impropri della conica affine * Nel
caso IK=IR oppure
nel piano affine complessificato
(i.e. dove si usano solo trasformazioni affini reali su A^2(C)), se si
parte da una conica affine reale allora anche il segno del determinate della
forma quadratica è un invariante affine. * Grazie
all’inavrianza del segno di det(A_0),
allora det(A_0) <0 caratterizza le iperboli
mentre det(A_0)>0 caratterizza le ellissi |
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(2 ore)-
02/06/2022 |
Festività del 2 Giugno |
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(2 ore)-
03/06/2021 |
Ponte del 2 Giugno: chisura
ateneo ed interruzioni lezioni da disposizioni rettorali |
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Settimana 14 |
(2 ore)- LUNEDI 06/06/2022 Al posto di AM2 11-13 |
GEOMETRIA 2 ANTICIPA A LUNEDI’ MENTRE
ANALISI 2 PRENDE LE ORE POMERIDIANE DI GIOVEDI’ 9 GIUGNO DI GEOMETRIA 2 [G1] Paragrafo 31. p. 361 * Diametri
di una conica a centro * Asintoti
di una conica a centro * Se IK=IR
oppure se studiamo il piano affine complessificato
(i.e. dove si usano solo trasformazioni affini reali su A^2(C)),
un’ellisse ha asintoti che sono rette complesse e coniugate la cui
intersezione è nell’unico punto reale che è il centro dell’ellisse * Teorema
31.1 forme canoniche affini di coniche affini sia per IK algebricamente
chiuso che per IK= IR. *
Algoritmo di riduzione a forma canonica affine * Le
forme canoniche affini sono sempre in numero finito, ma molte di più delle
forme canoniche delle coniche proiettive *
Coniche euclidee reali in E^2(IR) * Invarianti
metrici di una conica e classificazione delle coniche euclidee * Teorema
31.3 forme canoniche metriche di coniche euclidee. *
Riduzione a forma canonica metrica |
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(2 ore)-MARTEDI 07/06/2022 |
* Proprietà geometriche dell’ellisse
generale a punti reali: vertici, semiassi, fuochi, direttrici,
eccentricità, diametri, caso della circonferenza * Proprietà geometriche dell’iperbole
generale: vertici, semiasse trasverso e semiasse non-trasverso,
asintoti, diametri, fuochi, direttrici, rami dell’iperbole, eccentricità * Proprietà geometriche della parabola
generale: vertice, asse trasverso, fuoco, direttrice,
eccentricità * Proprietà focali delle coniche
generali a punti reali * Punti ciclici di una
circonferenza |
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(2 ore)- MERCOLEDI 08/06/2022 |
Esercitazioni di riepilogo su coniche fatte dal Prof. Flamini |
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(2 ore)-
VENERDI 10/06/2022 |
SVOLGIMENTO II ESONERO SU ARGOMENTI
DA SETTIMA SETTIMANA FINO A TREDICESIMA SETTIMANA |