Università di Roma “Tor Vergata”

Macroarea di Scienze MM.FF. NN.

Corso di Studi in Matematica - Laurea Triennale

Geometria 2

* Periodo: 04 Marzo 2024 - 07 Giugno 2024 (9 CFU)

* Docente del corso: Prof. Flaminio Flamini (e-mail: flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it, pagina web: https://www.mat.uniroma2.it/~flamini/)

* Co-docente al corso: Prof. Stefano Trapani (e-mail: trapani[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it, pagina web: https://www.mat.uniroma2.it/~trapani/)

*Lezioni: in presenza in aula 11 (se richiesto dagli studenti in casi necessari o per disposizioni di Ateneo per fase pandemica, anche sul canale TEAMS del corso registrando la lezione)

*Orari Lezioni ed Esercitazioni (90 Ore – 9CFU)

Martedì – Aula 11 – 9:00-11:00

Mercoledì – Aula 11 – 9:00-11:00

Giovedì – Aula 11 – 14:00-16:00

Venerdì – Aula 11 – 9:00-11:00

*Canale Teams: Flamini_8067726_Geometria_2  (codice del team: thwrxg0 -  collegamento al canale: https://teams.microsoft.com/l/team/19%3AYfpnq80M95h810GCmq5pEqzUzKhoU9ju_vdGDjsPl5g1%40thread.tacv2/conversations?groupId=bbcbafb9-8308-444c-a069-ad1cf9e8a304&tenantId=24c5be2a-d764-40c5-9975-82d08ae47d0e)

* Calendario giornaliero lezioni: per gli argomenti svolti nelle ore di lezione/esercitazione, vedere il link Calendario Giornaliero delle Lezioni

* Ricevimento studenti: Prof. Flaminio Flamini

SEMESTRE II: su appuntamento da fissare qualche giorno prima via teams, per venire incontro agli impegni di lezioni su altri corsi sia per gli studenti che per il docente



* Programma sintetico

ALGEBRA LINEARE

Forme bilineari su uno spazio vettoriale su un campo IK. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Radicale. Esistenza di una base ortogonale e criteri/metodi di ortogonalizzazione. Forme canoniche sui complessi. Forme canoniche su IR e indici di inerzia (Teorema di Sylvester).

Spazi vettoriali euclidei: norma, lunghezza, angoli, procedimento di Gram Schmidt. Operatori unitari. Matrici ortogonali. Teorema spettrale operatori autoaggiunti.

Complessificazione di uno spazio vettoriale reale.

Spazi vettoriali quoziente. Spazio vettoriale duale ed annullatori di sottospazi. Principio di dualità.

Teorema di Hamilton-Cayley. Polinomio minimo di un endomorfismo. Forma canonica di Jordan.

SPAZI EUCLIDEI E GEOMETRIA EUCLIDEA

Spazi euclidei. Perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali. Formule di geometria euclidea in IR^2 ed IR^3. Prodotto vettoriale in IR^3. Isometrie. Figure congruenti o isometriche.

SPAZI PROIETTIVI E GEOMETRIA PROIETTIVA

Spazi proiettivi, coordinate omogenee e sottospazi proiettivi. Completamenti di spazi affini con elementi impropri. Spazio proiettivo duale e principio di dualità. Riferimenti proiettivi. Proiettività, punti fissi e luoghi invarianti di proiettività. Teorema fondamentale delle proiettività. Figure geometriche proiettivamente equivalenti.

CONICHE E QUADRICHE

Complessificazione di spazi affini ed euclidei. Quadriche proiettive e loro classificazione in uno spazio proiettivo complesso/reale/complessificato. Quadriche affini e punti impropri. Coniche proiettive, affini ed euclidee. Quadriche affini ed euclidee in dimensione 3



* Materiale Didattico Teoria

o TESTI PRINCIPALI TEORIA:

* [G1] Geometria I, Bollati Boringhieri (E. Sernesi) è lo stesso testo di riferimento nel corso Geometria 1 a.a. 2023/2024

* [DISP] Dispense on-line scaricabili gratuitamente

° [DISP_A] Isometrie notevoli di IE^2 ed IE^3 (dispense del Prof. Flamini)

° [DISP_B] Complessificazione di spazi vettoriali e spazi affini reali  (dispense dei Proff. Ciliberto-Galati-Tovena)

° [DISP_C] Spazi vettoriali quozienti e duali (capitoli 11 e 12 estratti dal testo [AL] “Algebra Lineare”, C. Ciliberto, Ed. Bollati Boringhieri)

° [DISP_D] Forma canonica di Jordan di un endomorfismo (note Prof. R. Benedetti scaricabili online pp. 1-8 ed aggiunta Prof. F. Flamini pp. 1-4) 

° [DISP_E] Cenni a Quadriche proiettive (tratte da dispense dei Proff. Ciliberto-Galati_Tovena riscritte da Prof. Flamini)

° [DISP_MV] Cenni a Quadriche euclidee  (dispense estratte dal testo “Matrici e vettori”. Corso di base di Geometria e Algebra Lineare; Carocci Editore, Collana: LE SCIENZE, (2008). Di F. Flamini, A. Verra)



* Materiale Didattico Esercizi

° ESERCIZI PROPOSTI DALLA CODOCENTE: eventuali files PDF posti on-line dalla co-docente

° ESERCIZI SVOLTI DEL TESTO F. Flamini, A. Verra. - "Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare", Carocci Editore, 2008” reperibili gratuitamente al sito http://www.carocci.it

° ULTERIORI TESTI  DI ESERCIZI CONSIGLIATI: G.Anichini, G.Conti, R.Paoletti "Algebra Lineare e Geometria Analitica. Eserciziario"; Pearson Italia, (2013)

E.Fortuna, R. Frigerio, R.Pardini "Geometria Proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria"; Springer Unitext Italia, (2011)

* Obiettivi Didattici e Frequenza

OBIETTIVI FORMATIVI E RISULTATI DELL'APPRENDIMENTO: il corso fornisce un'introduzione a concetti di algebra lineare (più avanzata rispetto al corso precedente "Geometria 1 (GM1 10.0 CFU)"), alla geometria affine ed euclidea complessa, alla geometria proiettiva reale e complessa, alla teoria delle coniche e quadriche reali e complesse. I risultati aspettati dell'apprendimento sono quelli di rendere lo studente capace di elaborazione critica su tali concetti, con un'acquisizione di un solido metodo di studio, supportato dalla risoluzione di esercizi e quesiti connessi ai contenuti del corso.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: lo studente, a fine corso, avrà appreso nozioni relative a questioni più avanzate di algebra lineare, geometria affine ed euclidea complessa, geometria proiettiva reale e complessa e di teoria delle coniche reali e complesse. Sarà in grado di leggere, comprendere e rielaborare in forma critica tutti i risultati di base relativi a tali argomenti.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: lo studente saprà studiare questioni di algebra lineare reale e complessa, di geometria affine e proiettiva reale e complessa, comprendendo la classificazione delle coniche; saprà inoltre applicare le nozioni di algebra lineare apprese per risolvere problemi geometrici o problemi computazionali.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO: lo studente saprà riconoscere alcuni problemi in geometria affine, euclidea e proiettiva che possono essere trattati attraverso tecniche di algebra lineare.

ABILITÀ COMUNICATIVE: lo studente sarà in grado di esporre ed argomentare la soluzione di problemi; sarà inoltre in grado di discutere e riprodurre correttamente dimostrazioni di risultati di base relativi a spazi vettoriali, spazi affini, euclidei e proiettivi.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: acquisizione di un solido metodo di studio, supportato dalla risoluzione di esercizi e quesiti connessi ai contenuti del corso 

FREQUENZA: come da guida studente

* Modalità d'esame e criteri di valutazione

* Modalità d'esame: La prova di verifica si compone di una prova scritta propedeutica ad una prova orale.


* Criteri di votazione utilizzati per l'esame di Geometria 2



"La prova di esame sarà valutata secondo i seguenti criteri:

Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezza nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.

18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.

21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.

24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.

27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.

30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale."



* Esami Geometria 2: date e svolgimento delle prove, votazioni

o 1oAppello GEOMETRIA  2

Esame Scritto: 20 Giugno 2024 – Aula 11 – 9:00/13:00

Compito svolto I appello GEOMETRIA 2
Votazioni Elaborati: sul canale TEAMS

Esame orale: 21 Giugno 2024 – Aula 11 – 10:00/18:00



o 2oAppello GEOMETRIA  2

Esame Scritto: 16 Luglio 2024 – Aula 11 – 9:00/13:00

Compito svolto II appello GEOMETRIA 2
Votazioni Elaborati: sul canale TEAMS

Esame orale: 18 Luglio 2024 – Aula 11 – 10:00/18:00



o 3oAppello GEOMETRIA  2

Esame Scritto: 09 Settembre 2024 – Aula 1 – 9:00/13:00

Compito svolto III appello GEOMETRIA 2
Votazioni Elaborati: sul canale TEAMS

Esame Scritto: 10 Settembre 2024 – Aula 1 – 10:00/18:00



o 4oAppello GEOMETRIA  2

Esame Scritto: 26 Settembre 2024 – Aula 1 – 9:00/13:00

Compito svolto IV appello GEOMETRIA 2
Votazioni Elaborati: sul canale TEAMS

Esame orale: 27 Settembre 2024 - Aula 1 – 14:00/17:00