Programma svolto e dettaglio
delle lezioni (i capitoli in parentesi si riferiscono al testo
consigliato: M. Bertsch,
R.Dal Passo e L.Giacomelli. Analisi
Matematica. McGraw-Hill - Capitoli 10-18)
Lezioni 1-2. Norma e distanza
tra vettori, prodotto scalare.
Insiemi aperti e chiusi. Insiemi limitati. Limiti di successioni di
vettori (convergenti e divergenti) e loro proprietà. (Cap 10.1,
10.2.1)
Lezioni 3-4. Limiti e
continuità per funzioni di più variabili reali. Intorni
in R^n. Esempi di funzioni continue come composizione di proiezioni e
funzioni continue di una variabile. Esempi di non esistenza di limiti -
differenze con il caso di una variabile (Cap. 10.3)
Lezioni 5-6. Esempi di calcolo
di limiti. Uso delle coordinate polari (Cap. 10.3.2 e 10.3.3)
Lezioni 7-8. Derivata in una
direzione. Differenziabilità. Somme, prodotti e composizioni di
funzioni differenziabili (Cap. 11.1 e 11.2)
Lezioni 9-10. Teorema del
differenziale totale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz.
La matrice Hessiana. (Cap. 11.2 e 11.3)
Lezioni 11-12. Polinomio di
Taylor di ordine 2. Convessità e concavità. Punti
stazionari. (Cap. 11.4, 11.5 e 11.6)
Lezioni 13-14. Calcolo di
massimi, minimi e punti di sella tramite lo studio della matrice
Hessiana. Derivabilità di funzioni vettoriali. Matrice
Jacobiana. Curve parametrizzate (Cap. 11.6, 11.7, 10.2.3)
Lezioni 15-16. Curve chiuse,
semplici, piane, cartesiane, etc. Tangente a una curva reolare.
Cambiamenti di parametro. Lunghezza di una curva. Esempi di curve con
lunghezza infinita. Calcolo della lunghezza per curve differenziabili.
(Cap. 12.1, 12.2)
Lezioni 17-18. Integrali
curvilinei di prima specie. Parametrizzazione a lunghezza d'arco.
Integrali curvilinei di seconda specie. Forme differenziali lineari.
Esempi. Forme esatte; potenziale. Forme chiuse. Esempi (Cap. 12.3, 12.4)
Lezioni 19-20. Caratterizzazione
delle forme esatte in aperti connessi. Equivalenza tra forme esatte e
forme chiuse in aperti semplicemente connessi (Cap.12.4.1 e 12.4.2)
Lezioni 21-22. Funzioni
implicite e curve di livello nel piano. Punti regolari. (Cap. 13.1.3)
Lezioni 23-24. Estremi
vincolati su una curva nel piano. Teorema dei Moltiplicatori di
Lagrange. Estremi su insiemi chiusi del piano con interno non vuoto.
(Cap. 13.2 e 13.3)
Lezioni 25-26. Punti di estemo
in punti angolosi. Integrali doppi su rettangoli e su insiemi normali.
Esempi. Proprietà. Caratterizzazione per riduzione. (Cap 13.3,
Cap. 14.1, 14.2.1)
Lezioni 27-28. Integrali doppi
(caso generale per domini che si scrivono come unione di domini
normali). Esempi. Formule di Green nel piano. Calcolo dell'area tramite
le formule di Green. (Cap.14.2, Cap. 15.3.1).
Lezioni 29-30. Teorema
del gradiente. Teorema della divergenza. Cambiamenti di variabili negli
integrali doppi. Coordinate polari. Esempi (Cap.15.3.2, 15.3.3, 14.3)
Lezioni 31-32. Funzioni
complesse. Derivata complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann. Integrale
lungo una curva e legame con le forme differenziali reali. Funzioni
olomorfe. Formula integrale di Cauchy. (Cap. 17.1, 17.2, 17.3, 17.4)
Lezioni 33-34.
Analiticità delle funzioni olomorfe. Zeri dele funzioni
analitiche. Singolarità isolate. Polo di ordine n. Serie di
Laurent. Teorema dei residui. Formule di calcolo dei residui. Esempi di
calcolo di integrali tramite il teorema dei residui. (Cap. 17.7.2,
17.8, 17.9)
Lezioni 35-36. Trasformata di
Laplace e sue proprietà. Trasformate delle funzioni elementari.
Soluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti
tramite la trasformata di Laplace. Traformata di Laplace e serie di
Laurent. (Cap. 18.1, 18.3, 18.4.1, Teorema 18.4)
Le rimanenti lezioni: esercizi.
MODALITÀ D'ESAME
L'esame consta di una parte scritta (esercizi in cui va motivata
brevemente la risposta) e di un orale vertente su esercizi e teoria
(comprese le dimostrazioni fatte a lezione). Per accedere all'orale
bisogna avere una valutazione "sufficiente" al relativo scritto.
