Analisi Matematica II (10 crediti) a.a. 2010-2011
(per Ingegneria Civile e Ingegneria Medica)

APPELLO del 31-1-2011 -  TESTO DELLO SCRITTO - Traccia delle soluzioni

APPELLO del 14-2-2011 -  TESTO DELLO SCRITTO - Traccia delle soluzioni
APPELLO del 28-6-2011 -  TESTO DELLO SCRITTO
APPELLO del 8-7-2011 -  TESTO DELLO SCRITTO

APPELLO del 5-9-2011 -  TESTO DELLO SCRITTO
APPELLO del 21-9-2011 -  TESTO DELLO SCRITTO

Programma

- Continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili reali
- Estremi liberi e vincolati di funzioni di più variabili
- Teorema della funzione implicita
- Curve e superfici
- Calcolo integrale per funzioni di più variabili
- Forme differenziali

- Serie di potenze
- Serie di Fourier
- Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni



DETTAGLIO DELLE LEZIONI SVOLTE.
Nota: contrassegno con (D) i teoremi di cui ritengo più importanti le dimostrazioni.

1. Rappresentazione di funzioni di più variabili reali. Norma e distanza tra vettori, prodotto scalare. Diseguaglianza di Schwarz.
2. Insiemi aperti e chiusi. Chiusura e frontiera. Insiemi limitati. Limiti di successioni di vettori (convergenti e divergenti) e loro proprietà.
3. Teoremi sulle successioni analoghi al caso scalare. Insiemi compatti. Limiti e continuità per funzioni di più variabili reali. Intorni in R^n. Esempi di funzioni continue come composizione di proiezioni e funzioni continue di una variabile. Esempi di non esistenza di limiti - differenze con il caso di una variabile.
4. Esempi di calcolo di limiti. Uso delle coordinate polari. Derivata in una direzione e derivata parziale. Gradiente.
5. Differenziabilità e derivabilità. Piano tangente. Teorema del differenziale totale (D)
6. Applicazioni della differenziabilità. Punti stazionari. Somme, prodotti e composizioni di funzioni differenziabili.
7. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. La matrice hessiana. Polinomio di Taylor di ordine 2. Calcolo di massimi, minimi e punti di sella tramite lo studio della matrice hessiana.
8. Caratterizzazione degli estremi liberi nel caso due-dimensionale. Convessità e concavità.
9. Derivabilità di funzioni vettoriali. Matrice Jacobiana. Interpretazione del determinante jacobiano in termini di cambiamenti di aree e volumi.
10. Curve parametrizzate. Curve chiuse, semplici, piane, cartesiane, etc. Sostegno. Vettore tangente. Punti regolari. Equazione della tangente al sostegno
11. Curve di livello. Problema della funzione implicita. Esistenza di funzioni definte implicitamente da un'equazione in R^2 (D).
12. Retta tangente ad una curva di livello. Derivata seconda di una curva definita implicitamente. Esistenza di funzioni definte implicitamente da un'equazione in R^n. Piano tangente a una superficie di livello.
13. Estremi vincolati in R^n. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (D). Massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi con interno non vuoto.
14. Massimi e minimi relativi su insiemi chiusi con interno non vuoto. Analisi dei punti angolosi della frontiera.
15. Sistemi di due vincoli in R^3.  Lunghezza di una curva. Curve rettificabili. Esempi di curve con lunghezza infinita. Calcolo della lunghezza per curve C^1 (D). Curve equivalenti. Cambiamento di parametro. Invarianza della lunghezza per cambiamento di parametro.
16. Integrali di prima specie. Forme differenziali lineari. Integrali di seconda specie. Cambiamenti di parametri negli integrali. Notazioni per somma di curve e opposto di una curva.
17. Esercizi sugli integrali di I specie. Integrale lungo una curva come area di una superficie.
18. Parametrizzazione a lunghezza d'arco. Esercizi sugli integrali di II specie. Forme esatte. Primitiva o potenziale di una forma differenziale lineare.
19. Condizioni necessarie perche' una forma sia esatta. Forme chiuse. Esempio di una forma chiusa ma non esatta. Metodi di calcolo per il potenziale. Condizioni necessarie e sufficienti perche' una forma sia esatta in un aperto connesso (D).
20. Omotopia. Curve omotope. Aperti semplicemente connessi. Esempi. Uguaglianza degli integrali di una forma chiusa su curve omotope. Equivalenza tra forme chiuse e forme esatte in aperti semplicemente connessi.
21. Integrali doppi. Definizione di integrale su un rettangolo. Proprietà. Teorema di riduzione a integrali unidimensionali. Integrali su insiemi qualunque. Insiemi misurabili.

22. Misura secondo Peano-Jordan. Criterio di misurabilità. Criterio di integrabilità. Integrali su insiemi normali.

23. Proprietà dell’integrale. Additività. Integrali di funzioni con simmetrie. Formula di cambiamento di variabili nell’integrale doppio. Integrali in coordinate polari.

24. Esercizi di integrazione. Calcolo dei volumi dei solidi. Calcolo delle aree delle superfici.

25. Formule di Gauss-Green (D). Calcolo dell'area tramite le formule di Green. Teorema del gradiente. Teorema della divergenza. Flusso per una superficie.
26. Integrale della gaussiana. Integrali tripli. Proprietà. Formule di riduzione: integrazione per fili e per strati. Volume dei solidi di rotazione: teorema di Guldino. Formula di cambiamento di variabile.
27. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Superfici in tre dimensioni. Parametrizzazione. Punti interni e punti di bordo. Piano tangente. Superficie orientabile. Esempi: il nastro di Moebius.
28. Integrale su una superficie. Teorema del gradiente in 3 dimensioni (D). Teorema del rotore in tre e due dimensioni. Integrali impropri doppi e tripli.
29. Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni. Esempi di successioni convergenti puntualmente ma non uniformemente. Norma uniforme. Continuità del limite uniforme di funzioni continue. Equivalenza tra successioni convergenti e successioni di Cauchy per la convergenza uniforme (D).
30. Teorema di Ascoli-Arzelà (senza dimostrazione). Successioni equi-limitate, successioni equi-continue. Lemma delle contrazioni (D). Serie di funzioni. Criterio sufficiente per la convergenza uniforme (D).
31. Serie di potenze reali e complesse. Raggio di convergenza. Caratterizzazione del raggio di convergenza tramite il criterio della radice e del rapporto; convergenza uniforme all'interno del disco di convergenza (D). Derivazione e integrazione per serie. Serie di Taylor. Serie esponenziale, serie del seno e del coseno. Serie esponenziale in campo complesso.
32. Funzioni analitiche. Serie del logaritmo e dell'arcotangente e loro legame con la serie geometrica. Calcolo di serie numeriche tramite serie di Taylor (il numero e, pi greco, log 2, ecc.). Calcolo del dominio di convergenza tramite l'utilizzo di criteri di convergenza per serie numeriche per determinare la convergenza agli estremi.
33. Serie di Fourier per funzioni 2pigreco-periodiche. Forma esponenziale e forma trigonometrica. Teorema di convergenza puntuale e diseguaglianza di Bessel (senza dimostrazione). Teorema di convergenza uniforme (D).
34. Esempi di calcolo di serie di Fourier. Linearità dei coefficienti di Fourier.
35. Calcolo di serie di Fourier e loro utilizzo per il calcolo di serie numeriche. Convergenza integrale dei polinomi di Fourier. Identità di Parseval.
36. Serie di Fourier per funzioni L-periodiche. Esercizi di ripasso su serie di potenze e serie di Fourier.
37. Equazioni differenziali. Soluzione di un'equazione differenziale. Il problema di Cauchy. Esempi. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Soluzione in forma implicida (D). Intervallo massimale di esistenza. Equazioni del primo ordine lineari. Formule risolutive (D).
38-39. Studio del problema di Cauchy per equazioni a variabili separabili
40. Il teorema di Cauchy di esistenza locale e globale per equazioni y'=f(x,y) (D). Esempio di mancanza di unicità quando f non è Lipschitziana.
41. Esistenza per sistemi Y'=F(x,Y). Esistenza e unicità per equazioni y^{(n)}= f(x,y, y',....). Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Struttura di pazio vettoriale dell'insieme delle soluzioni di equazioni omogenee. Soluzione generale per l'equazione omogenea (D). Soluzione generale per l'equazione completa (D). Secondi membri di tipo polinomio-esponenziale-sin/cos.
42. Soluzioni di sistemi di equazioni differenziali lineari

Nelle lezioni rimanenti sono stati svolti esercizi di ripasso.

Prerequisiti: Corso di Analisi Matematica I

- Cenni di teoria degli insiemi. Nozioni generali sulle funzioni di variabile reale. Principio di induzione.
- Estremo superiore e inferiore. Massimi e minimi.
- Successioni. Limiti di successioni: definizione e proprietà. Limiti notevoli. Successioni monotone. Il numero e.
- Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
- Limiti di funzioni: definizioni e proprietà. Calcolo e forme indeterminate.
- Continuità e classificazione dei punti di discontinuità.
- Esistenza degli estremi per funzioni continue su intervalli chiusi.
- Teorema degli zeri.
- Monotonia e invertibilità delle funzioni.
- Funzioni uniformemente continue.
- Derivate: definizioni e proprietà. Interpretazione geometrica, retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari, regole di calcolo.
- Teorema di Lagrange e applicazioni. Studio della monotonia, estremi relativi, punti stazionari. Derivate seconde e convessità. Studio del grafico.
- Teorema di De L'Hopital. Polinomio di Taylor e sue proprietà. Applicazioni al calcolo dei limiti.
- Numeri complessi. Forma cartesiana e trigonometrica. Radici n-sime.
- Integrali definiti e indefiniti. Integrabilità delle funzioni continue.
- Teorema fondamentale del del calcolo. La funzione integrale.
- Integrazioni per parti e sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
- Integrali impropri; criteri di convergenza.
- Serie numeriche. Serie geometrica, serie armonica.
- Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, radice, rapporto.
- Legami tra serie e integrali impropri.
- Criterio di Leibniz. Convergenza assoluta.

ORARIO:

Martedi 14:00 - 15:45 (Aula 1 PP2)
Mercoledi 11:30 - 13:15 (Aula 1 PP1)
Venerdi 9:30 - 11:15 (Aula 1 PP2)

Inizio del corso: 27 settembre 2010
Fine del corso: 29 gennaio 2011

Orario di ricevimento (fino al 29 gennaio 2011): mercoledi ore 10:00-11:30
(studio n.1209 al Dipartimento di Matematica, SoGeNe)



MODALITÀ D'ESAME
L'esame consta di una parte scritta (esercizi in cui va motivata brevemente la risposta) e di un orale vertente su esercizi e teoria (comprese le dimostrazioni fatte a lezione). Per accedere all'orale bisogna avere una valutazione "sufficiente" al relativo scritto.


Testi consigliati:

Teoria: M. Bertsch, R. Dal Passo e L. Giacomelli - Analisi Matematica - McGraw-Hill, 2007
Esercizi: B.P. Demidovic -Esercizi e problemi di Analisi Matematica - Editori Riuniti, 2010