Diario delle lezioni relative al corso di geometria 1 con elementi di storia 1

Con [AL] si intende il libro di Algebra lineare del prof. Ciliberto, che e' stato consigliato per lo studio del corso.
Prima settimana
1 ottobre: nozione di corrispondenza, grafico e composizione di una corrispondenza,parallelismo tra rette nello spazio euclideo, incidenza tra rette e piani, relazioni e relazioni di equivalenza [[AL], cap. 1, appendici par. 3 e inizio par. 5]
2 ottobre: relazioni di equivalenza e partizioni, insieme quoziente modulo una relazione di equivalenza.
Nello spazio euclideo, vettori applicati, relazione di equipollenza, vettori liberi.
[[AL], cap. 1, par 1 (no prop (1.1), par. 5 (no esempio 1.15)]
4 ottobre: primo incontro di tutorato
5 ottobre: nozione di direzione di una retta e di giacitura di un piano nello spazio euclideo; prop. 1.1 di [AL], somma di vettori liberi, moltiplicazione di un vettore per uno scalare; proprieta' della somma di vettori liberi; unicita' dell'elemento neutro rispetto alla somma, unicita' dell'elemento inverso rispetto alla somma (cap. 1, par. 2 di [AL]).
Seconda settimana :
8 ottobre: operazioni e strutture algebriche [[AL], cap. 1 par. 7], nozioni di gruppo commutativo, campo [[AL], cap. 1 par. 8], spazio vettoriale su un campo [[AL], cap. 2 par. 1]].
9 ottobre: prime proprieta' degli spazi vettoriali [[AL], cap. 2 par. 2]]- la somma di vettori non dipende dall'ordine (senza dim.) [[AL], cap. 2 prop. 2,6] -un campo come spazio vettoriale su se stesso- gli spazi vettoriali sul campo dei reali dei vettori applicati in un punto, dei vettori liberi [[AL], cap. 3 par. 1], R^2 - combinazioni lineari e dipendenza lineare tra vettori di R^2 - funzioni iniettive, suriettive, biettive [[AL], cap. 1 par. 4].
11 ottobre: secondo incontro di tutorato
12 ottobre: Vettori numerici - matrici - prodotto di spazi vettoriali - restrizione del campo degli scalari [[AL], cap. 3]- nozione di sottospazio vettoriale [[AL], cap. 4 par. 1] - sistema di vettori e dipendenza lineare - sottospazi generati da un insieme di vettori.[[AL], cap. 5 par. 1 e 2]
Terza settimana : (le lezioni sono curate dal Dott. Lipparini)
15 ottobre: Ogni sottospazio di uno spazio vettoriale V su K e' uno spazio vettoriale su K (rispetto alla restrizione delle operazioni di V). Esempi. Sottospazi banali. Intersezione di sottospazi, somma di due sottospazi. La somma W+U di due sottospazi e' il piu' piccolo sottospazio che contiene sia W che U. terzo incontro di tutorato (Dott. Lipparini)
16 ottobre: sistemi lineare a coefficienti su un campo K; soluzioni; sistemi compatibili e incompatibili, matrici associate; forma vettoriale. Un sistema e' risolubile se e solo se la colonna dei termini noti e' combinazione lineare delle colonne dei coefficienti. Sistema omogeneo associato. Le soluzioni di un sistema omogeneo ad n incognite sono un sottospazio di K^n; teorema di struttura.
18 ottobre: terzo incontro di tutorato
19 ottobre: Dipendenza e indipendenza lineare di un insieme finito di vettori in uno spazio vettoriale su K. m vettori di R^n sono indipendenti se e solo se il sistema lineare omogeneo con m incognite, la cui matrice associata ha per colonne i vettori dati, ha per unica soluzione il vettore nullo. Un singolo vettore e' indipendente se e solo se e' non nullo. Due vettori distinti sono linearmente dipendenti se e solo se uno dei due e' nullo, oppure se sono proporzionali con fattore di proporzionalita' non nullo. Se X e' un insieme finito di vettori dipendenti, e Y contiene X, allora anche Y e' costituito da vettori dipendenti. Se X e' un insieme finito di vettori dipendenti, con |X|>1, allora esiste un vettore x di X che puo' essere espresso come combinazione lineare degli altri vettori di X. Se X e' un insieme finito di vettori indipendenti, allora ogni elemento del sottospazio generato da X si puo' scrivere in maniera unica come combinazione lineare degli elementi di X. Spazio vettoriale dei polinomi su un campo K. Lo spazio vettoriale dei polinomi su un campo K non e' finitamente generato.
quarta settimana 22 ottobre: sistemi di vettori linearmente indipendenti, metodo degli scarti successivi, Teorema di Steinitz per spazi vettoriali finitamente generati.
23 ottobre: esistenza di una base e dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato; ogni sistema linearmente indipendente di vettori puo' essere prolungato in una base.
25 ottobre: quarto incontro di tutorato
26 ottobre: rango di una matrice; rango per righe e rango per colonne coincidono; un sistema lineare e' compatibile se e solo se matrice completa e incompleta hanno lo stesso rango. quinta settimana
29 ottobre: Matrici diagonali, scalari, triangolari e loro rango. Trasformazioni elementari in un insieme ordinato di vettori. Applicazioni al calcolo del rango di una matrice.
30 ottobre: [tenuta dal Prof. Lipparini] Formula di Grassmann, somma diretta di due sottospazi vettoriali (cap. 7. par. 6). Prodotto riga per colonne tra matrici (cap. 10. par. 1).
2 novembre: Matrici ridotte rispetto ad alcune colonne e matrici completamente ridotte. Algoritmo di Gauss (cap. 8 par. 2).
esercizi di tutorato per la quinta settimana
sesta settimana
5 novembre: Matrici a scala. Riduzione ad una matrice a scala tramite trasformazioni elementari di prima e seconda specie
6 novembre: Primo e secondo teorema di unicita' per sistemi di equazioni lineari. Descrizione parametrica delle soluzioni di un sistema. Sistemi lineari e trasformazioni elementari
8 novembre: sesto incontro di tutorato
9 novembre: Sottospazi vettoriali assegnati in forma parametrica o cartesiana, loro intersezione e somma.
settima settimana
Sistemi lineari dipendenti da un parametro. Esercizi.
Spazi affini (vedi dispense): definizione, dimensione, prime proprieta', riferimenti.
settimo incontro di tutorato
ottava settimana
Sistemi lineari dipendenti da un parametro. Esercizi.
Sottospazi affini (vedi dispense): definizione, dimensione, intersezione e sottospazio congiungente, relazione di Grassmann per sottospazi affini, rappresentazione parametrica e cartesiana.
ottavo incontro di tutorato
nona settimana
Sottospazi affini paralleli e sghembi. Fasci di iperpiani. I sottospazi affini del piano e dello spazio di dimensione 3.
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Esempio delle omotetie e delle proiezioni. Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare sono sottospazi. Sottospazi, immagini e generatori. Caratterizzazione dell'iniettivita' e della suriettivita' di una applicazione lineare. Teorema del rango (o teorema fondamentale delle applicazioni lineari) (par. 1 e 2 del cap. 9)
nono incontro di tutorato (venerdi 30 novembre)
decima settimana Teorema della fibra. Applicazioni lineari definite su una base. Matrice associata ad una applicazione lineare. Cambi di riferimento. Composizione di applicazioni lineari (cap. 9-10)
decimo incontro di tutorato
undicesima settimana Affinita' e cambi di riferimento negli spazi affini. Immagine di un sottospazio tramite una affinita'. (vedi dispense)
undicesimo incontro di tutorato
dodicesima settimana Immagine di sottospazi affini tramite affinita'. Determinante di una matrice quadrata: proprieta', esistenza, sviluppo secondo Laplace, espressione attraverso le permutazioni. Teorema di Cramer. Teorema di Binet (senza dimostrazione) Espressione della matrice inversa tramite i complementi algebrici. Soluzione di un sistema omogeneo di rango n-1 in n incognite e applicazioni.
Giovedi 20, ore 14-16, il dott. Lipparini terra' una lezione relativa alla parte di Storia della Matematica. (consultare il sito del Dott. Lipparini per materiale relativo)
dodicesimo incontro di tutorato
tredicesima settimana Teorema di Kronecker (senza dimostrazione) e sue applicazioni. Condizioni di dipendenza tra n+1 punti in uno spazio affine di dimensione n. Prodotto scalare definito positivo. Prodotto scalare standad in R^n. Basi ortonormali. Ortogonale di un sottospazio e sua dimensione. Definizione di spazio euclideo. Distanza tra punti e sue proprieta'. (cf. dispense spazi euclidei ).
tredicesimo incontro di tutorato
quattordicesima settimana Ortogonalita' e dipendenza lineare. Un sottospazio e' in somma diretta con il proprio ortogonale. Ortogonalita' tra sottospazi. Distanza punto-iperpiano. Proiezione ortogonale. Decomposizione in componenti parallela e ortogonale a un sottospazio. Nello spazio di dimensione 3: prodotto esterno e prodotto misto, distanza punto-retta, distanza tra due rette.
quattordicesimo incontro di tutorato