Di seguito gli studenti troveranno il diario delle lezioni e materiale didattico per il corso di Analisi Matematica I (C.d.S Ingegneria dell'Edilizia e Ingegneria Edile-Architettura). L'utilizzo personale di tale materiale per lo studio è libero. È invece VIETATO ogni altro utilizzo, ad esempio la distribuzione attraverso fotocopie o la pubblicazione su altri siti web o comunque la diffusione a fini commerciali. L'autrice non risponde del contenuto di materiale didattico relativo a questo o altri corsi da lei tenuti, eventualmente diffuso a fini commerciali. Tale tipo di utilizzo non è mai stato autorizzato.


Diario delle lezioni:

• Lezione del 25-09-2017: Richiami di insiemistica.Insiemi prodotto. Insiemi numerici. L'insieme dei razionali è un campo ordinato. Rappresentazione dei razionali come allineamenti decimali limitati o periodici propri. Slides Lezione

• Lezione del 27-09-2017:Proprietà di Archimede nei razionali e conseguenze, proprietà di densità, rappresentazione geometrica dei razionali sulla retta, √2 non è razionale, definizione dei numeri reali, maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme di numeri reali, Intervalli

• Lezione del 28-09-2017: Caratterizzazione di estremo superiore ed inferiore di un sottoinsieme di numeri reali, esempi, Definizione di parte intera di un numero reale. Completezza dell'insieme dei numeri reali, Valore assoluto e proprietà della distanza.

• Lezione del 02-10-2017:Generalità sulle funzioni: dominio, codominio,immagine, grafico, controimmagine, funzioni numeriche, funzioni iniettive, suriettive,esempi. Composizione di funzioni, funzione inversa.

• Lezione del 04-10-2017:Generalità sulle funzioni: funzioni monotone e legame tra monotonia e iniettività (esempi e controesempi), funzioni esponenziali, logaritmiche. Esercizi.

• Lezione del 05-10-2017:Generalità sulle funzioni: funzioni periodiche, richiamo sulle funzioni trigonometriche e definizione delle funzioni arcsin(x), arccos(x), arctan(x). Esercizi su domini di funzioni composte. Slides lezioni 02, 04 e 05 ottobre (versione del 05/10)

• Lezione del 09-10-2017:Definizione di intorno di un punto, punto interno, punto esterno, punto di frontiera, punto di accumulazione, punto isolato per un insieme. Esempi. Definizione di insieme aperto, chiuso, discreto, denso. Esempi: intervalli, l'insieme dei razionali (punti interni, frontiera, derivato). La retta reale estesa ed intorni di più o meno infinito. Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione). Definizione di limite finito e infinito per successioni, unicità del limite. Esempi

• Lezione del 11-10-2017:Limiti di successioni: Teorema della permanenza del segno, successioni convergenti sono limitate ma il viceversa non è vero in generale. Algebra dei limiti, prime forme indeterminate. Teoremi di confronto a applicazione al calcolo di lim n!/n^n. Principio di induzione e disuguaglianza di Bernoulli.

• Lezione del 12-10-2017:Limiti di successioni: Non esistenza dei limiti, conseguenza della disuguaglianza di Bernoulli: soluzione di alcune forme indeterminate: lim(n^\alpha/a^n).Teorema di esistenza del limite per successioni monotone (con dim.). Definizione del numero di Nepero e=lim(1+1/n)^n.

• Lezione del 16-10-2017:Limiti di successioni:limiti notevoli, definizione di "o piccolo" ed "O grande" (infiniti di ordine inferiore, infinitesimi di ordine superiore), catena degli infiniti, esempi

• Lezione del 18-10-2017:Limiti di successioni:ulteriori limiti notevoli, esercizi sul corretto uso di "o piccolo" ed "O grande"

• Lezione del 19-10-2017:Limiti di successioni:limiti notevoli di successioni trigonometriche definizione di ordine di infinito e di infinitesimo, esercizi

• Lezione del 23-10-2017:Sottosuccessioni, ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente (con dim.).Successioni fondamentali, Criterio di Cauchy (con dim.). Insiemi compatti. Un sottoinsieme di R è compatto se e solo se è chiuso e limitato (con dim.)

• Lezione del 25-10-2017:Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizione nei vari casi, esempi. Teorea ponte (con dim.) e applicazione per la determinazione dei limiti notevoli per funzioni, scala degli infiniti, unicità del limite per funzioni.

• Lezione del 26-10-2017:Limiti di funzioni reali di variabile reale: limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto. Proprietà dei limiti, teoremi di confronto. Esempi di funzioni che non ammettono limite (anche utilizzando teorema ponte). Limiti di funzioni composte (con dim.). esempi e controesempi.

• Lezione del 30-10-2017:Estremo superiore e inferiore di funzioni, massimo e minimo globale. Limiti di funzioni reali di variabile reale: esistenza di limite destro e sinistro per funzioni monotone, esempi, asintoti verticale,orizzontale, obliquo. esempi

• Lezione del 02-11-2017:Non ha avuto luogo e sarà recuperata il 07-11-2017

• Lezione del 06-11-2017:Continuità di funzioni reali di variabile reale: definizione ed esempi, Classificazione delle discontinuità, discontinuità di funzioni monotone su intervalli, Proprietà di funzioni continue (permanenza del segno, composizione di funzioni continue). Teorema degli zeri (con dim.) e conseguenze

• Lezione del 07-11-2017:Continuità di funzioni reali di variabile reale: Teorema dei valori intermedi (con dim.). Ulteriori limiti notevoli. Esercizi su asintoti, limiti di funzioni (corretti es. foglio 2)

• Lezione del 08-11-2017:Monotonia e invertibilità (funzioni continue su intervalli sono iniettive se e solo se sono strettamente monotone (con dim.). Continuità della funzione inversa di una funzione continua su un intervallo (con dim.) e su un compatto (senza dim.); esempi e controesempi. Teorema di Weierstrass (con dim.) con esempi e controesempi. Esercizi su invertibilità.

• Lezione del 09-11-2017:Infinitesimi e infiniti di ordine superiore o inferiore, ordine di infinito e infinitesimo di funzioni rispetto ad un infinito o infinitesimo campione. Esercizi su limiti di funzioni (corretti es. foglio 3)

• Lezione del 13-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: definizione di derivata, retta tangente ed equivalenza tra esistenza di retta tangente non verticale al grafico di f in un punto e derivabilità di f. Una funzione derivabile in un punto è continua nello stesso punto ma il viceversa non è vero (dim.); punti del grafico a tangente verticale; derivata di funzioni elementari, algebra delle derivate (derivata della somma, del prodotto di funzioni (dim.), del quoziente di funzioni(dim.)) derivata della funzione composta (dim.), esempi.

• Lezione del 15-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:derivata destra e sinistra, punti angolosi, cuspidi, derivata della funzione inversa (dim) e applicazione al calcolo della derivata di arcsin(x), arcos(x),arctan(x).esempi di funzioni derivabili ma con derivata non continua, definizione di estremo relativo, di punto critico e dim. teorema di Fermat (sui punti critici)

• Lezione del 16-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale: teorema di Rolle e del valor medio di Lagrange (dim), esempi e controesempi. Conseguenze del teorema di Lagrange: monotonia e segno della derivata. Studio della natura dei punti critici. Esercizi su grafici di funzioni.

• Lezione del 20-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Teorema di Cauchy (con dim.). Conseguenze del teorema del valor medio: le funzioni con derivata prima nulla in un intervallo sono costanti ma se il dominio non è un intervallo può non essere vero. La derivata di una funzione derivabile non può avere discontinuità di salto. Definizione di funzione Lipschitziana, esempi. Le funzioni derivabili su un intervallo con derivata limitata sono Lipschitziane. |x| è Lipschitziana. Esercizi su massimi e minimi assoluti, grafici di funzioni.

• Lezione del 22-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Derivate successive, polinomio di Taylor: definizione, esempi (polinomi di McLaurin di e^x, sin(x), cos(x)) Enunciato del teorema di Peano e applicazioni (polinomio di McLaurin di e^(x^2), di e^(2x+3)), applicazione al calcolo di limiti

• Lezione del 23-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Polinomio di Taylor:Polinomi di McLaurin di 1/(1-x), 1/(1+x^2),(1+x)^alpha con alpha reale; relazione tra pol. di Taylor di una funzione e della sua derivata e applicazione al calcolo del pol. di McLaurin di arctan(x), log(1+x). Natura dei punti critici mediante lo studio del segno delle derivate successive alla prima nel punto stesso.Applicazione dello sviluppo di Taylor per la determinazione dell'ordine di infinitesimo di funzioni

• Lezione del 26-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Teorema di De L'Hopital e applicazioni, esempi e controesempi di applicazione, dim del teorema di Peano

• Lezione del 29-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Funzioni convesse e concave, proprietà, esempi. Funzioni convesse derivabili e proprietà, punti di flesso. Esercizi su applicazione di sviluppi di Taylor (corretto es. 1 foglio 4)

• Lezione del 30-11-2017:Calcolo differenziale per funzioni reali di variabile reale:Polinomio di Taylor con resto di Lagrange, applicazione al calcolo di e^(1/2) con un errore inferiore a 10^(-6). Determinazione del cilindro inscritto nella sfera di raggio 1 con volume massimo, superficie laterale o superficie totale massima. Studio di funzione

• Lezione del 05-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Definizione di partizione (o decomposizione) di un intervallo, somme superiori e somme inferiori per una funzione limitata, andamento delle somme superiori e inferiori rispetto al raffinamento di partizioni (dim). Definizione di funzione integrabile secondo Riemann, esempio di funzione non integrabile (la funzione di Dirichlet), condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza dell'integrale di Riemann (con dim.)

• Lezione del 06-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale: Proprietà dell'integrale di Riemann: significato geometrico, additività, linearità. Integrabilità di funzioni monotone (dim.), integrabilità di funzioni continue, e di funzioni limitate con un numero finito di punti di discontinuità, teorema della media integrale (dim.). Definizione di funzione integrale, esempi (funzione integrale relativa a f(x)=sign(x)),proprietà delle funzioni integrali di funzioni integrabili (Lipschitzianità (dim.)). Derivabilità delle funzioni integrali nei punti di continuità della funzione integranda (teorema fondamentale del calcolo integrale con dim.). Definizione di primitiva, proprietà. Calcolo dell'integrale definito.

• Lezione del 07-12-2017: Test di autovalutazione

• Lezione del 11-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:derivate di funzioni composte con funzioni integrali, limiti (usando de L'Hopital), insieme delle primitive (integrale indefinito), formula di integrazione per parti e per sostituzione. Esempi di calcolo di integrali.

• Lezione del 13-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (discussione completa se il denominatore è un polinomio di secondo grado). Esempi di calcolo di integrali con i tre metodi di sostituzione, parti e fratti semplici.

• Lezione del 14-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Integrazione delle funzioni razionali, scomposizione in fratti semplici (con denominatore polinomio di grado n).Formule ricorsive per calcolo dell'integrale di 1/(x^2+1)^m, funzioni razionali negli argomenti sin(x), cos(x) (sostituzione t=tg(x/2)). Esercizi su integrali.

• Lezione del 18-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Alcune sostituzioni speciali per il calcolo di integrali con radici, decomposizione di Hermite per il calcolo di integrali di funzioni razionali con radici doppie del denominatore, Esercizi su integrali. Definizione di integrale improprio per funzioni non limitate o su intervalli non limitati. Integrabilità in senso improprio delle funzioni di tipo potenza ad esponente reale, (sia su (0,1) che in intervalli illimitati), teorema del confronto per funzioni definitivamente non negative, esempi.

• Lezione del 20-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Integrali impropri: criterio del confronto asintotico, assoluta integrabilità in senso improprio, esempio di funzione integrabile in senso improprio ma non assolutamente integrabile. Integrabilità di 1/x(|logx|)^beta vicino a zero e all'infinito. Esempi

• Lezione del 21-12-2017:Calcolo integrale per funzioni reali di variabile reale:Integrali impropri: integrabilità di 1/x^a(|log x|)^beta. Esercizi di riepilogo su integrali impropri e su comportamento di funzioni integrali. last but not least...

• Lezione del 10-01-2018:Generalità sulle serie numeriche: definizione di serie, successione delle ridotte n-me, resto n-mo,convergenza esempi: serie telescopiche e serie di Mengoli, serie geometrica, condizione necessaria per la convergenza, criterio di Cauchy per le serie, serie armonica, serie a termini non negativi e convergenza assoluta, criterio integrale e criterio del confronto e confronto asintotico, serie armonica generalizzata, serie di 1/k(log k)^b.

• Lezione del 11-01-2018:Serie numeriche: criterio del rapporto e della radice, esempi di applicazione dei due criteri. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz. Serie convergenti semplicemente ma non assolutamente, esempi ed esercizi

• Lezione del 15-01-2018:Serie numeriche: Esercizi di riepilogo

• Slides Lezioni del 10-01-2018, 11-01-2018 e 15-01-2018 (versione del 15-01)

• Lezione del 16-01-2018:Esercizi di riepilogo sul programma svolto.

• Lezione del 17-01-2018:Corretti esercizi foglio n. 6. Esercizi di riepilogo sul programma svolto.

• Lezione del 18-01-2018:Esercizi di riepilogo sul programma svolto.