Inizio del corso: 24 settembre
Fine del corso: 19 gennaio
Orario di ricevimento: lunedì ore 16-17 in aula C1 (a
meno di diverse indicazioni) Se possibile il
ricevimento di lunedì pomeriggio sarà fatto alla lavagna e
servirà quindi anche da esercitazione.
Programma
previsto del corso
1. Sommatorie e serie numeriche
2. Successioni e serie di funzioni
3. Limiti e
continuità in Rn 4. Calcolo differenziale in Rn
5. Funzioni definite implicitamente.
6. Curve e integrali curvilinei; forme differenziali
7. Integrali doppi e formula di Green
8. Integrali tripli e superficiali e collegamenti tra
loro
Distinta delle lezioni
(ogni lezione è di due ore):
1 (24
settembre). Serie numeriche: esempi e motivazioni.
Sommatorie e loro proprietà. Esempi: somma dei primi n interi,
somma delle prime n potenze di z. Definizione di serie formale
e di somma di una serie. Carattere di una serie: convergente,
divergente, indeterminata. Linearità della somma di una serie.
Il
carattere di una serie "non dipende dai primi termini". La serie geometrica e la sua somma
(quando convergente). Esempi di calcolo di somme di serie.
2 (25 settembre).Criterio necessario di
convergenza: convergenza a zero della successione di cui si fa
la serie. Esempio: divergenza della serie armonica
(non-sufficienza della convergenza a zero). Serie
telescopiche. La serie di Mengoli. Serie a termini positivi e
legami con i teoremi su successioni monotone. Non
indeterminatezza del carattere di una serie a termini
positivi. Criterio del confronto. Esempio: confronto della
serie di 1/n2 con la serie di Mengoli. Criterio di
condensazione. Applicazione: convergenza delle serie armoniche
generalizzate. Criterio del confronto asintotico.
3 (1 ottobre). Esercizi sul criterio del confronto e
confronto asintotico. Analisi di serie con termini polinomiali ed
esponenziali. Il criterio della radice n-ima. Esempi.
Non-applicabilità del criterio quando il limite della radine n-ima
è 1.Il
criterio del rapporto. Esempi.
4 (2 ottobre). Criteri per serie a segni
qualunque: criterio della convergenza
assoluta. Criterio di Leibniz per
serie con termini a segno alterno*.
Esempio di serie semplicemente ma non
assolutamente convergente. Esempi ed
esercizi. Criterio integrale.
5 (4 ottobre). Riordinamenti.
Invarianza della somma di una
serie assolutamente convergente
per riordinamento. Teorema sul
riordinamento delle serie
semplicemente ma non
assolutamente convergenti (con
cenno di dimostrazione). Esempi in cui si
deve fare attenzione a non
usare in modo improprio il
criterio del confronto
asintotico.
Esercizi su serie dipendenti da
un parametro. Serie di potenze.
Caratterizzazione dell'insieme
di convergenza. Raggio di
convergenza. Limite superiore.
Cartterizzazione del raggio di
convergenza come un limte
superiore. Esempi di calcolo
dell'insieme di convergenza.
6 (8 ottobre). Caratterizzazione
del raggio di convergenza con il
criterio del rapporto quando
possibile. Esempi ed esercizi.
Serie di Taylor. Funzioni
analitiche. Esempio: 1/(1-x) è
analitica in un intorno di 0.
Esempio di una funzione con
derivate di ogni ordine ma non
analitica. La funzione
esponenziale, il seno e il
coseno sono analitiche su tutta
l'asse reale. Loro serie di
Taylor. Deduzione della
relazione tra l'esponenziale
immginario, seno e coseno.
7 (9 ottobre). Teorema
dell'integrazione per serie.
Esempi. La serie del logaritmo,
la serie dell'arcotangente.
Teorema di derivazione per
serie. Analiticità delle serie
di potenze. Esempi ed esercizi.
8 (11 ottobre). Esempi di
calcolo di somme di serie di
potenze. Convergenza uniforme di
funzioni. Esempi. Il limite
uniforme di funzioni continue è
continuo; il limite uniforme di
funzioni limitate è limtato.
Esempi ed esercizi.
9 (16 ottobre). Convergenza
uniforme di una serie di
funzioni. Convergenza totale.
Esempi ed esercizi.
10 (18 ottobre). Lo
spazio delle funzioni continue
con la distanza della norma
uniforme è uno spazio metrico
completo. Il lemma delle
contrazioni. Convergenza
puntuale, uniforme e totale di
serie di potenze. Esempi ed
esercizi.
11 (19 ottobre). Esercizi
su convergenza puntuale e
uniforme di funzioni
12 (22 ottobre). Norma e
distanza in Rn. Palle aperte e
chiuse. Insiemi aperti e chiusi,
limitati/illimitati, frontiera
(o bordo) e chiusura di un
insieme. Esempi ed esercizi. 13 (23 ottobre). Caratterizzazione
di insiemi aperti e chiusi
mediante successioni. Insiemi di
rotazione nello spazio. Esempi
ed esercizi.
14 (25 ottobre). Esercizi
di ripasso sulla prima parte del
corso. 15 (26 ottobre). Primo
test intermedio.
16 (5 novembre). Funzioni
di più variabili reali. Punti di
accumulazione di un insieme.
Definizione di limite al finito
e all'infinito. Esempi.
Condizioni necessarie per
l'esistenza el limite. Esempi di
non esistenza. Funzioni
continue. Teoremi
che si derivano dai teoremi sui
limiti per successioni. Insiemi
compatti. Teorema di Weierstass. 17 (5 novembre). Correzione
del primo test intermedio.
18 (6 novembre). Calcolo
di limiti in R2 tramite l'uso delle
coordinate polari. Esempi ed
esercizi. Introduzione al
calcolo differenziale in Rn (per funzioni
scalari). Derivata direzionale,
derivate parziali, gradiente.
Esempi. Differenziabilità.
Esempio di funzione con tutte le
derivare direzionali ma non
continua. Teorema: la
differenziabilità implica
l'esistenza di tutte le derivate
direzionale, e la derivata in
direzione v è uguale al
prodotto scalare di v e
del gradiente. Equazione
dell'(iper)piano tangente al
grafico di una funzione
differenziabile. Esempi
ed esercizi.
19 (8 novembre). Esempio
di funzione le cui derivate
non si esprimono come
combinazione lineare delle
derivate parziali (e quindi
non è differenziabile).
Teorema del differenziale
totale*. Esempi.
Direzione di massima
pendenza. Punti stazionari.
Derivate parziali seconde (e
di ordine superiore).
Teorema di Schwarz. Matrice
hessiana (Hessiano).
Simmetria della matrice
hessiana.
20 (12 novembre). Funzioni
di classe Ck.
Polinomio di Taylor di
ordine 2. Classificazione
dei punti stazionari tramite
lo studio della matrice
hessiana. Punti di massimo,
minimo relativo, punti di
sella. Il caso della
dimensione 2. Esempi ed
esercizi.
21 (13 novembre). Massimi
e minimi su insiemi chiusi.
Esistenza usando il teorema
di Weierstrass. Esempi
tramite la parametrizzazione
della frontiera. 22 (15 novembre).
Curve parametrizzate in Rn.
Esempi di curve nel piano e
nello spazio. Sostegno,
vettore velocità, vettore
direzione, punti regolari e
punti singolari. Esempi.
23 (19 novembre). Insiemi
di livello di funzioni in R2.
Esempi.
Insiemi che
definiscono
implicitamente
una curva in
un intorno di
un loro punto.
Teorema del
Dini*.
Esempi che
mostrano che
le condizioni
del teorema
del Dini non
sono
necessarie.
Derivata di
una funzione
definita
implicitamente.
Esempi ed
esercizi.
24 (20
novembre).
Equazione
della retta
tangente a una
curva di
livello di una
funzione g
(al di
fuori dei
punti
stazionari di
g).
Iperpiano
tangente nel
caso
n-dimensionale
generale.
Massimi e
minimi
vincolati: il
Metodo dei
Moltiplicatori
di Lagrange.
Equivalenza
con un
problema di
massimo e
minimo liberi.
Esempi ed
esercizi.
25 (22
novembre). Esercizi
ed esempi sul
metodo dei
moltiplicatori
di Lagrange.
Lunghezza di
una curva C1 a
tratti.
Interpretazione
come
approssimazione
di spezzate.
Cambiamenti di
parametro.
Teorema di
invarianza
della
lunghezza per
cambiamento di
parametro.
Esempi e
conseguenze.
26 (26
novembre). Curve
rettificabili.
Esempi.
Parametrizzazione
a lunghezza
d'arco.
Parametrizzabilità
a lunghezza
d'arco di
curve senza
punti
singolari.
Esempi ed
esercizi.
27 (26
novembre). Esercizi
di
ricapitolazione.
28 (27
novembre). Esercizi
di ripasso sul
calcolo
differenziale
per funzioni
di più
variabili.
29 (29
novembre). Esercizi
di ripasso su
funzioni
definite
implicitamente
e
moltiplicatori
di Lagrange.
30 (30
novembre).
Secondo
test
intermedio.
31 (3
dicembre).
Integrali di
prima e
seconda
specie. Loro
proprietà
rispetto ai
cambiamenti di
parametro.
Esempi ed
esercizi.
Forme
differenziali.
32 (3
dicembre).
Correzione del
secondo test
intermedio.
33 (4
dicembre). Esempi
ed esercizi su
integrali di
prima specie.
Area di una
superficie con
base una curva
rettificabile.
Forme esatte e
potenziale.
Teorema
fondamentale
del calcolo
per forme
esatte. Forme
chiuse.
Necessità
della chiusura
per
l'esattezza*.
La "forma
differenziale
complessa"
dz/z e le
relative forme
differenziali
reali. Esempio
di forma
chiusa non
esatta.
34 (10
dicembre).
Insiemi
connessi.
Condizioni
equivalenti
per
l'esattezza di
una forma su
un aperto
connesso*.
Aperti
semplicemente
connessi.
Esempi.
Equivalenza di
chiusura ed
esattezza su
aperti
semplicemente
connessi.
35 (11
dicembre). Esercizi
su forme
differenziali.
Integrali
doppi.
Definizione di
funzione
integrabile e
di integrale
secondo
Peano-Jordan
per una
funzione
definita su un
rettangolo in
analogia con
la definizione
di integrale
di Riemann.
Integrabilità
delle funzioni
continue.
Teorema di
riduzione (su
rettangoli).
Esempi.
36 (13
dicembre). Esercizi
su integrali.
Integrabilità
su domini non
rettangolari.
Integrabilità
di funzioni
continue su
domini con
frontiera una
curva
regolare. Linearità
ed additività
dell'integrale.
Formule
di riduzione
per domini
normali e per
domini che si
scrivono come
unione di
domini
normali.
Esercizi
sull'inversione
dell'ordine di
integrazione
per domini
qualunque.
Semplificazione
degli
integrali con
ragionamenti
di simmetria
rispetto ad un
asse e
parità/disparità
rispetto ad
una variabile.
37 (17
dicembre). Formula
di cambiamento
di variabile
degli
integrali
doppi. Matrice
Jacobiana e
suo
determinante.
Esempi:
trasformazioni
lineari,
coordinate
polari. Esempi
di calcolo di
un'area come
integrale
della costante
1
sull'insieme.
Esercizi.
Calcolo
dell'integrale
della
gaussiana.
38 (18
dicembre). Formule
di Gauss-Green
in due
dimensioni*.
Teorema del
rotore e
teorema della
divergenza.
39 (20
dicembre). Area
di una
superficie
cartesiana.
Esempio: area
di una
supeerficie
(semi)sferica.
Definizione di
superficie
elementare in
R3.
Esempio:
parametrizzazione
della
superficie
sferica. Punti
interni a una
superficie,
punti di
bordo. Vettore
normale a una
superficie
ottenuto come
prodotto
vettore. Area
di una
superficie
elementare.
Esempio: area
di una
superficie
sferica.
Integrale su
una
superficie.
Superfici
orientabili.
Esempio di una
superficie non
orientabile:
il nastro di
Möbius.
40 (7 gennaio).
Esercizi su
integrali su
superfici.
Integrale del
flusso di un
campo
vettoriale
attraverso una
superficie.
Teorema del
rotore. Esempi
ed esercizi.
41 (8
gennaio). Esercizi
sul teorema
del rotore.
Integrali
tripli.
Formule di
riduzione:
integrazione
per fili e per
sezioni.
Esempi.
Cambiamenti di
variabili.
Esempi:
coordinate
cilindriche e
coordinate
sferiche.
Esercizi. 42 (10
gennaio). Volume
di solidi di
rotazione.
Esempi ed
esercizi.
Teorema del
gradient e
teorema della
divergenza in
R3.
Esempi ed
esercizi.
43 (14
gennaio). Esercizi
di ripasso su
integrali di
prima e
seconda
specie. .
44 (15
gennaio). Esercizi
di ripasso su
integrali
doppi e tripli
45 (17
gennaio). Esercizi
di ripasso su
integrali e
formule di
Green (teorema
del rotore e
della
divergenza)
46 (18
gennaio).
Teszo test
intermedio.
* = risultati la cui
dimostrazione si ritiene particolarmente importante
Testo di riferimento
M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli, "Analisi
Matematica" (McGraw Hill)
(ma vanno bene anche altri testi, dato che il programma e le
notazioni sono standard)
MODALITÀ
D'ESAME
1) Esame finale: esame scritto (10 esercizi di cui viene
richiesta un breve svolgimento) + esame orale
(obbligatorio). L'esame orale può venire dato anche
nell'appello successivo della medesima sessione.
2) Prove intermedie. Verranno organizzate tre prove
intermedie. Alla seconda prova si è
ammessi se si ha ottenuto un voto sufficente (18) alla prima,
e alla terza se si è ottenuto un voto sufficente alla seconda.
Se si avrà ottenuto una votazione sufficente a tutte le tre
prove verrà proposto un voto. A seconda della valutazione
delle tre prove potrà essere richiesta una prova orale. Anche
coloro ai quali non è stata richiesta una prova orale possono
chiedere di sostenerla. Chi partecipa alle prove intermedie e
non deve sostenere una prova orale dovrà
verbalizzare il voto nella sessione di febbraio. Chi
invece deve o vuole sostenere un orale può farlo durante tutto
l'anno (ma gli è consigliato di farlo entro la sessione
autunnale). Per la partecipazione ai test non è necessario
avere sostenuto Analisi 1 (ma lo si deve avere fatto al
momento della verbalizzazione).
REGOLE PER GLI ESAMI Durante gli esami non si possono usare libri, appunti,
formulari, calcolatrici o altri strumenti elettronici, e i
cellulari devono essere rigorosamente spenti. Si deve
portare sufficienta carta per la brutta e il libretto o un
documento di riconoscimento.
